Ici on fait des MATHS

Le 11 juillet 2021 à 07:42:20 :

Le 11 juillet 2021 à 07:41:00 :

Le 11 juillet 2021 à 07:39:23 :

Le 11 juillet 2021 à 07:29:07 Vieta a écrit :
Exercice 6 : Soit A un ensemble de points du plan vérifiant la propriété suivante : chaque point de A est le milieu d'un segment reliant deux autres points de A.

Montrer que card A = +oo

Tu considères que le nombre de points est fini.
Tu prends le point qui a la plus petite abcisse x par exemple, que quels que soient les autres points A B que tu prends, le milieu de A et de B aura une abcisse > x

Pas forcément, puisqu'il peut y avoir plusieurs points d'abscisse x.

Il en choisi un ... ou peut faire le même raisonnement avec la plus grande abscisse ou la plus grande ordonnée)

Non, ce n'est pas suffisant, mais regarde ce que j'ai rajouté à mon message, ça permet de réparer l'argument.

Le 11 juillet 2021 à 07:29:07 :
Exercice 6 : Soit A un ensemble de points du plan vérifiant la propriété suivante : chaque point de A est le milieu d'un segment reliant deux autres points de A.

Montrer que card A = +oo

j'ai un idée : par l'absurde on suppose que A fini. déjà s'ils sont alignés -> impossible (on peut les ordonner)

on les suppose fini et non aligné. il existe un point u et une droite d (qui passe par au moins deux points de A) de distance minimale. par hyp, on, a au moins deux point sur une demie droite d'origine le projeté orthog en question. mais alors par inégalité trig on a un nouveau couple (u',d') qui donne une distance strictement plus petite : impossible

c'est bon???

Le 11 juillet 2021 à 07:29:07 :
Exercice 6 : Soit A un ensemble de points du plan vérifiant la propriété suivante : chaque point de A est le milieu d'un segment reliant deux autres points de A.

Montrer que card A = +oo

tu devrais préciser card A >= 2 dans les hypothèses, sinon ton exercice est faux

Le 11 juillet 2021 à 11:48:20 :

Le 11 juillet 2021 à 07:29:07 :
Exercice 6 : Soit A un ensemble de points du plan vérifiant la propriété suivante : chaque point de A est le milieu d'un segment reliant deux autres points de A.

Montrer que card A = +oo

tu devrais préciser card A >= 2 dans les hypothèses, sinon ton exercice est faux

merci pour cette precision qui apporte un eclairage tres interessant sur le probleme

Le 11 juillet 2021 à 11:31:51 :

Le 11 juillet 2021 à 07:29:07 :
Exercice 6 : Soit A un ensemble de points du plan vérifiant la propriété suivante : chaque point de A est le milieu d'un segment reliant deux autres points de A.

Montrer que card A = +oo

j'ai un idée : par l'absurde on suppose que A fini. déjà s'ils sont alignés -> impossible (on peut les ordonner)

on les suppose fini et non aligné. il existe un point u et une droite d (qui passe par au moins deux points de A) de distance minimale. par hyp, on, a au moins deux point sur une demie droite d'origine le projeté orthog en question. mais alors par inégalité trig on a un nouveau couple (u',d') qui donne une distance strictement plus petite : impossible

Peux-tu préciser quel est le lien entre d et u? Qui est-ce que tu projètes orthgonalement? Je ne sais pas si c'est moi, mais ce n'est pas très clair.

Le 11 juillet 2021 à 12:03:21 :

Le 11 juillet 2021 à 11:31:51 :

Le 11 juillet 2021 à 07:29:07 :
Exercice 6 : Soit A un ensemble de points du plan vérifiant la propriété suivante : chaque point de A est le milieu d'un segment reliant deux autres points de A.

Montrer que card A = +oo

j'ai un idée : par l'absurde on suppose que A fini. déjà s'ils sont alignés -> impossible (on peut les ordonner)

on les suppose fini et non aligné. il existe un point u et une droite d (qui passe par au moins deux points de A) de distance minimale. par hyp, on, a au moins deux point sur une demie droite d'origine le projeté orthog en question. mais alors par inégalité trig on a un nouveau couple (u',d') qui donne une distance strictement plus petite : impossible

Peux-tu préciser quel est le lien entre d et u? Qui est-ce que tu projètes orthgonalement? Je ne sais pas si c'est moi, mais ce n'est pas très clair.

