[MATH] y'a QUOI de COOL à faire avec l'ALGEBRE linéaire concrètement ?

Donnez des applications svp

Je commence à comprendre comment ça fonctionne mais j'y vois aucune utilité personnellement, donnez des application concrètes en physique ou ailleurs svp

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L'algèbre linéaire est une branche des mathématiques qui étudie les vecteurs, les espaces vectoriels et les transformations linéaires. Elle possède de nombreuses applications concrètes dans divers domaines, notamment :

1. Graphiques informatiques : L'algèbre linéaire est utilisée pour la manipulation des images, la modélisation 3D, le rendu graphique et les effets spéciaux dans l'industrie du jeu vidéo et du cinéma.
2. Traitement du signal : L'algèbre linéaire est utilisée pour l'analyse, la compression et la transformation des signaux audio et vidéo. Par exemple, la transformée de Fourier, qui est une technique essentielle dans le traitement du signal, est basée sur des concepts d'algèbre linéaire.
3. Intelligence artificielle et apprentissage automatique : L'algèbre linéaire est utilisée pour représenter et manipuler les données dans les modèles d'apprentissage automatique tels que les réseaux de neurones artificiels. Les opérations matricielles et vectorielles sont couramment utilisées pour effectuer des calculs dans ces modèles.
4. Cryptographie : L'algèbre linéaire est utilisée dans certains algorithmes cryptographiques pour le chiffrement et le déchiffrement des données. Des techniques telles que le chiffrement à clé publique reposent sur des concepts mathématiques de l'algèbre linéaire.
5. Économie et finance : L'algèbre linéaire est utilisée dans l'analyse des modèles économiques et financiers. Elle permet de résoudre des systèmes d'équations linéaires pour déterminer les relations entre les variables économiques, d'effectuer des analyses de portefeuille et d'estimer des modèles économétriques.
6. Sciences physiques et ingénierie : L'algèbre linéaire est utilisée dans la modélisation et la résolution de problèmes dans les domaines de la physique, de l'ingénierie et des sciences appliquées. Elle est utilisée pour résoudre des systèmes d'équations différentielles, représenter les lois de conservation et effectuer des calculs liés à la mécanique quantique.
7. Systèmes d'équations : L'algèbre linéaire est utilisée pour résoudre des systèmes d'équations linéaires, ce qui est courant dans de nombreux domaines scientifiques et d'ingénierie. Par exemple, la résolution de systèmes d'équations linéaires peut être utilisée pour résoudre des problèmes d'optimisation, de planification de la production ou de modélisation des réseaux.

Ces exemples ne sont qu'une petite sélection des applications concrètes de l'algèbre linéaire. En réalité, l'algèbre linéaire est un outil mathématique fondamental utilisé dans de nombreux domaines pour modéliser, analyser et résoudre une grande variété de problèmes.

Ce qui fait qu'une chaine de Markov à espace d'états dénombrable converge en probabilité vers sa mesure invariante, c'est le théorème de Perron-Fröbenius, qui est de l'algèbre linéaire.

Tout ce qui est en lien avec la transformée de Laplace/Fourier, les espaces de Hilbert, espaces de Sobolev, les opérateurs autoadjoints et donc toute la mécanique quantique, c'est de l'algèbre linéaire aussi.

Quand tu génères des culs avec stable diffusion en utilsant un réseau de neurones, ce qui sous-tend les optimisations et régressions en lesquelles cela consiste, c'est de l'algèbre linéaire.

Tout ce qui est en lien avec la résolution d'EDP, EDS, EDO, méthode de Galerkin, triangulation, différences finies, etc : algèbre linéaire aussi.

Bref, presque tout en maths ou en physique a un lien de près ou de loin avec les espaces vectoriels ou les modules sur un anneau alors t'as intérêt à bien écouter

Le 10 mai 2023 à 11:41:37 :
Ce qui fait qu'une chaine de Markov à espace d'états dénombrable converge en probabilité vers sa mesure invariante, c'est le théorème de Perron-Fröbenius, qui est de l'algèbre linéaire.

