[MATHS] Cet exo niveau seconde détruit le forum

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seconde d'il y a combien d'années ?

Intéressant comme exercice. Ça me rappelle un exercice similaire où il faut chercher une famille de n^2 coefficients (a_ij) telle que, peu importe la façon de ranger ces a_ij dans une matrice de taille n*n on obtient toujours une matrice inversible.

J'imagine que pour suivre l'indication il faut montrer que le polynôme P_tau à considérer est non nul, car chacun des termes du produit est non nul, puis d'en déduire pour la même raison que le produit de tous les P_tau pour tau parcourant S_n est non nul. Ceci est équivalent à l'existence d'un n-uplet (x_1,...,x_n) ayant la propriété voulue.

J'ai un peu réfléchi et j'ai trouvé une autre méthode, qui évite de s'embêter avec des polynômes en plusieurs indéterminées et utilise à la place un résultat d'algèbre linéaire :
On note f_sigma la fonction qui à (x_1,...,x_n) associe la somme des x_i a_sigma(i). Prenons deux permutations distinctes tau et rho, on montre facilement que f_tau-f_rho n'est pas la fonction nulle et que son noyau est donc un sous-espace vectoriel de dimension <n donc contenu dans un hyperplan. On conclut en disant qu'une union finie d'hyperplan ne peut par être égale à l'espace entier et cela démontre qu'il existe bien des points en dehors de tous ces noyaux, pour lesquels les sommes sont donc toutes distinctes.

Pour ceux que ça intéresse voilà deux autres solutions dans le cas où K=C

Solution 1 : Écriture d'un nombre en base b.
On s'inspire de l'écriture d'un nombre en base b, si tous les chiffres sont différents alors toute permutation des chiffres donne un nouveau nombre. Ici on prend donc (b,b²,...,b^n), avec b un réel positif assez grand. Si b est assez grand on a b|a_i-a_j|>3*n*max|a_k| quels que soient les indices (distincts) i et j. On démontre alors facilement que toute permutation des a_i donne un nombre différent.

Solution 2 : Extensions de corps.
Dans la solution 1 on obtenait un genre d'indépendance entre les a_i*b^j parce qu'ils avaient des ordres de grandeur différents, ici on va obtenir une indépendance algébrique. On note L=Q(a_1,...,a_n) le plus petit corps contenant les a_i, puis on choisit les x_i de sorte à ce que [L(x_1,...,x_i+1):L(x_1,...,x_i)]>1, on montre alors facilement qu'une permutation modifie forcément la valeur de la somme.

Le 29 octobre 2021 à 15:48:58 :
Intéressant comme exercice. Ça me rappelle un exercice similaire où il faut chercher une famille de n^2 coefficients (a_ij) telle que, peu importe la façon de ranger ces a_ij dans une matrice de taille n*n on obtient toujours une matrice inversible.

J'imagine que pour suivre l'indication il faut montrer que le polynôme P_tau à considérer est non nul, car chacun des termes du produit est non nul, puis d'en déduire pour la même raison que le produit de tous les P_tau pour tau parcourant S_n est non nul. Ceci est équivalent à l'existence d'un n-uplet (x_1,...,x_n) ayant la propriété voulue.

La fonction polynomiale d'un polynôme à plusieurs indéterminées sur un corps infini K caractérise le polynôme ?

J'ai un peu réfléchi et j'ai trouvé une autre méthode, qui évite de s'embêter avec des polynômes en plusieurs indéterminées et utilise à la place un résultat d'algèbre linéaire :
On note f_sigma la fonction qui à (x_1,...,x_n) associe la somme des x_i a_sigma(i). Prenons deux permutations distinctes tau et rho, on montre facilement que f_tau-f_rho n'est pas la fonction nulle et que son noyau est donc un sous-espace vectoriel de dimension <n donc contenu dans un hyperplan. On conclut en disant qu'une union finie d'hyperplan ne peut par être égale à l'espace entier et cela démontre qu'il existe bien des points en dehors de tous ces noyaux, pour lesquels les sommes sont donc toutes distinctes.