ok dsl en fait on peut regarder l'ensemble (d,u) des couples formée d'un point de A qui est u et d'une droite qui passe par au moins 2pts de A qui est d. c'est un ensemble fini. a chaque couple on associe la distance de u à d. si cette distance est 0, on vire. toutes les autres distance sont >0 et en nombre fini donc il y en a une minimale. on note (u,d) un couple ou ce min est atteint. cette dist est realisé par un projeté orthog, c'est lui dont je parlais

Le 11 juillet 2021 à 12:03:21 :

Le 11 juillet 2021 à 11:31:51 :

Le 11 juillet 2021 à 07:29:07 :
Exercice 6 : Soit A un ensemble de points du plan vérifiant la propriété suivante : chaque point de A est le milieu d'un segment reliant deux autres points de A.

Montrer que card A = +oo

j'ai un idée : par l'absurde on suppose que A fini. déjà s'ils sont alignés -> impossible (on peut les ordonner)

on les suppose fini et non aligné. il existe un point u et une droite d (qui passe par au moins deux points de A) de distance minimale. par hyp, on, a au moins deux point sur une demie droite d'origine le projeté orthog en question. mais alors par inégalité trig on a un nouveau couple (u',d') qui donne une distance strictement plus petite : impossible

Peux-tu préciser quel est le lien entre d et u? Qui est-ce que tu projètes orthgonalement? Je ne sais pas si c'est moi, mais ce n'est pas très clair.

C'est effectivement pas très clair, en tout cas pas besoin de faire de projections.

Si A était fini alors on aurait deux points p et p' qui réalisent la distance minimale entre deux points de A. Cependant le point m, milieu du segment [p;p'], est un point de A par hypothèse et d(p,m)<d(p,p'), ce qui est absurde. L'ensemble A est donc infini.

Autre façon de faire : Soient U0 et U1 deux points de A, on définit par récurrence la suite de points Un+1=(U0+Un)/2. Par récurrence chaque point Un appartient à A et ils sont tous distincts puisque d(U0,Un)=d(U1,U0)/2^(n-1). On a donc exhibé une infinité de points appartenant à A.

Le 11 juillet 2021 à 12:12:23 :

Le 11 juillet 2021 à 12:03:21 :

Le 11 juillet 2021 à 11:31:51 :

Le 11 juillet 2021 à 07:29:07 :
Exercice 6 : Soit A un ensemble de points du plan vérifiant la propriété suivante : chaque point de A est le milieu d'un segment reliant deux autres points de A.

Montrer que card A = +oo

j'ai un idée : par l'absurde on suppose que A fini. déjà s'ils sont alignés -> impossible (on peut les ordonner)

on les suppose fini et non aligné. il existe un point u et une droite d (qui passe par au moins deux points de A) de distance minimale. par hyp, on, a au moins deux point sur une demie droite d'origine le projeté orthog en question. mais alors par inégalité trig on a un nouveau couple (u',d') qui donne une distance strictement plus petite : impossible

Peux-tu préciser quel est le lien entre d et u? Qui est-ce que tu projètes orthgonalement? Je ne sais pas si c'est moi, mais ce n'est pas très clair.

ok dsl en fait on peut regarder l'ensemble (d,u) des couples formée d'un point de A qui est u et d'une droite qui passe par au moins 2pts de A qui est d. c'est un ensemble fini. a chaque couple on associe la distance de u à d. si cette distance est 0, on vire. toutes les autres distance sont >0 et en nombre fini donc il y en a une minimale. on note (u,d) un couple ou ce min est atteint. cette dist est realisé par un projeté orthog, c'est lui dont je parlais

D'accord, donc si je comprends bien, u' est le projeté orthogonal de u sur d. Mais qui est d'?

Le 11 juillet 2021 à 12:13:26 :

Le 11 juillet 2021 à 12:03:21 :

Le 11 juillet 2021 à 11:31:51 :

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Exercice 6 : Soit A un ensemble de points du plan vérifiant la propriété suivante : chaque point de A est le milieu d'un segment reliant deux autres points de A.

Montrer que card A = +oo

j'ai un idée : par l'absurde on suppose que A fini. déjà s'ils sont alignés -> impossible (on peut les ordonner)

on les suppose fini et non aligné. il existe un point u et une droite d (qui passe par au moins deux points de A) de distance minimale. par hyp, on, a au moins deux point sur une demie droite d'origine le projeté orthog en question. mais alors par inégalité trig on a un nouveau couple (u',d') qui donne une distance strictement plus petite : impossible

Peux-tu préciser quel est le lien entre d et u? Qui est-ce que tu projètes orthgonalement? Je ne sais pas si c'est moi, mais ce n'est pas très clair.

