Ce qu'il y a de plus FASCINANT dans les MATHS : les nombres premiers, Pi ou les topos ?

Je parle évidemment de la distribution des nombres premiers dans le premier cas (son explication permettrait la résolutions des trois problèmes essentiels de la théorie des nombres : l'hypothèse de Riemann, celle de Goldbach (forte) et le problème des nombres premiers jumeaux).

Inutile de présenter Pi la rockstar des maths avec e et i nombre transcendant par excellence (aucun polynôme à coefficients entiers ne saurait l exprimer en tant que racine), on ne sait mêne pas de quelle classe de transcendance il appartient, il serait même un nombre univers ! (Toutes les suites finies d'entiers seraient contenus dans son infini développement décimal). Et puis, plus simplement c est le rapport du périmètre d'un cercle avec son diamètre il n'y a rien de plus universel que ce rapport

Pour le topos, c'est un peu plus abstrait en la définition arride du topos c'est qu'il est une catégorie de faisceaux d'ensembles qui "ouvrent" sur un espace topologique bon c est moins intuitif que p ou que pi... mais philosophiquement, le topos est une généralisation substantielle de la notion d espace ! Il permet à ce qu'un espace soit "paramétrée" (par exemble avec t, le temps), ce qui confère aux "points" de cet espace un dynamisme, ou plutôt une variabilité (au sens algébrique)... l'espace topologique devient un espace RELATIF ! La portée de cette notion est métaphysique : les objets mathématiques n'ont plus d existence en soi et pour soi, ils sobt l émanation d une structure fine et discrète, cachée, celle du topos. Appliquée à la théorie de la logique, la notion de topos élimine l axiome du tiers exclu, et par conséquent la notion de vérité absolue... il n y a plus que des valeurs valeurs de vérité... Le topos est hypothétiquement, rêveusement, ce qui permettrait d'unifier intimiment, par un jeu de correspondances structurelles, l'ensemble des branches mathématiques...

Lequel de ces "objets" vous fascine le plus ?

Persoent :

1-Topos
2-Répartition des nombres premiers
3-Pi

Intimement*

Isse

Même classement.

Les topos sont d'une vaste portée.
La répartition des nombres premiers est un problème difficile mais spécifique.
Pi, c'est juste un nombre : OK, il intervient dans Fourier, Stirling et compagnie, mais bon...

Après, honnêtement, les topos, je connais surtout par le tintouin qu'en font Grothendieck, Connes et Lafforgue. Je suis sensible à leur vision mais leur vision ne fait pas l'unanimité : pour pas mal de monde, un topos est surtout un outil technique pour définir une cohomologie. D'ailleurs, si on cherche à généraliser en mode géométrie algébrique la notion d'espace, ce serait de nos jours plutôt les condensed sets qui seraient appropriés apparemment.

Scholze expliquait je sais plus où qu'on utilise la même notion d'espace topologique pour trois usages différents et que, selon l'usage, telle ou telle généralisation était plus pertinente. Il reste d'avis que pour je ne sais plus quel usage, les topos sont la bonne généralisation ; mais pour la notion d'espace géométrique, les condensed sets sont apparemment plus pertinents.

Le topos est hypothétiquement, rêveusement, ce qui permettrait d'unifier intimiment, par un jeu de correspondances structurelles, l'ensemble des branches mathématiques...

Ça reste actuellement assez spéculatif. Ce qui ne contredit en rien ton propos, nuancé d'adverbes.

Bref, ce n'est pas gagné... ce qui ne veut pas dire que c'est mort non plus : juste, à voir quoi
Et hoplé, pas de tiers exclus dans ce que je viens de dire

Pourquoi dis-tu que l'espace est "relatif" dans le cas du topos ?

Elbougnador : après, il ne faut pas limiter le topos aux simples espaces topologiques en introduisant la notion de topos classifiant, et en empruntant des ressources à la théorie des motifs, on peut étudier de façon nouvelles les correspondances structurelles en jeu par exemple dans la théorie des classes ou dans le programme de Langlands (jeter une lumière sur le fonctionnement des formes modulaires)

Le 22 septembre 2024 à 02:03:20 :
Même classement.

Les topos sont d'une vaste portée.
La répartition des nombres premiers est un problème difficile mais spécifique.
Pi, c'est juste un nombre : OK, il intervient dans Fourier, Stirling et compagnie, mais bon...

Après, honnêtement, les topos, je connais surtout par le tintouin qu'en font Grothendieck, Connes et Lafforgue. Je suis sensible à leur vision mais leur vision ne fait pas l'unanimité : pour pas mal de monde, un topos est surtout un outil technique pour définir une cohomologie. D'ailleurs, si on cherche à généraliser en mode géométrie algébrique la notion d'espace, ce serait de nos jours plutôt les condensed sets qui seraient appropriés apparemment.

Scholze expliquait je sais plus où qu'on utilise la même notion d'espace topologique pour trois usages différents et que, selon l'usage, telle ou telle généralisation était plus pertinente. Il reste d'avis que pour je ne sais plus quel usage, les topos sont la bonne généralisation ; mais pour la notion d'espace géométrique, les condensed sets sont apparemment plus pertinents.

Pi n'est pas réellement un nombre, puisqu'il est impossible de définir précisément l'ensemble de ses décimales.
Un nombre est figé, pi est une structure mathématique en mouvement perpétuel.

