[Maths] Un petit défi mathématique pour QI > 130

Soient a et b deux entiers positifs tels que ab + 1 divise a² + b². Montrez que (a² + b²) / (ab + 1) est le carré d'un entier.

Indice : c'est pas facile.

On se place dans l'ensemble où toutes les variables sont égales à 0

Le 26 mars 2017 à 00:23:41 AlphaOuOmega a écrit :
On se place dans l'ensemble où toutes les variables sont égales à 0

Pas con.https://image.noelshack.com/fichiers/2016/52/1482749709-1415294579519.gif

Sauf qu'on tombe sur une division par 0.https://image.noelshack.com/fichiers/2016/38/1474719452-jesus56.png

Tiens donc, c'est pas le petit exo des olympiades internationales que personne avait réussi

J'ai fait L
Indice: Je comprend pas la question

Bon, rapidement histoire de pas trop en dire.

On procède par l'absurde sur l'existence d'un tel n.
(a²+b²)/(ab+1)=n revient à b²-(na)b+a²-n=0.

En établissant une relation d'ordre qui liera a et b, en examinant les racines de ce polynôme du second degré (que l'on nommera m et m' par exemple), puis en procédant à une étude de cas, on peut s'en tirer.

Bah quand a=b=1, ta 2/2=1 qui est le carré de 1, un entier
Je comprend pas la question

Le 26 mars 2017 à 00:27:07 CanadianLeaf a écrit :
Tiens donc, c'est pas le petit exo des olympiades internationales que personne avait réussi

Je vois que Monsieur est un fin connaisseur.https://image.noelshack.com/fichiers/2016/24/1466366648-risitas115.png

Monsieur est spécialiste du Vieta Jumpinghttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/10/1489162412-1465686632-jesuus-risitas.gif

Le 26 mars 2017 à 00:29:00 Predictionniste a écrit :
Bon, rapidement histoire de pas trop en dire.

On procède par l'absurde sur l'existence d'un tel n.
(a²+b²)/(ab+1)=n revient à b²-(na)b+a²-n=0.

En établissant une relation d'ordre qui liera a et b, en examinant les racines de ce polynôme du second degré (que l'on nommera m et m' par exemple), puis en procédant à une étude de cas, on peut s'en tirer.

Pourquoi tu fais un raisonnement par l'absurde si on te demande de montrer que c'est vraie, ce n existe, j'en est même trouvé un

Le 26 mars 2017 à 00:32:23 VillaniPower a écrit :

Le 26 mars 2017 à 00:29:00 Predictionniste a écrit :
Bon, rapidement histoire de pas trop en dire.

On procède par l'absurde sur l'existence d'un tel n.
(a²+b²)/(ab+1)=n revient à b²-(na)b+a²-n=0.

En établissant une relation d'ordre qui liera a et b, en examinant les racines de ce polynôme du second degré (que l'on nommera m et m' par exemple), puis en procédant à une étude de cas, on peut s'en tirer.

Pourquoi tu fais un raisonnement par l'absurde si on te demande de montrer que c'est vraie, ce n existe, j'en est même trouvé un

https://image.noelshack.com/fichiers/2016/30/1469541957-risitas198.png

C'est un polynôme de degré 2
X -> X²-(ka)X+a²-k avec pour racine réelle b et b'. Je sais que b' est entier (car b+b'=ka). Si j'encadre b' je tombe sur :

1) b'0 alors j'ai encore :

a) si b'<0 j'ai k=(a²+b'²)/(ab'+1)<0 (contradiction)

b) si b'=0 j'ai a²=k (contradiction aussi).

Au final, j'ai un couple (a,b') solution pour 0 < b' < a d'où la fin de mon raisonnement.

Le 26 mars 2017 à 00:27:28 Nirox_3 a écrit :
J'ai fait L
Indice: Je comprend pas la question

j'ai fait ES et je comprends pas non plus

Et puis de toute facon on a cas dire que le résultat donne un réel et montrer que ce réel est un entier ou qu'il vaut aussi la partie entière de ce réel, je sais pas si vous me suivez

Quand je vois ce genre d'exercices je suis en sueur à propos de mon avenir proche

Le 26 mars 2017 à 00:22:47 Blaff6 a écrit :
Soient a et b deux entiers positifs tels que ab + 1 divise a² + b². Montrez que (a² + b²) / (ab + 1) est le carré d'un entier.

Indice : c'est pas facile.

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Le 26 mars 2017 à 00:35:02 realpnj a écrit :

Le 26 mars 2017 à 00:27:28 Nirox_3 a écrit :
J'ai fait L
Indice: Je comprend pas la question

j'ai fait ES et je comprends pas non plus

Parce qu'il y a des maths en ES ?

Tiens, t'as regardé le numberphile avec Tao ? (qu'il n'a pas réussi)

Le 26 mars 2017 à 00:32:23 VillaniPower a écrit :

Le 26 mars 2017 à 00:29:00 Predictionniste a écrit :
Bon, rapidement histoire de pas trop en dire.

On procède par l'absurde sur l'existence d'un tel n.
(a²+b²)/(ab+1)=n revient à b²-(na)b+a²-n=0.

En établissant une relation d'ordre qui liera a et b, en examinant les racines de ce polynôme du second degré (que l'on nommera m et m' par exemple), puis en procédant à une étude de cas, on peut s'en tirer.

Pourquoi tu fais un raisonnement par l'absurde si on te demande de montrer que c'est vraie, ce n existe, j'en est même trouvé un

En trouver un ne démontre pas que c'est vrai pour tout a et b.

Je crois que je suis fatigué mais suis-je le seul à ne pas avoir bien compris la question, faut-il trouver un couple (a,b) qui vérifie la l'énoncé ou faut-il montrer que pour tout (a,b) avec certaines conditions, l'énoncé est vrai ?