C'est effectivement pas très clair, en tout cas pas besoin de faire de projections.

Si A était fini alors on aurait deux points p et p' qui réalisent la distance minimale entre deux points de A. Cependant le point m, milieu du segment [p;p'], est un point de A par hypothèse et d(p,m)<d(p,p'), ce qui est absurde. L'ensemble A est donc infini.

Autre façon de faire : Soient U0 et U1 deux points de A, on définit par récurrence la suite de points Un+1=(U0+Un)/2. Par récurrence chaque point Un appartient à A et ils sont tous distincts puisque d(U0,Un)=d(U1,U0)/2^(n-1). On a donc exhibé une infinité de points appartenant à A.

rien ne dit que le milieu de p et p' est dans A

Le 11 juillet 2021 à 12:13:26 :

Le 11 juillet 2021 à 12:03:21 :

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Exercice 6 : Soit A un ensemble de points du plan vérifiant la propriété suivante : chaque point de A est le milieu d'un segment reliant deux autres points de A.

Montrer que card A = +oo

j'ai un idée : par l'absurde on suppose que A fini. déjà s'ils sont alignés -> impossible (on peut les ordonner)

on les suppose fini et non aligné. il existe un point u et une droite d (qui passe par au moins deux points de A) de distance minimale. par hyp, on, a au moins deux point sur une demie droite d'origine le projeté orthog en question. mais alors par inégalité trig on a un nouveau couple (u',d') qui donne une distance strictement plus petite : impossible

Peux-tu préciser quel est le lien entre d et u? Qui est-ce que tu projètes orthgonalement? Je ne sais pas si c'est moi, mais ce n'est pas très clair.

C'est effectivement pas très clair, en tout cas pas besoin de faire de projections.

Si A était fini alors on aurait deux points p et p' qui réalisent la distance minimale entre deux points de A. Cependant le point m, milieu du segment [p;p'], est un point de A par hypothèse et d(p,m)<d(p,p'), ce qui est absurde. L'ensemble A est donc infini.

Autre façon de faire : Soient U0 et U1 deux points de A, on définit par récurrence la suite de points Un+1=(U0+Un)/2. Par récurrence chaque point Un appartient à A et ils sont tous distincts puisque d(U0,Un)=d(U1,U0)/2^(n-1). On a donc exhibé une infinité de points appartenant à A.

Je crois que tu as mal lu l'énoncé: on suppose que tout point est un milieu et non que l'ensemble est stable par milieux. Donc tes arguments ne fonctionnent pas.

Le 11 juillet 2021 à 12:20:52 :

Le 11 juillet 2021 à 12:13:26 :

Le 11 juillet 2021 à 12:03:21 :

Le 11 juillet 2021 à 11:31:51 :

Le 11 juillet 2021 à 07:29:07 :
Exercice 6 : Soit A un ensemble de points du plan vérifiant la propriété suivante : chaque point de A est le milieu d'un segment reliant deux autres points de A.

Montrer que card A = +oo

j'ai un idée : par l'absurde on suppose que A fini. déjà s'ils sont alignés -> impossible (on peut les ordonner)

on les suppose fini et non aligné. il existe un point u et une droite d (qui passe par au moins deux points de A) de distance minimale. par hyp, on, a au moins deux point sur une demie droite d'origine le projeté orthog en question. mais alors par inégalité trig on a un nouveau couple (u',d') qui donne une distance strictement plus petite : impossible

Peux-tu préciser quel est le lien entre d et u? Qui est-ce que tu projètes orthgonalement? Je ne sais pas si c'est moi, mais ce n'est pas très clair.

C'est effectivement pas très clair, en tout cas pas besoin de faire de projections.

Si A était fini alors on aurait deux points p et p' qui réalisent la distance minimale entre deux points de A. Cependant le point m, milieu du segment [p;p'], est un point de A par hypothèse et d(p,m)<d(p,p'), ce qui est absurde. L'ensemble A est donc infini.

Autre façon de faire : Soient U0 et U1 deux points de A, on définit par récurrence la suite de points Un+1=(U0+Un)/2. Par récurrence chaque point Un appartient à A et ils sont tous distincts puisque d(U0,Un)=d(U1,U0)/2^(n-1). On a donc exhibé une infinité de points appartenant à A.

