Si x est dans V, c'est atteint en y=x. Sinon x n'est pas dans V. Soit y dans V, on considère l'ensemble des éléments t de v tels que ||x - t|| <= ||x - y|| :=D, alors c'est l'intersection de la boule fermée de centre x et de rayon D intersectée avec V. C'est un fermé borné non vide d'un ev de dim finie donc un compact, et on utilise la continuité de la norme.
Désolé si c'est pas ça, ça fait longtemps que j'ai pas fait d'analyse