El bougnador : "relatif" pour montrer ce que signifiait concrètement un espace topologique paramétré évidemment, parler d espace relatif n a aucun sens formellement. Un espace qui permet la variabilité

Le 22 septembre 2024 à 02:11:31 :
Elbougnador : après, il ne faut pas limiter le topos aux simples espaces topologiques

Certes, mais c'est toi qui présentais les topos sous la motivation "généraliser la notion d'espace".

en introduisant la notion de topos classifiant, et en empruntant des ressources à la théorie des motifs, on peut étudier de façon nouvelles les correspondances structurelles en jeu par exemple dans la théorie des classes ou dans le programme de Langlands (jeter une lumière sur le fonctionnement des formes modulaires)

Qu'entends-tu par "théorie des classes" ?

As-tu des références pour ça et pour Langlands ? Dans le cas de Langlands, je sais que c'est ce qui a fait s'intéresser Lafforgue aux travaux de Caramello, initialement (plus peut-être des affinités personnelles mais qu'importe). Mais je n'ai pour l'heure pas connaissance que ça ait joué un rôle fort jusqu'à présent, d'où ma question de référence

Et rien ni personne ne déchiffrera jamais la logique d'apparition des nombres premiers car tout simplement il n'y a aucune logique mathématique dans leur apparition.
Qu'un nombre soit premier ou non découle juste du hasard total.

Le 22 septembre 2024 à 02:14:31 :
El bougnador : "relatif" pour montrer ce que signifiait concrètement un espace topologique paramétré évidemment, parler d espace relatif n a aucun sens formellement. Un espace qui permet la variabilité

OK, je vois ce que tu voulais dire

D'ailleurs, s'il fallait insérer les schémas dans le classement, tu mets ça où toi ?

Par contre pi est bien un nombre hein la classe des nombres transcendants existe

Le 22 septembre 2024 à 02:16:23 :
Et rien ni personne ne déchiffrera jamais la logique d'apparition des nombres premiers car tout simplement il n'y a aucune logique mathématique dans leur apparition.
Qu'un nombre soit premier ou non découle juste du hasard total.

On a déjà plein de résultats cernant de façon assez fine les nombres premiers, aucune raison qu'on ne puisse pas aller plus loin encore

Le 22 septembre 2024 à 02:17:22 :
Par contre pi est bien un nombre hein la classe des nombres transcendants existe

Oui de ce point de vue ok.
Mais il a tout de même un statut à part, un statut unique, dans la classification des nombres transcendants.

Le 22 septembre 2024 à 02:19:01 :

Le 22 septembre 2024 à 02:16:23 :
Et rien ni personne ne déchiffrera jamais la logique d'apparition des nombres premiers car tout simplement il n'y a aucune logique mathématique dans leur apparition.
Qu'un nombre soit premier ou non découle juste du hasard total.

On a déjà plein de résultats cernant de façon assez fine les nombres premiers, aucune raison qu'on ne puisse pas aller plus loin encore

Certes, mais les mathématiques ne s'accommodent pas de la finesse mais de l'exactitude.

Elbougnador : mes principales références sont justement Caramello et Lafforgue (pour cette relecture topos-théorique du programme de langlands) même claire voisin s'en fiche totalement des topos le us gros regret c est surtout que Serre s en fiche, bon là il est âgé, mais personne ne maîtrise mieux d un point de vue géométrique les formes modulaires que Serre ! Encore plus que Deligne. Il aurait pourtant tellement apporté en résultats concrets avec cette nouvelle approche...

Emperor : oui dans ce cas rien ne te permet d afgirmer que la répartition des nombres premiers est aléatoire c est pas "exact" comme démarche...

Il y a aussi les "stacks" parmi les trucs qui ont l'air d'exciter les géomètres algébristes.

Sur les trois généralisations des espaces topologiques, c'était ça que j'avais en tête :

Mais oui, je suis d'accord : les topos ne sont, du point de vue de la topologie, qu'une généralisation parmi d'autres intéressantes ; mais il y a d'autres points de vue que la topologie qui mènent aux topos, si bien que les topos généralisent d'autres choses (par exemple issues de la logique), avec le potentiel d'unifier ces diverses choses. A l'avenir de nous dire si ce potentiel est surpuissant, bof ou encore bon sans être miraculeux.

Ainsi, sur le dessin, les topos (ou topoï si on tient au pluriel grec) ne sont qu'une branche de notre arbre à trois branches ; mais il faut bien voir que d'autres arbres ont une branche qui pointe au même endroit

Le 22 septembre 2024 à 02:11:44 :

Le 22 septembre 2024 à 02:03:20 :
Même classement.

Les topos sont d'une vaste portée.
La répartition des nombres premiers est un problème difficile mais spécifique.
Pi, c'est juste un nombre : OK, il intervient dans Fourier, Stirling et compagnie, mais bon...

Après, honnêtement, les topos, je connais surtout par le tintouin qu'en font Grothendieck, Connes et Lafforgue. Je suis sensible à leur vision mais leur vision ne fait pas l'unanimité : pour pas mal de monde, un topos est surtout un outil technique pour définir une cohomologie. D'ailleurs, si on cherche à généraliser en mode géométrie algébrique la notion d'espace, ce serait de nos jours plutôt les condensed sets qui seraient appropriés apparemment.

Scholze expliquait je sais plus où qu'on utilise la même notion d'espace topologique pour trois usages différents et que, selon l'usage, telle ou telle généralisation était plus pertinente. Il reste d'avis que pour je ne sais plus quel usage, les topos sont la bonne généralisation ; mais pour la notion d'espace géométrique, les condensed sets sont apparemment plus pertinents.

Pi n'est pas réellement un nombre, puisqu'il est impossible de définir précisément l'ensemble de ses décimales.
Un nombre est figé, pi est une structure mathématique en mouvement perpétuel.

Bah c'est un nombre avec un nombre infini de décimales, mais ça reste un nombre non ? Enfin c'est ce que je pensais. Je suis passionné des maths, mais j'ai encore beaucoup à apprendre on dirait...