Je crois que tu as mal lu l'énoncé: on suppose que tout point est un milieu et non que l'ensemble est stable par milieux. Donc tes arguments ne fonctionnent pas.

Le 11 juillet 2021 à 12:18:42 :

Le 11 juillet 2021 à 12:13:26 :

Le 11 juillet 2021 à 12:03:21 :

Le 11 juillet 2021 à 11:31:51 :

Le 11 juillet 2021 à 07:29:07 :
Exercice 6 : Soit A un ensemble de points du plan vérifiant la propriété suivante : chaque point de A est le milieu d'un segment reliant deux autres points de A.

Montrer que card A = +oo

j'ai un idée : par l'absurde on suppose que A fini. déjà s'ils sont alignés -> impossible (on peut les ordonner)

on les suppose fini et non aligné. il existe un point u et une droite d (qui passe par au moins deux points de A) de distance minimale. par hyp, on, a au moins deux point sur une demie droite d'origine le projeté orthog en question. mais alors par inégalité trig on a un nouveau couple (u',d') qui donne une distance strictement plus petite : impossible

Peux-tu préciser quel est le lien entre d et u? Qui est-ce que tu projètes orthgonalement? Je ne sais pas si c'est moi, mais ce n'est pas très clair.

C'est effectivement pas très clair, en tout cas pas besoin de faire de projections.

Si A était fini alors on aurait deux points p et p' qui réalisent la distance minimale entre deux points de A. Cependant le point m, milieu du segment [p;p'], est un point de A par hypothèse et d(p,m)<d(p,p'), ce qui est absurde. L'ensemble A est donc infini.

Autre façon de faire : Soient U0 et U1 deux points de A, on définit par récurrence la suite de points Un+1=(U0+Un)/2. Par récurrence chaque point Un appartient à A et ils sont tous distincts puisque d(U0,Un)=d(U1,U0)/2^(n-1). On a donc exhibé une infinité de points appartenant à A.

rien ne dit que le milieu de p et p' est dans A

effectivement j'ai mal lu

Bon je propose une autre démo alors. Supposons A fini, on regarde C(A) son enveloppe convexe, c'est un polygone et chaque sommet de ce polygone est un point de A. Cependant ces sommets sont des points extrémaux de C(A) et donc il ne sont le milieu d'aucun point de C(A) et donc le milieu d'aucun point de A non plus. C'est absurde donc A est infini.

Le 11 juillet 2021 à 12:31:02 :

Le 11 juillet 2021 à 12:20:52 :

Le 11 juillet 2021 à 12:13:26 :

Le 11 juillet 2021 à 12:03:21 :

Le 11 juillet 2021 à 11:31:51 :

Le 11 juillet 2021 à 07:29:07 :
Exercice 6 : Soit A un ensemble de points du plan vérifiant la propriété suivante : chaque point de A est le milieu d'un segment reliant deux autres points de A.

Montrer que card A = +oo

j'ai un idée : par l'absurde on suppose que A fini. déjà s'ils sont alignés -> impossible (on peut les ordonner)

on les suppose fini et non aligné. il existe un point u et une droite d (qui passe par au moins deux points de A) de distance minimale. par hyp, on, a au moins deux point sur une demie droite d'origine le projeté orthog en question. mais alors par inégalité trig on a un nouveau couple (u',d') qui donne une distance strictement plus petite : impossible

Peux-tu préciser quel est le lien entre d et u? Qui est-ce que tu projètes orthgonalement? Je ne sais pas si c'est moi, mais ce n'est pas très clair.

C'est effectivement pas très clair, en tout cas pas besoin de faire de projections.

Si A était fini alors on aurait deux points p et p' qui réalisent la distance minimale entre deux points de A. Cependant le point m, milieu du segment [p;p'], est un point de A par hypothèse et d(p,m)<d(p,p'), ce qui est absurde. L'ensemble A est donc infini.

Autre façon de faire : Soient U0 et U1 deux points de A, on définit par récurrence la suite de points Un+1=(U0+Un)/2. Par récurrence chaque point Un appartient à A et ils sont tous distincts puisque d(U0,Un)=d(U1,U0)/2^(n-1). On a donc exhibé une infinité de points appartenant à A.

Je crois que tu as mal lu l'énoncé: on suppose que tout point est un milieu et non que l'ensemble est stable par milieux. Donc tes arguments ne fonctionnent pas.

