J'ai écrit vite, et j'obtiens ça :
N = _A_ _B_=10A+B, pour A, B naturels, positifs, A,B pas nuls en même temps.
On veut aussi N=A*B
Analyse :
Alors 10A=B(A-1)
Donc A divise B(A-1)
Or A est premier avec A-1 : lemme de Gauss, A doit diviser B.
B=nA, n entier naturel.
On obtient 10A=nA(A-1)
. Si A = 0, N=B, mais A*B = 0 force, grâce à A*B=N, B = 0, c'est impossible.
. Sinon :
2*5=n(A-1)
Donc A-1 dans {2,5} par factorisation, ie A dans {3,6}.
Synthèse :
. Si A = 3, 10A+B=AB donne 30=2B, B=15.
Alors N = 315, mais 3*15 != 315. Impossible.
. Si A=6, 10A+B=AB donne 60=5B, B=12.
Alors N=612, mais 6*12 = 72 != 612. Impossible.
De tels A,B n'existent pas.
Il doit y avoir une solution analytique en regardant la courbe xy=10x+y, mais ça ne me saute pas aux yeux.
Nadoxy a probablement eu une bonne intuition.