Très sympa cette solution, ça me parait moins tordu que ce que l'indication suggère.

peut-être dans les années 80 c'était niveau seconde, mais aujourd'hui c'est Bac + 2

Le 29 octobre 2021 à 23:20:02 :

Le 29 octobre 2021 à 15:48:58 :
Intéressant comme exercice. Ça me rappelle un exercice similaire où il faut chercher une famille de n^2 coefficients (a_ij) telle que, peu importe la façon de ranger ces a_ij dans une matrice de taille n*n on obtient toujours une matrice inversible.

J'imagine que pour suivre l'indication il faut montrer que le polynôme P_tau à considérer est non nul, car chacun des termes du produit est non nul, puis d'en déduire pour la même raison que le produit de tous les P_tau pour tau parcourant S_n est non nul. Ceci est équivalent à l'existence d'un n-uplet (x_1,...,x_n) ayant la propriété voulue.

La fonction polynomiale d'un polynôme à plusieurs indéterminées sur un corps infini K caractérise le polynôme ?

A priori oui, en tout cas pour un corps commutatif.

Pour un polynôme à une indéterminée c'est bon pour la même raison que dans R ou C. Si b est une racine alors le polynôme se factorise par (x-b) et comme il a au plus n racines et que K est infini on en déduit qu'une fonction polynomiale nulle sur K provient nécessairement du polynôme nul.

Ensuite pour un polynôme à plusieurs indéterminées... On peut déjà regarder ce qu'il se passe sur K[X,Y], le problème est que K[X,Y] n'est a priori plus euclidien, donc il faut trouver autre chose. Soit P un polynôme de K[X,Y] dont la fonction associée est identiquement nulle. Soit x dans K fixé on a P(x,Y) qui appartient à K[Y] est sa fonction polynomiale est nulle, donc tous les coefficients de P(x,Y) sont nuls. Or K[X,Y] = (K[X])[Y]enfin, ça serait plutôt un isomorphisme qu'une égalité mais osefdonc les coefficients de P(x,Y) sont des polynômes de K[X] évalués en x. Puisque notre argument marche pour x quelconque on en déduit que ces polynômes de K[X] qui forment les coefficients de P(x,Y) sont s'annulent en tout x de K, ils sont donc nuls et P(X,Y)=0. C'est exactement pareil dans le cas à n indéterminées, on fait juste une démo par récurrence sur le nombre d'indéterminées.

Le 29 octobre 2021 à 23:23:58 :

J'ai un peu réfléchi et j'ai trouvé une autre méthode, qui évite de s'embêter avec des polynômes en plusieurs indéterminées et utilise à la place un résultat d'algèbre linéaire :
On note f_sigma la fonction qui à (x_1,...,x_n) associe la somme des x_i a_sigma(i). Prenons deux permutations distinctes tau et rho, on montre facilement que f_tau-f_rho n'est pas la fonction nulle et que son noyau est donc un sous-espace vectoriel de dimension <n donc contenu dans un hyperplan. On conclut en disant qu'une union finie d'hyperplan ne peut par être égale à l'espace entier et cela démontre qu'il existe bien des points en dehors de tous ces noyaux, pour lesquels les sommes sont donc toutes distinctes.

Très sympa cette solution, ça me parait moins tordu que ce que l'indication suggère.

Bah, l'indication est en fait assez naturelle, c'est exactement la même technique qu'on utilise pour l'exercice avec le déterminant dont j'ai parlé. C'est juste qu'ici c'est pas vraiment nécessaire puisque, contrairement au déterminant, on se retrouve avec des équations linéaire et on peut donc s'en sortir avec de l'algèbre linéaire.

Le 29 octobre 2021 à 13:21:44 :
seconde d'il y a combien d'années ?

Le 29 octobre 2021 à 23:24:47 :
peut-être dans les années 80 c'était niveau seconde, mais aujourd'hui c'est Bac + 2

Ça n'a évidemment jamais été à un niveau de seconde. Ce serait plutôt niveau L3.