Le 11 juillet 2021 à 12:18:42 :

Le 11 juillet 2021 à 12:13:26 :

Le 11 juillet 2021 à 12:03:21 :

Le 11 juillet 2021 à 11:31:51 :

Le 11 juillet 2021 à 07:29:07 :
Exercice 6 : Soit A un ensemble de points du plan vérifiant la propriété suivante : chaque point de A est le milieu d'un segment reliant deux autres points de A.

Montrer que card A = +oo

j'ai un idée : par l'absurde on suppose que A fini. déjà s'ils sont alignés -> impossible (on peut les ordonner)

on les suppose fini et non aligné. il existe un point u et une droite d (qui passe par au moins deux points de A) de distance minimale. par hyp, on, a au moins deux point sur une demie droite d'origine le projeté orthog en question. mais alors par inégalité trig on a un nouveau couple (u',d') qui donne une distance strictement plus petite : impossible

Peux-tu préciser quel est le lien entre d et u? Qui est-ce que tu projètes orthgonalement? Je ne sais pas si c'est moi, mais ce n'est pas très clair.

C'est effectivement pas très clair, en tout cas pas besoin de faire de projections.

Si A était fini alors on aurait deux points p et p' qui réalisent la distance minimale entre deux points de A. Cependant le point m, milieu du segment [p;p'], est un point de A par hypothèse et d(p,m)<d(p,p'), ce qui est absurde. L'ensemble A est donc infini.

Autre façon de faire : Soient U0 et U1 deux points de A, on définit par récurrence la suite de points Un+1=(U0+Un)/2. Par récurrence chaque point Un appartient à A et ils sont tous distincts puisque d(U0,Un)=d(U1,U0)/2^(n-1). On a donc exhibé une infinité de points appartenant à A.

rien ne dit que le milieu de p et p' est dans A

effectivement j'ai mal lu

Bon je propose une autre démo alors. Supposons A fini, on regarde C(A) son enveloppe convexe, c'est un polygone et chaque sommet de ce polygone est un point de A. Cependant ces sommets sont des points extrémaux de C(A) et donc il ne sont le milieu d'aucun point de C(A) et donc le milieu d'aucun point de A non plus. C'est absurde donc A est infini.

Les grands esprits se rencontrent alors: j'ai donné la même preuve une page avant

Sinon la démo d'un autre khey était plutôt sympa: prendre le point de plus petite abscisse et de plus petite ordonnée (dans cet ordre): il ne peut être milieu de deux autres points de A.

Mais A serait pas le plan par construction?

Le 11 juillet 2021 à 12:38:13 :
Mais A serait pas le plan par construction?

Non: prends par exemple une droite dans le plan, ça convient.

Le 11 juillet 2021 à 12:39:20 :

Le 11 juillet 2021 à 12:38:13 :
Mais A serait pas le plan par construction?

Non: prends par exemple une droite dans le plan, ça convient.

Bon je vais me laver et sortir de mon lit merci

Le 11 juillet 2021 à 12:33:58 :

Le 11 juillet 2021 à 12:31:02 :

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Exercice 6 : Soit A un ensemble de points du plan vérifiant la propriété suivante : chaque point de A est le milieu d'un segment reliant deux autres points de A.

Montrer que card A = +oo

j'ai un idée : par l'absurde on suppose que A fini. déjà s'ils sont alignés -> impossible (on peut les ordonner)

on les suppose fini et non aligné. il existe un point u et une droite d (qui passe par au moins deux points de A) de distance minimale. par hyp, on, a au moins deux point sur une demie droite d'origine le projeté orthog en question. mais alors par inégalité trig on a un nouveau couple (u',d') qui donne une distance strictement plus petite : impossible

Peux-tu préciser quel est le lien entre d et u? Qui est-ce que tu projètes orthgonalement? Je ne sais pas si c'est moi, mais ce n'est pas très clair.

C'est effectivement pas très clair, en tout cas pas besoin de faire de projections.

Si A était fini alors on aurait deux points p et p' qui réalisent la distance minimale entre deux points de A. Cependant le point m, milieu du segment [p;p'], est un point de A par hypothèse et d(p,m)<d(p,p'), ce qui est absurde. L'ensemble A est donc infini.

Autre façon de faire : Soient U0 et U1 deux points de A, on définit par récurrence la suite de points Un+1=(U0+Un)/2. Par récurrence chaque point Un appartient à A et ils sont tous distincts puisque d(U0,Un)=d(U1,U0)/2^(n-1). On a donc exhibé une infinité de points appartenant à A.

