La notion d'espace vectoriel fournit une première structure purement algébrique dans laquelle le langage géométrique peut s'exprimer. La notion de coordonnée devient centrale, et le plan, par exemple, est en partie modélisé par un espace vectoriel de dimension deux, qui s'identifie essentiellement à l'ensemble de tous les couples de coordonnées (x1, x2), où x1 et x2 sont deux nombres réels ; un point est alors simplement un tel couple. La généralisation se fait facilement à l'espace de dimension 3 en considérant des triplets de coordonnées, mais aussi aux espaces de dimension n. Dans cette modélisation, le plan abstrait tel que décrit par les axiomes a été muni arbitrairement d'une origine.
La description géométrique des espaces vectoriels fait jouer un rôle très particulier au vecteur nul : le vecteur « 0 ». Les objets mathématiques habituellement associés sont des droites qui se rencontrent toutes en 0 et des transformations qui laissent inchangé le vecteur 0. On définit une structure dérivée de celle d'espace vectoriel, qui porte le nom d'espace affine, et pour lequel les points jouent tous des rôles identiques. En termes imagés, ce procédé consiste à transférer la situation observée en 0 à tous les autres points de l'espace. Cela se fait par translation, plus précisément en faisant agir l'espace vectoriel sur lui-même par translation.
La structure d'espace affine permet de rendre compte pleinement des propriétés d'incidence : par exemple, dans un espace affine réel de dimension 2, les droites vérifient le cinquième postulat ou cancer d'Euclide.
Cependant, seules les propriétés d'incidence sont modélisées, une grande partie de la géométrie euclidienne classique n'est pas atteinte : il manque essentiellement une notion de mesure. Un outil linéaire permet de combler cette lacune ; c'est le produit scalaire. Un espace affine réel muni d'un produit scalaire est appelé espace euclidien, toutes les notions géométriques classiques sont définies dans un tel espace, et leurs propriétés issues de l'algèbre vérifient tous les axiomes euclidiens : les théorèmes géométriques issus du corpus classiques, portant sur n'importe quels objets vérifiant ces axiomes, deviennent donc en particulier des théorèmes pour les points, droites, cercles, tels que définis dans un espace euclidien.
Enfin, les espaces affines euclidiens ne sont pas limités aux dimensions 2 ou 3 ; ils permettent de rendre compte des différents problèmes physiques et statistiques évoqués ci-dessus, et qui mettent en jeu un plus grand nombre de variables, avec l'utilisation d'un langage géométrique. Beaucoup de théorèmes d'incidence et de mesure se généralisent presque automatiquement, notamment le théorème de Pythagore.
Le passage à un degré d'abstraction supérieur offre un formalisme plus puissant, donnant accès à de nouveaux théorèmes et simplifiant les démonstrations ; l'intuition géométrique habituelle des dimensions 2 ou 3 est parfois défiée par ces dimensions supérieures, mais reste souvent efficace. Les gains sont suffisants pour que les analyses sophistiquées soient généralement exprimées à l'aide du produit scalaire.
