Messages de Wanadoo6

Prends X1 et X2 deux variables de Rademacher indépendantes (càd deux variables qui prennent la valeur -1 ou 1 avec proba 1/2).

Alors X1^2=1 presque sûrement mais X1X2 n'est pas égal à 1 presque sûrement.

En effet par la loi des probabilités totales puis l'indépendance des deux variables :

P(X1X2=-1)=P(X1=1,X2=-1)+P(X1=-1,X2=1)=P(X1=1)P(X2=-1)+P(X1=-1)P(X2=1)

Et donc

P(X1X2=-1)=1/2

Et finalement on obtient que X1X2 est encore une variable de Rademacher (puisque l'autre valeur qu'elle prend est la valeur 1, avec proba 1/2 également).

Donc ta première étape ne marche pas.

Le 20 juin 2023 à 07:53:12 :

Le 20 juin 2023 à 07:47:19 :
Bah simple : à la louche, le numérateur est le carré du dénominateur, on va formaliser ça. Montrons qu'il existe une constante C > 0 telle que pour tout couple (x,y), (x^2 + y^2)^2 <= C(x^4 + y^4).

Si on développe le carré, on cherche C telle que x^4 + y^4 + 2x^2y^2 <= C(x^4 + y^4). Or, d'après l'inégalité
2ab <= a^2 + b^2 (qui se voit en développant (a-b)^2), on a
x^4 + y^4 + 2x^2y^2 <= x^4 + y^4 + (x^4 + y^4) = 2(x^4 + y^4). On a donc ce qu'on voulait et on peut prendre C = 2.

En passant au quotient, on en déduit l'inégalité
f(x,y) >= (x^2 + y^2)/2, qui tend bien vers l'infini en l'infini, quasiment par définition.

https://image.noelshack.com/fichiers/2016/48/1480465808-1476126484-2.png

Essaie d'abord de voir comment on peut faire pour la fonction :

f(x,y)=(x^2+y^2)/(|x|+|y|).

Rappel : pour tous nombres réels a et b on a :

(a+b)^2 <= 2 (a^2+b^2)

(Pourquoi est-ce vrai ?)

Que déduis tu de cette inégalité ?

Il y a plusieurs points de vue pour comprendre la notion de continuité comme par exemple
1)le point de vue "analyse numérique" où tes epsilon-delta sont des précisions machine de calcul. La continuité traduit alors une cohérence dans le calcul que tu fais. C'est encore plus visible avec le côté lipschitzien ou avec l'uniforme continuité. L'idée étant que tu peux contrôler la relation entre la précision de l'entrée et la précision de la sortie.
2)le point de vue topologie métrique qui est très lié au précédent.
3)le point de vue de la formalisation de la notion de proximité qui peut se voir à plusieurs niveaux : topologie métrique, topologie générale, théorie des catégories, topos.

Parmi les avantages du dernier point de vue, il y a celui de présenter une théorie des formes et "un calcul des formes" qui est algébrique et donc permet de formuler par exemple de la logique sous un aspect topologique et de comprendre certains concepts de logique sous un aspect "forme/continuité". Et de "topologiser" des notions qui sont de nature algébrique (par exemple avec la topologie de Zariski). Il y en a beaucoup d'autres mais là ça va faire long d'en parler.

À mon avis, faire de la topologie générale via un aspect "proximité" aide beaucoup à comprendre au bout d'un moment mais à mon avis il est peut-être plus adapté pour toi maintenant d'adopter l'angle "analyse numérique"/distance.

Et bien sûr de s'entraîner à manipuler les quantificateurs à coup d'exos...

Pour bien avancer en math il faut travailler
au moins :1)le côté calcul et manipulation. Typiquement par la manipulation de matrices, la pratique d'algos comme la réduction de Gauss etc. et évidemment le calcul d'intégrales etc.
2)le côté inductif i.e. passage du particulier au général. C'est typiquement ce qui se passe quand tu fais une récurrence. Ça implique de repérer des exemples et pouvoir jouer avec. En algèbre linéaire par exemple ça va être de tester ce qui se passe en dimension 2 et/ou sur des matrices diagonales, triangulaires.
3)le côté déductif, passage du général au particulier. Et là faut avoir plein d'exos et avoir réfléchi profondément au cours notamment aux liens entre les objets, les définitions et les propriétés. Par la pratique et l'expérience tu acquières une image mentale des objets (qui peut être conceptuelle pure) et tu comprends comment ils se comportent etc. Ça requiert de bosser les théorèmes du cours en les redémontrant etc. par soi-même et en faisant des exos vraiment théoriques quitte à sécher dessus.

