Ah oui bien vu !
D'ailleurs je me suis demandé après avoir posté si j'ai pas fait la démo d'une propriété que tu signalais comme vrai pour les anneaux noethériens intègres (j'ai cru que tu ajoutais une supposition)
Alors bonne nouvelle, si A est intègre noethérien, l'intersection des (x^n) est nulle si x n'est pas inversible.
Pour le voir, on peut supposer x non nul. Soit alors y un élément de l'intersection. y s'écrit (y_n)*x^n, pour y_n sans A. Mais donc (y_(n+1))*x^(n+1) = (y_n)*x^n, et par intégrité y_(n+1)*x = y_n, donc y_(n+1) divise y_n. On en déduit que (y_n) est stationnaire, disons à partir du rang m. Alors y_m = y_(m+1)*x = a*y_m*x. Si y était non nul, y_m aussi (c'est un diviser de y) et par intégrité, 1 = ax, ce qui contredit la non inversibilité de x.
Et ok je comprends ta démo. Bien joué !
Maintenant je dois avouer quelque chose. En lisant le topic j'ai fini par oublier le tout premier message de l'auteur, sur ce qu'il attend de son topic (peut-être même que je n'avais pas lu ce message avant de poster). Vu que je sais pas me servir de ce forum, j'ai pas su éditer. Par là j'entends que je connais la solution, qui est affirmative (elle n'est pas de moi).
Ça aurait été plus intéressant si je n'avais pas la réponse et qu'on continuait de chercher, puisqu'on a visiblement tous les deux apporté un constat et démontré finalement que c'est vrai dans le cas A intègre noethérien (ok ta contribution est je pense plus grande ; mais en même temps j'ai forcément pas beaucoup cherché).
Mais je sais pas combien de temps tu comptes insister, certainement pas une éternité alors voilà la solution :
Par l'absurde, soit I un élément maximal de l'ensemble des idéaux non principaux (I existe par Zorn). Soit x et y dans A\I tels que xy est dans I. Soit z un générateur de I+(x), et w un générateur de l'idéal formé par les a dans A tels que az est dans I (cet idéal contient y et I). Alors I = (wz).
Maintenant une question dont j'ai a priori pas la réponse (et là je dois aller réviser d'autres trucs dont je reviendrai dessus une autre fois). Quelles conditions minimales sur A pour que l'intersection des (x^n) soit forcément nulle pour x non inversible ? Par exemple pour A intègre est-ce vrai ? Je débute en théorie des anneaux alors il y a peut-être un contre exemple évident...
Quitte à répondre ici aussi, en L1 tu n'as pas forcément besoin d'ouvrages particuliers. Il y a beaucoup de ressources en ligne pour la licence et la prépa. Je connais mal JVC alors je sais pas si je peux les citer, mais t'as bibm*ths, "exo sept", un site du prof Alain Troesch (ça c'est pour approfondir vu qu'il a enseigné à louis le grand). Il y avait un autre site extrêmement bien pour le coup mais devenu payant. Sinon écris tout simplement le thème + "exercice corrigé", en L1 L2 tu devrais tomber sur quelque chose. Je connais peu de livres de niveau théorique de L1 L2, à part les classiques gourdon et oraux X-Ens... qui sont largement au-dessus des attentes des universités (après c'est aussi à toi de choisir quels sont tes standards, mais c'est pour prévenir, ils sont à considérer que si tu "stagnes" à 18+ de moyenne).
Je pense vraiment pas que vous pourrez changer votre prof de td, même à plusieurs. Ça semble récurrent d'avoir des choses comme ça dans les facs. T'en as toujours au moins un comme ça chaque année. J'ai "envie" de dire que ça fait partie du jeu.
Démontre l'inégalité arithmético-géométrique par récurrence
Indice : montre que P(n+1) => P(n), P(n) étant la propriété pour n réels. Ce n'est pas un indice trivial au cas où tu aurais lu trop vite.
C'est une somme télescopique.
C'est le sixième de la somme des (k-2)(k-1)k/6, qui est la somme des 3 parmi k, k variant entre 0 et 1002.
Or (3 parmi k) = (4 parmi k+1) - (4 parmi k), relation de Pascal.
Donc la somme vaut 6*(4 parmi 1003).
Je l'ai fait comme ça :
Les poids sont supposés strictement positifs. S'ils sont entiers, quitte à tous les diviser par 2^m (le problème est linéaire) on peut supposer qu'au moins un est impair. On raisonne alors par parité pour conclure.
Si les poids sont réels, on écrit AX=0 avec X le vecteur composé des poids et A la matrice correspondant au problème traité par l'absurde (diagonale nulle, -1 ou 1 sinon). Mais alors det(A)=0 dans Q et il existe un vecteur colonne Y à coefficients entiers tel que AY=0 : on en revient donc au cas précédent. Cela conclut.
J'avais pensé à écrire sous forme matricielle mais pas à passer dans Z/2Z... et j'avais l'impression que c'était un exo type olympiade alors je l'ai finalement plutot abordé comme suit (la réponse à la question étant oui) :
Notons que le problème est linéaire donc on peut multiplier tous les poids par n'importe quel réel > 0.
L'idée est de se ramener au cas où les poids des vaches sont entiers (non nuls), qui lui se traite facilement avec un argument de parité, quitte à diviser tous les poids par 2 autant qu'il le faut pour s'assurer qu'au moins un soit impair (mise en forme laissée au lecteur).
Quitte à les diviser par le plus petit d'entre eux, on considère maintenant les poids tous >1. Pour se ramener au cas entier, on veut multiplier les poids par x>1, de telle sorte que les parties fractionnaires des x*p1, x*p2, ... soient inférieures à 1/10, avec p1, p2, ... les poids des vaches. En traitant le problème par l'absurde, cela impliquera facilement que les parties entières des x*p_i vérifient les hypothèses et donne donc la contradiction compte tenu du paragraphe précédent. Noter que si les poids étaient rationnels, on se ramenerait très facilement au cas entier.
Il suffit donc montrer l'existence d'un tel x réel. Pour ce faire, il suffit de montrer que les n_i/p_i peuvent être deux à deux arbitrairement proches pour certains entiers n_i > max(p_j) donnés. On posera alors x=n_1/p_1.
Mais là j'ai pas réussi à le montrer. Pourtant ça semble vrai et plutôt simple, mais j'utilise une intuition arithmétique... et peut-être que ça foire avec des irrationnels. En tout cas pour deux poids ça aurait fonctionné en considérant le groupe additif engendré...
J'y réfléchirai de nouveau une autre fois car cette dernière interrogation m'intéresse, et j'aurai bientôt plus d'outils pour l'aborder. Mais donc je peux conclure l'exo dans le cas de poids tous rationnels ainsi que pour la majorité des réels (raisonner en prenant x=10^m ci-dessus). Sauf erreur.