Je crois que tu as mal lu l'énoncé: on suppose que tout point est un milieu et non que l'ensemble est stable par milieux. Donc tes arguments ne fonctionnent pas.

Le 11 juillet 2021 à 12:18:42 :

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Exercice 6 : Soit A un ensemble de points du plan vérifiant la propriété suivante : chaque point de A est le milieu d'un segment reliant deux autres points de A.

Montrer que card A = +oo

j'ai un idée : par l'absurde on suppose que A fini. déjà s'ils sont alignés -> impossible (on peut les ordonner)

on les suppose fini et non aligné. il existe un point u et une droite d (qui passe par au moins deux points de A) de distance minimale. par hyp, on, a au moins deux point sur une demie droite d'origine le projeté orthog en question. mais alors par inégalité trig on a un nouveau couple (u',d') qui donne une distance strictement plus petite : impossible

Peux-tu préciser quel est le lien entre d et u? Qui est-ce que tu projètes orthgonalement? Je ne sais pas si c'est moi, mais ce n'est pas très clair.

C'est effectivement pas très clair, en tout cas pas besoin de faire de projections.

Si A était fini alors on aurait deux points p et p' qui réalisent la distance minimale entre deux points de A. Cependant le point m, milieu du segment [p;p'], est un point de A par hypothèse et d(p,m)<d(p,p'), ce qui est absurde. L'ensemble A est donc infini.

Autre façon de faire : Soient U0 et U1 deux points de A, on définit par récurrence la suite de points Un+1=(U0+Un)/2. Par récurrence chaque point Un appartient à A et ils sont tous distincts puisque d(U0,Un)=d(U1,U0)/2^(n-1). On a donc exhibé une infinité de points appartenant à A.

rien ne dit que le milieu de p et p' est dans A

effectivement j'ai mal lu

Bon je propose une autre démo alors. Supposons A fini, on regarde C(A) son enveloppe convexe, c'est un polygone et chaque sommet de ce polygone est un point de A. Cependant ces sommets sont des points extrémaux de C(A) et donc il ne sont le milieu d'aucun point de C(A) et donc le milieu d'aucun point de A non plus. C'est absurde donc A est infini.

Les grands esprits se rencontrent alors: j'ai donné la même preuve une page avant

Sinon la démo d'un autre khey était plutôt sympa: prendre le point de plus petite abscisse et de plus petite ordonnée (dans cet ordre): il ne peut être milieu de deux autres points de A.

Ok je savais pas que la solution avait déjà été donnée !
Tu remarqueras que c'est la même chose, le point de plus petite abscisse puis ordonnée est un point extrémal de C(A).

Bon et si on dit que :
-Les points de A ne sont pas contenus dans une droite.
-Tout point non extrémal de C(A) est le milieu d'un segment de points de A.

Est-ce que A est encore infini ?

Soit E un ensemble fini muni d'une loi de composition interne et associative. Il existe un élément x de E vérifiant x.x. = x

Le 11 juillet 2021 à 12:41:09 :

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Exercice 6 : Soit A un ensemble de points du plan vérifiant la propriété suivante : chaque point de A est le milieu d'un segment reliant deux autres points de A.

Montrer que card A = +oo

j'ai un idée : par l'absurde on suppose que A fini. déjà s'ils sont alignés -> impossible (on peut les ordonner)

on les suppose fini et non aligné. il existe un point u et une droite d (qui passe par au moins deux points de A) de distance minimale. par hyp, on, a au moins deux point sur une demie droite d'origine le projeté orthog en question. mais alors par inégalité trig on a un nouveau couple (u',d') qui donne une distance strictement plus petite : impossible

Peux-tu préciser quel est le lien entre d et u? Qui est-ce que tu projètes orthgonalement? Je ne sais pas si c'est moi, mais ce n'est pas très clair.

C'est effectivement pas très clair, en tout cas pas besoin de faire de projections.

Si A était fini alors on aurait deux points p et p' qui réalisent la distance minimale entre deux points de A. Cependant le point m, milieu du segment [p;p'], est un point de A par hypothèse et d(p,m)<d(p,p'), ce qui est absurde. L'ensemble A est donc infini.

Autre façon de faire : Soient U0 et U1 deux points de A, on définit par récurrence la suite de points Un+1=(U0+Un)/2. Par récurrence chaque point Un appartient à A et ils sont tous distincts puisque d(U0,Un)=d(U1,U0)/2^(n-1). On a donc exhibé une infinité de points appartenant à A.