En te lisant j'ai l'impression que tu n'as pas encore adopté la bonne méthodologie de travail notamment en ce qui concerne l'acquisition des concepts.

Par exemple, lorsque tu lis le cours, est-ce que tu essaies de refaire les démos (sans les lire) ? De voir si tu peux partir de la définition pour aller vers un des résultats principaux du cours ?

Ce n'est pas quelque chose d'évident à faire mais le fait de "se forcer" à essayer de prouver le truc par toi-même, même si tu n'y parviens pas, va beaucoup beaucoup aide ta compréhension.
Également, parfois il faut laisser le temps aux choses. En faisant beaucoup d'exercices t'as des trucs qui finissent par rentrer.
Il est également important d'avoir des exos sur lesquels "tu sèches". Ça aussi ça développe tes capacités. Bien entendu y a aussi certains exos qu'il faut "absorber" même sans les maîtriser, pour les annales.

Un autre point également important : tu dis détester tout ce qui est "concret". Est-ce que c'est quelque chose de longue date et est-ce que ça se ressent dans ta relation aux math ? Par exemple avant, est-ce que tu comprenais bien les concepts "directement" sans forcément passer par tout un tas d'exemples ?

En fait je pense que les gens sont assez différents et pour certains, faire les choses en mode "conceptuel" direct les aide plus. Ça ne veut pas dire ne pas faire d'exemple mais ça veut dire avoir un point de vue plus conceptuel que concret dans l'approche des choses. Par contre ça demande de beaucoup beaucoup travailler son côté déductif tandis que le passage du particulier au général repose sur le côté inductif. Les deux sont essentiels mais à ton stade tu as peut-être intérêt à retravailler le premier.

Dans ce cas, il faut peut-être voir les ressources de cours que tu emploies. Peut-être que changer de bouquin pourra t'aider. J'ai des bouquins niveau prépa que j'apprécie beaucoup et qui je pense sont utiles pour travailler le côté déductif mais ils peuvent être assez difficiles et l'étudiant peut être vite perdu donc on verra d'abord si tu te retrouves dans ce qui est dit avant.

Du point de vue pratique, on a constaté que beaucoup de domaines des mathématiques ont fini par trouver une application à un moment ou à un autre alors même qu'au départ ils ont été développés uniquement du point de vue fondamental. C'est the unreasonable effectiveness of mathematics.

Pour donner un exemple récent, la K-théorie est utilisée pour de la classification en physique statistique. Ou encore, on utilise de la géométrie algébrique pour faire des codes correcteurs ou mieux comprendre certains problèmes en physique théorique ou en informatique théorique. Et je pourrais donner d'autres exemples.

D'un point de vue plus philosophique, traditionnellement les domaines de la connaissance sont organisés en fonction de leur relation vis-à-vis de la raison, cette caractéristique qui nous distingue au sein du genre animal. Plus un domaine est de l'ordre de la "raison pure" plus il nous amène à nous connaître. Et au niveau des domaines de la connaissance, ce qui est le plus proche de la raison pure est ce qui est du domaine du concept pur (c'est à dire du domaine du général et non du particulier). Si on met de côté la métaphysique, la théologie, la spiritualité spéculative (ou plus précisement ce qui a trait à la raison dans ces domaines puisque ces domaines sont plutôt de l'ordre du supra-rationnel et du supra-humain mais ce n'est pas le sujet ici) qui sont les domaines les plus élevés, ce qui est le plus proche du concept pur après ces domaines-là c'est la logique et les mathématiques. C'est pour cela que, pour reprendre une formule d'un moderne, Jacobi, les mathématiques sont étudiées pour l'honneur de l'esprit humain.

Le 08 mai 2023 à 13:57:17 :
Bah si x est suffisamment petit, tu peux majorer le contenu de ton intégral par epsilon (tf(t) tend vers 0 en 0 puisque f est continue donc bornée en 0) donc l'intégrale est inférieure à (epsilon*x) /x= epsilon
Avec epsilon aussi petit que tu veux
Donc ça semble assez évident ou alors je rate un truc en lisant les preuves alambiquée des autres post

En fait si j'ai bien compris la limite dans l'énoncé est à prendre en +inf. Ça colle avec l'hypothèse de supposer que l'intégrale (à priori impropre) de f existe sur R+. Et ça colle avec le contexte (chapitre des intégrales impropres).

