[MATHS] Les ALGÉBRISTES, venez là

Pourquoi est-ce que si on a A un anneau quelconque, phi un endomorphisme de A[X] tel que pour tout P(X) appartenant à A[X] deg(phi(P(X)) = deg(P(X)) alors phi est un isomorphisme ?

parceque c'est bijectif

ça se voit

Le 22 décembre 2023 à 23:10:45 :
parceque c'est bijectif

Pourquoi la bijectivité est immédiate ?

Le 22 décembre 2023 à 23:10:58 :
ça se voit

Ah oui merci, j'écrirai ça sur mes copies d'examen tiens.

Le 22 décembre 2023 à 23:11:25 EtlnArcadiaEgo a écrit :

Le 22 décembre 2023 à 23:10:45 :
parceque c'est bijectif

Pourquoi la bijectivité est immédiate ?

Mon idée: la restriction de phi à A_n, ensemble des polynômes de degré <=n est un isomorphisme car de rang n (car l'image contient des polynômes de tout les degrés de 0 à n). Comme A[X] est union de tels ensembles, phi est bijective aussi.

bah son kernel est nul, le seul polynôme de degré -\infty (par convention hein) c'est 0

Le 22 décembre 2023 à 23:13:21 :

Le 22 décembre 2023 à 23:11:25 EtlnArcadiaEgo a écrit :

Le 22 décembre 2023 à 23:10:45 :
parceque c'est bijectif

Pourquoi la bijectivité est immédiate ?

Mon idée: la restriction de phi à A_n, ensemble des polynômes de degré <=n est un isomorphisme car de rang n (car l'image contient des polynômes de tout les degrés de 0 à n). Comme A[X] est union de tels ensembles, phi est bijective aussi.

Le 22 décembre 2023 à 23:15:49 :
bah son kernel est nul, le seul polynôme de degré -\infty (par convention hein) c'est 0

Ah oui c'était évident en fait, merci.

Le 22 décembre 2023 à 23:13:21 :

Le 22 décembre 2023 à 23:11:25 EtlnArcadiaEgo a écrit :

Le 22 décembre 2023 à 23:10:45 :
parceque c'est bijectif

Pourquoi la bijectivité est immédiate ?

Mon idée: la restriction de phi à A_n, ensemble des polynômes de degré <=n est un isomorphisme car de rang n (car l'image contient des polynômes de tout les degrés de 0 à n). Comme A[X] est union de tels ensembles, phi est bijective aussi.

Rien ne dit que phi est linéaire (pour ça il faudrait que phi restreinte à A soit l'identité)

+ quid du thm du rang lorsque A n'est pas un corps (ex A=Z) ?

D'ailleurs l'OP si tu prends l'endomorphisme de Z[X] défini par phi(X)=2X, ça marche pas non ?

D'accord avec mon vdd, au premier abord on dirait que le morphisme est seulement injectif

Si A est un anneau tel qu'il existe un morphisme injectif non surjectif de A dans A, on peut étendre ce morphisme injectif non surjectif de A[X] dans A[X] en posant phi(X)=X.

Exemple d'un tel anneau A: les polynômes sur un corps en un nombre infini de variables.

Autre méthode simple :
Soit P(X) dans A[X] tel que phi(P(X)) = 0, alors deg(phi(P(X)) = -infini donc deg(P(X)) = -infini donc P(X) donc phi est injective.

Ensuite en restreignant phi à An[X] ensemble fini des polynômes de degrés inférieurs à n, tu as phi qui est un endomorphisme sur cette ensemble donc phi est un isomorphisme sur A[n]

Tu conclus en revenant à la définition de la bijectivité pour le cas infini.

phi est un endomorphisme dans l'ev A[X] donc automatiquement linéaire.

modulo.

trivial.

Si deg(P(X))= 0 et deg(Q(X))=0

Alors P(X) = a in A et Q(x)=b in A et

phi(a) = phi(b)
<=> phi(a-b)=0

Or deg(phi(a-b))= 0 donc a-b=0 càd a=b

Maintenant si deg(P(X))=/=0 et deg(Q(x))=/=0 On procède par récurrence sur les degrès pour montrer que

phi(Q(X))=phi(P(X))<=> P(X)=Q(X)

NB: On pourra utiliser le fait que si phi(P(X))=phi(Q(X)) alors deg(P(X))=deg(Q(X)) dans la preuve par récurrence.

Le 23 décembre 2023 à 21:33:15 :
phi est un endomorphisme dans l'ev A[X] donc automatiquement linéaire.

Il a dit A un ANNEAU, pas un CORPS, et l'énoncé est FAUX

Le 23 décembre 2023 à 21:45:58 :

Le 23 décembre 2023 à 21:33:15 :
phi est un endomorphisme dans l'ev A[X] donc automatiquement linéaire.

Il a dit A un ANNEAU, pas un CORPS, et l'énoncé est FAUX

Mais un morphisme d'anneau est en particulier un morphisme de groupe abélien, donc c'est bien injectif si le noyau est trivial.

Le 23 décembre 2023 à 21:31:27 :
Autre méthode simple :
Soit P(X) dans A[X] tel que phi(P(X)) = 0, alors deg(phi(P(X)) = -infini donc deg(P(X)) = -infini donc P(X) donc phi est injective.

Ensuite en restreignant phi à An[X] ensemble fini des polynômes de degrés inférieurs à n, tu as phi qui est un endomorphisme sur cette ensemble donc phi est un isomorphisme sur A[n]

Tu conclus en revenant à la définition de la bijectivité pour le cas infini.

Le 23 décembre 2023 à 21:33:15 :
phi est un endomorphisme dans l'ev A[X] donc automatiquement linéaire.

Le 23 décembre 2023 à 21:43:11 :
Si deg(P(X))= 0 et deg(Q(X))=0

Alors P(X) = a in A et Q(x)=b in A et

phi(a) = phi(b)
<=> phi(a-b)=0

Or deg(phi(a-b))= 0 donc a-b=0 càd a=b

Maintenant si deg(P(X))=/=0 et deg(Q(x))=/=0 On procède par récurrence sur les degrès pour montrer que

phi(Q(X))=phi(P(X))<=> P(X)=Q(X)

NB: On pourra utiliser le fait que si phi(P(X))=phi(Q(X)) alors deg(P(X))=deg(Q(X)) dans la preuve par récurrence.

Arrêtez les maths svp

Le 23 décembre 2023 à 22:43:55 :

Le 23 décembre 2023 à 21:45:58 :

Le 23 décembre 2023 à 21:33:15 :
phi est un endomorphisme dans l'ev A[X] donc automatiquement linéaire.

Il a dit A un ANNEAU, pas un CORPS, et l'énoncé est FAUX

Mais un morphisme d'anneau est en particulier un morphisme de groupe abélien, donc c'est bien injectif si le noyau est trivial.

Oui mais le résultat que tu veux invoquer pour déduire que c'est aussi surjectif n'est pas vrai dans le cas général, c'est un résultat sur les ev et non sur les modules quelconques... En l'occurrence c'est faux, l'autre avec son 2X a donné un bon contre exemple