Je crois que tu as mal lu l'énoncé: on suppose que tout point est un milieu et non que l'ensemble est stable par milieux. Donc tes arguments ne fonctionnent pas.

Le 11 juillet 2021 à 12:18:42 :

Le 11 juillet 2021 à 12:13:26 :

Le 11 juillet 2021 à 12:03:21 :

Le 11 juillet 2021 à 11:31:51 :

Le 11 juillet 2021 à 07:29:07 :
Exercice 6 : Soit A un ensemble de points du plan vérifiant la propriété suivante : chaque point de A est le milieu d'un segment reliant deux autres points de A.

Montrer que card A = +oo

j'ai un idée : par l'absurde on suppose que A fini. déjà s'ils sont alignés -> impossible (on peut les ordonner)

on les suppose fini et non aligné. il existe un point u et une droite d (qui passe par au moins deux points de A) de distance minimale. par hyp, on, a au moins deux point sur une demie droite d'origine le projeté orthog en question. mais alors par inégalité trig on a un nouveau couple (u',d') qui donne une distance strictement plus petite : impossible

Peux-tu préciser quel est le lien entre d et u? Qui est-ce que tu projètes orthgonalement? Je ne sais pas si c'est moi, mais ce n'est pas très clair.

C'est effectivement pas très clair, en tout cas pas besoin de faire de projections.

Si A était fini alors on aurait deux points p et p' qui réalisent la distance minimale entre deux points de A. Cependant le point m, milieu du segment [p;p'], est un point de A par hypothèse et d(p,m)<d(p,p'), ce qui est absurde. L'ensemble A est donc infini.

Autre façon de faire : Soient U0 et U1 deux points de A, on définit par récurrence la suite de points Un+1=(U0+Un)/2. Par récurrence chaque point Un appartient à A et ils sont tous distincts puisque d(U0,Un)=d(U1,U0)/2^(n-1). On a donc exhibé une infinité de points appartenant à A.

rien ne dit que le milieu de p et p' est dans A

effectivement j'ai mal lu

Bon je propose une autre démo alors. Supposons A fini, on regarde C(A) son enveloppe convexe, c'est un polygone et chaque sommet de ce polygone est un point de A. Cependant ces sommets sont des points extrémaux de C(A) et donc il ne sont le milieu d'aucun point de C(A) et donc le milieu d'aucun point de A non plus. C'est absurde donc A est infini.

Les grands esprits se rencontrent alors: j'ai donné la même preuve une page avant

Sinon la démo d'un autre khey était plutôt sympa: prendre le point de plus petite abscisse et de plus petite ordonnée (dans cet ordre): il ne peut être milieu de deux autres points de A.

Ok je savais pas que la solution avait déjà été donnée !
Tu remarqueras que c'est la même chose, le point de plus petite abscisse puis ordonnée est un point extrémal de C(A).

Bon et si on dit que :
-Les points de A ne sont pas contenus dans une droite.
-Tout point non extrémal de C(A) est le milieu d'un segment de points de A.

Est-ce que A est encore infini ?

Sauf erreur, A est encore infini. Si un tel A fini existait, on considère encore C(A): l'hypothèse A dit que C(A) n'est pas inclus dans une droite, donc est de mesure non nulle. Or l'ensemble des segments reliant deux points de A est fini donc la réunion de ces segements est de mesure nulle. Il y a donc forcément un point intérieur à C(A) qui n'est pas milieu d'élements de A.

Le 11 juillet 2021 à 12:50:50 :

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Exercice 6 : Soit A un ensemble de points du plan vérifiant la propriété suivante : chaque point de A est le milieu d'un segment reliant deux autres points de A.

Montrer que card A = +oo

j'ai un idée : par l'absurde on suppose que A fini. déjà s'ils sont alignés -> impossible (on peut les ordonner)

on les suppose fini et non aligné. il existe un point u et une droite d (qui passe par au moins deux points de A) de distance minimale. par hyp, on, a au moins deux point sur une demie droite d'origine le projeté orthog en question. mais alors par inégalité trig on a un nouveau couple (u',d') qui donne une distance strictement plus petite : impossible

Peux-tu préciser quel est le lien entre d et u? Qui est-ce que tu projètes orthgonalement? Je ne sais pas si c'est moi, mais ce n'est pas très clair.