Le 08 mai 2023 à 13:38:04 :

Le 08 mai 2023 à 13:32:49 :
C'est un grand classique.

Comme indiqué précédemment, on pose F(X)=int de 0 à x de f. On procède par intégration par parties. On se ramène à montrer que :

F(x)-1/x int de 0 à x de F(t)Dt converge vers 0.

Ça aussi c'est un classique, connu sous l'énoncé : si F est une fonction continue qui admet une limite en +inf, montrer que F(x)-1/x int de 0 à x de F(t)dt converge vers 0.

L'idée est d'écrire la limite en + inf avec des epsilon. Ça te dit qu'à partir d'un seuil A, ton F(t) est à epsilon près de ta limite.
Ensuite tu coupes l'intégrale (qui va jusqu'à x). La partie au-dessus de A se borne grâce à ta limite.
La partie qui vient avant s'en va naturellement quand tu prends la limite.

Ah oui j’ai essayé sur ma feuille, je sens que ça va marcher. Merci aussi kheytrop galère à poster sur le forum par contre

Je poste aussi celui d.un autre khey qui m’a montré une solution plus simple pour ceux qui cherchent :

"Prend la valeur absolue, l 1/x int_{0}^{x} tf(t) dt l =< 1/x l int x f(t) dt l car l'intégrale de f existe.
Donc tu as ton intégrale qui t'intéresse entre 0 (valeur absolue) et l int f(t) dtl ça c'est une intégrale fonction de sa borne supérieure, c'est du F(x) - F(0) donc la limite en 0??"

Est-ce que tu as une version rédigée complètement de cette méthode ?

Parce que je ne vois pas (par exemple) pourquoi la limite de F en 0 intervient ici. Peut-être avais-je mal compris, mais il me semblait que la limite que tu prends est en +infini.

Si tu reviens à la définition de la limite avec des epsilon, ça sera plus facile à écrire.

C'est un grand classique.

Comme indiqué précédemment, on pose F(X)=int de 0 à x de f. On procède par intégration par parties. On se ramène à montrer que :

F(x)-1/x int de 0 à x de F(t)Dt converge vers 0.

Ça aussi c'est un classique, connu sous l'énoncé : si F est une fonction continue qui admet une limite en +inf, montrer que F(x)-1/x int de 0 à x de F(t)dt converge vers 0.

L'idée est d'écrire la limite en + inf avec des epsilon. Ça te dit qu'à partir d'un seuil A, ton F(t) est à epsilon près de ta limite.
Ensuite tu coupes l'intégrale (qui va jusqu'à x). La partie au-dessus de A se borne grâce à ta limite.
La partie qui vient avant s'en va naturellement quand tu prends la limite.

En admettant qu'il a eu effectivement tout bon (sauf peut-être le coup du x=1-e), s'il a eu 10, les hypothèses que je peux formuler c'est :

1)il y a vraiment eu un manquement dans la rédaction. Ça on ne peut le savoir qu'en regardant la copie.

2)la rédaction pourrait passer (par exemple à Centrale) mais le prof. est particulièrement sévère. Ça on peut le savoir en regardant la copie et celles d'autres étudiants.

La seconde hypothèse me paraît quand même moins plausible, surtout si le prof. a de l'expérience.

Je n'ai jamais dit qu'il n'y avait qu'une solution pour le 4. Ma remarque sur le manque de rédaction concernait surtout la fin avec x=1-e...

Pour le 5, en procédant par analyse synthèse, on trouve qu'une série qui vérifie l'EDO c'est forcément C/(1-x) puis que cette fonction vérifie bien l'EDO (sur l'intervalle adéquat).

En fait pour vérifier la qualité de la rédaction, il faudrait qu'on puisse voir la copie.

Il y a des manquements dans la rédaction. Par exemple pour le premier exo, même si les deux suites sont équivalentes tu ne peux pas conclure que les séries auront le même comportement sans information sur le signe.

Il faut vraiment détailler le calcul du développement limité à un ordre suffisant pour avoir un bout qui converge absolument (ici celui donné par la série de Riemann) pour conclure qu'effectivement la série diverge.

