Messages de Wanadoo6
Le 14 janvier 2022 à 00:45:58 :
Le 14 janvier 2022 à 00:33:47 :
Voir ici pour une démo de ce résultat par exemple :https://fr.m.wikiversity.org/wiki/Réduction_des_endomorphismes/Décomposition_de_Frobenius
Ça doit être aussi dans plusieurs bouquins usuels sur la réduction. C'est certainement dans le Mansuy.
C'est quoi le rapport avec l'exo ?
Cette partie-là :
"Soit {\displaystyle \mu _{\varphi }=\prod P_{i}^{m_{i}}} {\displaystyle \mu _{\varphi }=\prod P_{i}^{m_{i}}} la décomposition de {\displaystyle \mu _{\varphi }} {\displaystyle \mu _{\varphi }} en produit de polynômes irréductibles. D'après le lemme des noyaux, {\displaystyle E} E est la somme directe des {\displaystyle E_{i}:=\ker \left(P_{i}^{m_{i}}(\varphi )\right)} {\displaystyle E_{i}:=\ker \left(P_{i}^{m_{i}}(\varphi )\right)}, et le polynôme minimal de la restriction de {\displaystyle \varphi } \varphi à {\displaystyle E_{i}} {\displaystyle E_{i}} est {\displaystyle P_{i}^{m_{i}}} {\displaystyle P_{i}^{m_{i}}}. Le polynôme conducteur de tout vecteur de {\displaystyle E_{i}} {\displaystyle E_{i}} est donc de la forme {\displaystyle P_{i}^{k}} {\displaystyle P_{i}^{k}} pour un certain {\displaystyle k\leq m_{i}} {\displaystyle k\leq m_{i}}, et {\displaystyle k=m_{i}} {\displaystyle k=m_{i}} pour au moins un vecteur {\displaystyle x_{i}\in E_{i}} {\displaystyle x_{i}\in E_{i}}. Le vecteur {\displaystyle x:=\sum x_{i}} {\displaystyle x:=\sum x_{i}} est alors {\displaystyle \varphi } \varphi-maximum.
"
Ça démontre l'existence d'un vecteur x tel que le polynôme minimal local de f en x est égal au polynôme minimal de f.
Maintenant, tu utilises l'hypothèse de l'énoncé : pour toute X, la famille (x,..,f^p(x)) est liée [donc y a un polynôme annulateur local en x de degré au plus p] donc pour tout x le degré du polynôme minimal local en x est au plus p.
Donc en combinant les deux, le degré du polynôme minimal de f est au plus p et tu as obtenu un polynôme annulateur de degré inférieur à p et t'as gagné.
Le 14 janvier 2022 à 00:42:25 :
Le 14 janvier 2022 à 00:41:16 :
Par contre l'OP je t'ai quand même proposé une solution et je te n'ai pas vu réagir complètement à cette solution. Elle ne te convient pas ?Si mais j'ai tendance à pas répondre à ceux qui répondent intelligemment c'est mon coté troll... bien joué c'est ça
OK. Je me disais que peut-être la solution ne te convenait pas parce que j'ai fait appel à la notion de polynôme minimal local.
Si on veut s'en passer, on peut adapter la preuve d'existence d'un vecteur u-maximum en invoquant le polynôme minimal et en sortant le lemme des noyaux etc.