C'est effectivement pas très clair, en tout cas pas besoin de faire de projections.

Si A était fini alors on aurait deux points p et p' qui réalisent la distance minimale entre deux points de A. Cependant le point m, milieu du segment [p;p'], est un point de A par hypothèse et d(p,m)<d(p,p'), ce qui est absurde. L'ensemble A est donc infini.

Autre façon de faire : Soient U0 et U1 deux points de A, on définit par récurrence la suite de points Un+1=(U0+Un)/2. Par récurrence chaque point Un appartient à A et ils sont tous distincts puisque d(U0,Un)=d(U1,U0)/2^(n-1). On a donc exhibé une infinité de points appartenant à A.

Je crois que tu as mal lu l'énoncé: on suppose que tout point est un milieu et non que l'ensemble est stable par milieux. Donc tes arguments ne fonctionnent pas.

Le 11 juillet 2021 à 12:18:42 :

Le 11 juillet 2021 à 12:13:26 :

Le 11 juillet 2021 à 12:03:21 :

Le 11 juillet 2021 à 11:31:51 :

Le 11 juillet 2021 à 07:29:07 :
Exercice 6 : Soit A un ensemble de points du plan vérifiant la propriété suivante : chaque point de A est le milieu d'un segment reliant deux autres points de A.

Montrer que card A = +oo

j'ai un idée : par l'absurde on suppose que A fini. déjà s'ils sont alignés -> impossible (on peut les ordonner)

on les suppose fini et non aligné. il existe un point u et une droite d (qui passe par au moins deux points de A) de distance minimale. par hyp, on, a au moins deux point sur une demie droite d'origine le projeté orthog en question. mais alors par inégalité trig on a un nouveau couple (u',d') qui donne une distance strictement plus petite : impossible

Peux-tu préciser quel est le lien entre d et u? Qui est-ce que tu projètes orthgonalement? Je ne sais pas si c'est moi, mais ce n'est pas très clair.

C'est effectivement pas très clair, en tout cas pas besoin de faire de projections.

Si A était fini alors on aurait deux points p et p' qui réalisent la distance minimale entre deux points de A. Cependant le point m, milieu du segment [p;p'], est un point de A par hypothèse et d(p,m)<d(p,p'), ce qui est absurde. L'ensemble A est donc infini.

Autre façon de faire : Soient U0 et U1 deux points de A, on définit par récurrence la suite de points Un+1=(U0+Un)/2. Par récurrence chaque point Un appartient à A et ils sont tous distincts puisque d(U0,Un)=d(U1,U0)/2^(n-1). On a donc exhibé une infinité de points appartenant à A.

rien ne dit que le milieu de p et p' est dans A

effectivement j'ai mal lu

Bon je propose une autre démo alors. Supposons A fini, on regarde C(A) son enveloppe convexe, c'est un polygone et chaque sommet de ce polygone est un point de A. Cependant ces sommets sont des points extrémaux de C(A) et donc il ne sont le milieu d'aucun point de C(A) et donc le milieu d'aucun point de A non plus. C'est absurde donc A est infini.

Les grands esprits se rencontrent alors: j'ai donné la même preuve une page avant

Sinon la démo d'un autre khey était plutôt sympa: prendre le point de plus petite abscisse et de plus petite ordonnée (dans cet ordre): il ne peut être milieu de deux autres points de A.

Ok je savais pas que la solution avait déjà été donnée !
Tu remarqueras que c'est la même chose, le point de plus petite abscisse puis ordonnée est un point extrémal de C(A).

Bon et si on dit que :
-Les points de A ne sont pas contenus dans une droite.
-Tout point non extrémal de C(A) est le milieu d'un segment de points de A.

Est-ce que A est encore infini ?

Sauf erreur, A est encore infini. Si un tel A fini existait, on considère encore C(A): l'hypothèse A dit que C(A) n'est pas inclus dans une droite, donc est de mesure non nulle. Or l'ensemble des segments reliant deux points de A est fini donc la réunion de ces segements est de mesure nulle. Il y a donc forcément un point intérieur à C(A) qui n'est pas milieu d'élements de A.

Je me suis mal exprimé. Tout point de A qui n'est pas aussi un point extrémal de C(A) et le milieu de deux points de A.

Le 11 juillet 2021 à 12:44:19 :
Soit E un ensemble fini muni d'une loi de composition interne et associative. Il existe un élément x de E vérifiant x.x. = x

C'est un classique ça