Tout ce qui est en lien avec la transformée de Laplace/Fourier, les espaces de Hilbert, espaces de Sobolev, les opérateurs autoadjoints et donc toute la mécanique quantique, c'est de l'algèbre linéaire aussi.

Quand tu génères des culs avec stable diffusion en utilsant un réseau de neurones, ce qui sous-tend les optimisations et régressions en lesquelles cela consiste, c'est de l'algèbre linéaire.

Tout ce qui est en lien avec la résolution d'EDP, EDS, EDO, méthode de Galerkin, triangulation, différences finies, etc : algèbre linéaire aussi.

Bref, presque tout en maths ou en physique a un lien de près ou de loin avec les espaces vectoriels ou les modules sur un anneau alors t'as intérêt à bien écouter

Ok je vois mais en gros c'est utile qu'avec des matrices pour stocker plein de données non ? Fin quelle application pour des applications linéaire avec des polynômes par exemple, je ne vois pas.

Toute la physique passé le lycée se base sur les outils d'algèbre linéaire.
C'est un outil très fort qui a permis à la physique d'exprimer des équations dont on n'arrivait pas à exprimer mathématiquement auparavant, ou trop difficilement sur 40 lignes.

C'est l'essence même de maths.... Ca t'apprends à raisonner logiquement et c'est vraiment la base. Les démonstrations

J'ai lu "l'Algerie libre" nofakehttps://image.noelshack.com/fichiers/2019/06/5/1549652527-issoumainss.png

Recherche opérationnelle, traitement du signal, compression d’image, reconnaissance faciale, IA, cryptographie, ingénierie des structures, géométrie informatique, système de recommandation, et analyse de données

Pas forcément. Une matrice représente une application linéaire entre deux modules mais tu peux l'utiliser de manière purement utilitaire.
Par exemple, les déterminants sont partout en géométrie. L'aire du parallélogramme formé par deux vecteurs, c'est la norme de leur produit extérieur (disons leur produit vectoriel, dans R3).
Le déterminant, tu le retrouves aussi quand tu calcules des Wronskiens (équations différentielles).
Ou encore, l'inégalité des accroissements finis généraliséé : c'est le déterminant d'une certaine matrice.
Partout où tu a un produit de Van der Monde, il y a un déterminant qui se cache derrière.
Le fameux discriminant delta = b²-4ac a des analogues pour les degrés supérieurs. Ce n'est rien d'autre que le déterminant de la matrice de Sylvester de P et P' divisé par le coefficient dominant de P.

L'algèbre linéaire (réduction d'endomorphismes) sert aussi évidemment quand tu veux calculer une puissance (composée) d'un opérateur linéaire. Tu peux la combiner avec l'analyse complexe pour obtenir une théorie boréliene ou continue des opérateurs non bornés. En gros, toutes les formules d'analyse complexe que tu connais (Cauchy, Jordan, etc), ça marche encore en remplaçant z par un élément d'une C*-algèbre et en particulie un opérateur linéaire. Tu peux même diagonaliser un opérateur en dimension infinie non dénombrable

Le 10 mai 2023 à 11:49:41 :
Pas forcément. Une matrice représente une application linéaire entre deux modules mais tu peux l'utiliser de manière purement utilitaire.
Par exemple, les déterminants sont partout en géométrie. L'aire du parallélogramme formé par deux vecteurs, c'est la norme de leur produit extérieur (disons leur produit vectoriel, dans R3).
Le déterminant, tu le retrouves aussi quand tu calcules des Wronskiens (équations différentielles).
Ou encore, l'inégalité des accroissements finis généraliséé : c'est le déterminant d'une certaine matrice.
Partout où tu a un produit de Van der Monde, il y a un déterminant qui se cache derrière.
Le fameux discriminant delta = b²-4ac a des analogues pour les degrés supérieurs. Ce n'est rien d'autre que le déterminant de la matrice de Sylvester de P et P' divisé par le coefficient dominant de P.