Pour le 2, un calcul simple montre que f_n CVS vers 0 puis on a effectivement que le sup de f_n est en 0 et ce sup converge vers 0 donc on a bien une CVU. Ici je ne vois pas ce qui manque dans ta rédaction si tu mets ça.

Pour le 3, on a effectivement que exp(-nx^2)/n! <= 1/n! (Qui est sommable tout bêtement parce que exp(1) est bien défini) donc ta série converge normalement.

Pour le 4, il manque des détails encore une fois. On fait un changement de variable qui nous ramène à étudier la série avec la variable y=x-1. Pour celle-ci, le rayon de convergence est e (par exemple via un critère d'Abel). On constate ensuite que si y=e alors la série diverge (donc la série entière diverge en x=e+1)

Par contre si y=-e la série converge (série alternée) donc la série entière converge en x=1-e.

Je regarde le 5.

Édit: après pour le 2 il manque peut-être un petit argument (en même pas une ligne) pour justifier du sup. J'étais parti du principe que tu l'avais mis cet argument.

Le 03 février 2023 à 15:14:45 :

Le 03 février 2023 à 15:13:46 :

Le 03 février 2023 à 15:10:23 :

Le 03 février 2023 à 15:06:36 Wanadoo6 a écrit :
Après, quand on fait de la théorie des fonctions complexes et qu'on travaille avec la notion de fonction "multivaluée" (aussi dire multiforme) on peut étudier ça plus profondément en parlant de branches voire en allant sur la notion de "feuillets" (sans rentrer dans les détails techniques). Et dans ce contexte cela fait sens de définir une fonction racine carrée (par exemple racine carrée principale). Mais il faudra toujours prendre garde au fait que certaines relations vraies dans l'ensemble des nombres réels positifs ne seront plus vérifiées. Le même problème se pose pour le logarithme : la relation log(ab)=log(a)+log(b) n'est plus vraie en tant que tel dans les complexes.

Au fond le problème est le même pour les deux fonctions : un nombre complexe non nul a une infinité d'arguments.(l'exponentielle complexe restreinte aux imaginaires purs est non injective)

Super interessant merci
Et ouais j'avais déjà vu la fonction ln(x) définie sur C, mais c'est quand même bien moche

Pendant longtemps (et jusqu'à aujourd'hui d'une certaine manière) j'ai eu une hantise des fonctions complexes (à cause de ces histoires de branches) mais en fait quand on "pratique" les fonctions complexes on se rend compte que c'est pas si compliqué que ça, faut juste être vigilant.

Après la page wiki, je conseille l'excellent polycopié de D. Hulin sur les fonctions holos :

https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~dominique.hulin/poly-holo.pdf

Avant de passer à des trucs plus costauds type bouquin de Remmert ou d'autres encores.

En général on peut se limiter à des parties de C pour retrouver les propriétés analogue des réels non ?

À partir du moment où tu fais intervenir des multiplications, je pense que tu auras des soucis. Pour fixer une fonction argument, on choisit un intervalle de longueur 2pi où l'argument va vivre. Et là, par exemple, si tu as un nombre complexe z qui n'est pas un nombre réel strictement positif, tous ses arguments sont non nuls. Si tu fixes thêta un de ses arguments et que tu veux forcer la relation arg(z^n)=n*arg(z)=n*thêta, il y a un moment où tu auras n*thêta qui dépasse l'intervalle de longueur 2pi où tu as sélectionné thêta (quel que soit cet intervalle) et du coup c'est incohérent avec le fait que tu aimerais que n*thêta ait un argument dans cet intervalle.

Par contre si tu ne t'intéresses pas aux propriétés d'anneau (et encore moins de corps), il faudrait que je regarde. Au niveau ensembliste ça marche grâce à l'axiome du choix. Au niveau groupe additif faut faire gaffe car normalement tu ne peux pas avoir arg(0) donc c'est délicat.

Sachant que le logarithme (et l'argument) sont fortement appréciés pour leurs propriétés multiplicatives, à mon avis dès que tu passes à C même en restreignant à une partie t'as les modulo qui sortent.

Le 03 février 2023 à 15:10:23 :

Le 03 février 2023 à 15:06:36 Wanadoo6 a écrit :
Après, quand on fait de la théorie des fonctions complexes et qu'on travaille avec la notion de fonction "multivaluée" (aussi dire multiforme) on peut étudier ça plus profondément en parlant de branches voire en allant sur la notion de "feuillets" (sans rentrer dans les détails techniques). Et dans ce contexte cela fait sens de définir une fonction racine carrée (par exemple racine carrée principale). Mais il faudra toujours prendre garde au fait que certaines relations vraies dans l'ensemble des nombres réels positifs ne seront plus vérifiées. Le même problème se pose pour le logarithme : la relation log(ab)=log(a)+log(b) n'est plus vraie en tant que tel dans les complexes.

