[MATHS] Le rang de cette matrice ?

La matrice carrée de taille n telle que tous les coefficients diagonaux sont égaux à (1-n) et les autres coefficients à 1. Le rang est censé être n-1 mai je n'arrive pas à supprimer de ligne, quelqu'un pour me donner une indication ?

va dans une école primaire, ils devraient résoudre ce problème trivial

Up.

C'est la matrice J-n*In, où J est la matrice que des 1. J étant bien évidemment de rang 1, quel est donc son polynôme charactéristique ?

Une façon de faire : notons A la matrice indiquée. Comme remarqué précédemment, on peut écrire A=J-n*I_n=n(J/n -I)

(où J est la matrice parfois dite "Attila").

Il est aisé de noter que J/n est un projecteur : (J/n)^2=nJ/n^2=J/n.

Donc -A/n=I-J/n est encore un projecteur (le projecteur dit "associé" à J/n). On peut aussi le voir à la main directement en calculant le carré.

On termine en utilisant le fait que le rang d'un projecteur c'est sa trace :

Rang A = rang -A/n = tr -A/n = tr I - tr J/n =n-1.