Enfaite c'est un sujet très vague et je suis débutant donc c'est complexe à te faire comprendre mon problème.

Mais en gros je vois l'utilité d'une application sur une matrice car ça permet d'effectuer des transformations sur plusieurs données d'un coup.

Mais les applications sur les polynômes ou les suites je vois pas l'intérêt

l'intelligence artificielle

Le 10 mai 2023 à 11:53:35 :
l'intelligence artificielle

oui grâce aux applications linéaires de matrices, mais je vois pas l'intérêt pour une application linéaires de polynômes ou de suite

Mais les applications sur les polynômes ou les suites je vois pas l'intérêt

En voilà une facile à comprendre : calculer le n-ième terme d'une suite définie par une récurrence d'ordre 2 (ou plus)

u(n+2) = a.u(n+1) + b.u(n)
u(1) = y
u(0) = x

Tu poses V(n) = vecteur_colonne(u(n), u(n-1))
Tu écris V(n+1) = A.V(n) avec A une certaine matrice.
Tu en déduis que V(n) = A^n . V(0) pour tout n.
Pour calculer A^n, tu diagonalises ou trigonalises A dans C : il existe D diagonale telle que A = PDP^(-1), de sorte que A^n = PD^nP^(-1). D^n, c'est facile à calculer. Ensuite, c'est deux produits matriciels, et tu obtiens alors une expression de A^n pour tout n. Et donc de V(n) pour tout n en focntion de V(0). Et donc de u(n) pour tout n, en fonction de x et y

Le 10 mai 2023 à 11:57:52 :

Mais les applications sur les polynômes ou les suites je vois pas l'intérêt

En voilà une facile à comprendre : calculer le n-ième terme d'une suite définie par une récurrence d'ordre 2 (ou plus)

u(n+2) = a.u(n+1) + b.u(n)
u(1) = y
u(0) = x

Tu poses V(n) = vecteur_colonne(u(n), u(n-1))
Tu écris V(n+1) = A.V(n) avec A une certaine matrice.
Tu en déduis que V(n) = A^n . V(0) pour tout n.
Pour calculer A^n, tu diagonalises ou trigonalises A dans C : il existe D diagonale telle que A = PDP^(-1), de sorte que A^n = PD^nP^(-1). D^n, c'est facile à calculer. Ensuite, c'est deux produits matriciels, et tu obtiens alors une expression de A^n pour tout n. Et donc de V(n) pour tout n en focntion de V(0). Et donc de u(n) pour tout n, en fonction de x et y

ah putain pas mal ça j'aime bien

Ou alors imagine tu as une fonction degueulasse que tu veux lisser (par exemple un signal)

Tu veux trouver le meilleur polynome de degré <= 5 qui approxime ta courbe.

Ce polynome peut etre vu comme la projection orthogonale de la fonction degueulasse sur l'espace vectoriel des polynomes de degré <= 5

C'est ce qu'on appelle une regression polynomiale

Le 10 mai 2023 à 12:11:20 :
Ou alors imagine tu as une fonction degueulasse que tu veux lisser (par exemple un signal)

Tu veux trouver le meilleur polynome de degré <= 5 qui approxime ta courbe.

Ce polynome peut etre vu comme la projection orthogonale de la fonction degueulasse sur l'espace vectoriel des polynomes de degré <= 5

C'est ce qu'on appelle une regression polynomiale

La projection c'est au sens des moindres carrés. Tu as une meilleure approximation uniforme mais elle est difficile à calculer

Sinon l'algèbre linéaire permet de faire l'analyse de Fourier sur les groupes abéliens finis. Notamment pour traiter le signal (filtrage, reconstruction, détection de contours, compression) ou multiplier rapidement des entiers ou des matrices

Tu peux caractériser la stabilité du point d'équilibre d'une équation différentielle autonome grâce aux valeurs propres de la différentielle du champ de vecteurs en ce point (théorème de stabilité de Lyapounov).