Cette question de maths met en sueur l'ELITE

Soit B(0,1) la boule unité fermé de Rn ( = {x dans R^n | ||x|| <= 1})
soit f une application continue de B(0,1) dans B(0,1)
Montrer qu'il existe un x de B(0,1) tel que f(x) = x

Aucune idée mais je partirais sur ca :

Bah admettons qu'il n'y ait pas de x tel que f(x) = x.
Donc A = {x tels que f(x) < x } et B = {x tels que f(x)>x } sont 2 ensembles dont la réunion est exactement B(0,1).
Comme j'ai le sentiment que ces 2 ensembles sont des ouverts, ca nous donnerait la réunion de 2 ouverts qui donne un compact, c'est impossible.

Reste à prouver que ce "sentiment" sur l'ouverture de ces 2 ensembles soit vraihttps://image.noelshack.com/fichiers/2022/37/1/1663014384-ahi-pince-mais.png

j'ai séché tous mes cours de topo.
Aimer la topo = mourir puceau.

https://image.noelshack.com/fichiers/2024/12/7/1711286146-capture-d-ecran-2024-03-24-141528.png

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_du_point_fixe_de_Brouwer

dim fini > 2 c'est pas evident

Le 24 mars 2024 à 14:17:02 :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_du_point_fixe_de_Brouwer

dim fini > 2 c'est pas evident

Ah l'op, ce saligaud

Meme en dim 2 c'est dur

On dirait un théorème de point fixe version topo.

théorème de brouwer c'est dans le gourdon

J'avais appris une démonstration via le lemme de non rétraction, que j'avais proposé pour un développement d'agreg comme une application du théorème d'inversion locale, d'après mes souvenirs.
Sinon on peut aussi le démontrer par les simplexes et le lemme de Sperner ou par l'homologie, mais je serais bien en peine de refaire la démonstration

Hmmm, le problème c’est que c’est justement le lemme de non rétractation qui est la partie compliquée de la preuve. En général le jury déconseille d’admettre un lemme qui cache le coeur de la preuve pour un développement.

https://image.noelshack.com/fichiers/2024/13/1/1711368887-proxy-image-15.jpeg

L'intérêt du développement était justement de démontrer le lemme de non rétraction, vu que le thème était l'utilisation du théorème d'inversion locale. Si on admet le lemme de non rétraction, la preuve du théorème de Brouwer est trop courte et triviale pour un développement d'agreg, aucun candidat n'oserait le proposer ainsi.

Théorème du point fixe

Philocelest : ok j’avais mal compris, au temps pour moi

Mais tu serais surpris de voir ce que certains candidats « osent » proposer en termes de développement des fois