Au fond le problème est le même pour les deux fonctions : un nombre complexe non nul a une infinité d'arguments.(l'exponentielle complexe restreinte aux imaginaires purs est non injective)

Super interessant merci
Et ouais j'avais déjà vu la fonction ln(x) définie sur C, mais c'est quand même bien moche

Pendant longtemps (et jusqu'à aujourd'hui d'une certaine manière) j'ai eu une hantise des fonctions complexes (à cause de ces histoires de branches) mais en fait quand on "pratique" les fonctions complexes on se rend compte que c'est pas si compliqué que ça, faut juste être vigilant.

Après la page wiki, je conseille l'excellent polycopié de D. Hulin sur les fonctions holos :

https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~dominique.hulin/poly-holo.pdf

Avant de passer à des trucs plus costauds type bouquin de Remmert ou d'autres encores.

Sans faire de la théorie des fonctions complexes, on peut facilement voir qu'on peut obtenir une application univaluée de C dans C qui à tout nombre z associe un nombre sqrt(z) qui vérifie sqrt(z)^2=z.

C'est une conséquence immédiate de l'axiome du choix.

Le problème est que cette application est hautement impraticable (en particulier comme on l'a vu, elle n'est pas compatible avec la structure de corps etc.) du coup il est nettement préférable de travailler avec des branches.

Après, quand on fait de la théorie des fonctions complexes et qu'on travaille avec la notion de fonction "multivaluée" (aussi dire multiforme) on peut étudier ça plus profondément en parlant de branches voire en allant sur la notion de "feuillets" (sans rentrer dans les détails techniques). Et dans ce contexte cela fait sens de définir une fonction racine carrée (par exemple racine carrée principale). Mais il faudra toujours prendre garde au fait que certaines relations vraies dans l'ensemble des nombres réels positifs ne seront plus vérifiées. Le même problème se pose pour le logarithme : la relation log(ab)=log(a)+log(b) n'est plus vraie en tant que tel dans les complexes.

Au fond le problème est le même pour les deux fonctions : un nombre complexe non nul a une infinité d'arguments.(l'exponentielle complexe restreinte aux imaginaires purs est non injective)

Le symbole "i" est introduit pour désigner une des deux solutions complexes de l'équation x^2=-1, l'autre solution étant alors égale à -i.

Il n'est pas bien venu d'employer le symbole sqrt(-1) pour désigner une de ces solutions. Il y a plusieurs raisons, qui sont liées entre elles, à commencer par la difficulté de "choisir" une des solutions.

Une manière simple de voir pourquoi ce n'est pas une bonne idée d'employer le symbole sqrt est que cette application sera incompatible avec la structure de corps de l'ensemble des nombres complexes.

Par exemple, dans l'ensemble des réels positifs, on a la relation :

sqrt(AB)=sqrt(A)sqrt(B)

Mais 1=sqrt(1)=sqrt(-1*-1) et là si on veut que ce soit égal à sqrt(-1)*sqrt(-1), il faudrait que le premier sqrt(-1) soit i et l'autre -i (ou le contraire, selon le choix de la solution pour désigner i).

Une façon de faire : notons A la matrice indiquée. Comme remarqué précédemment, on peut écrire A=J-n*I_n=n(J/n -I)

(où J est la matrice parfois dite "Attila").

Il est aisé de noter que J/n est un projecteur : (J/n)^2=nJ/n^2=J/n.

Donc -A/n=I-J/n est encore un projecteur (le projecteur dit "associé" à J/n). On peut aussi le voir à la main directement en calculant le carré.

On termine en utilisant le fait que le rang d'un projecteur c'est sa trace :

Rang A = rang -A/n = tr -A/n = tr I - tr J/n =n-1.

1)Ici E(y) désigne la partie entière de y. Voir ici

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Partie_entière_et_partie_fractionnaire

2)ici k désigne peut-être une raison de la suite géométrique x_n. Ou bien plus probablement une constante de Lipschitz de la fonction contractante f définissant la récurrence x_n+1=f(x_n) à mon avis.