Messages de mononeon
Le 11 août 2022 à 14:20:10 :
Le 11 août 2022 à 14:16:24 :
A quoi sert la transformée de Legendre ?Je sais qu'elle sert notamment en théorie des grandes déviations.
Prends des variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées X1, X2, ... On s'intéresse à la somme Sn = X1 + ... + Xn. La loi des grandes nombres dit que Sn se comporte typiquement comme E(X) fois n, et le théorème central limite donne l'ordre grandeur des fluctuations typiques. Mais si, au lieu de s'intéresser au scénario typique, on s'intéressait à la probabilité d'observer un scénario atypique... C'est précisément le propos de la théorie des grandes déviations.
Donne toi y > E(X). [On traiterait similairement le cas inférieur.] Quelle est l'asymptotique en n de la proba que Sn soit supérieur ou égal à y fois n. Il se trouve que c'est de la forme exp(f(y)n + o(n)). La fonction f s'exprime facilement en termes de la transformée de Legendre de la transformée de Laplace de X
Intéressant, j'ai jamais réussi à avoir d'intuition sur cette transformée et je ne connaissais son usage qu'en mécanique et en optimisation 