[MATHS] J'INVOQUE les JEAN-MATHS pour M'AIDER!

Je suis face à une preuve qui me pose problème en partie. Il y est affirmé à un moment :

Soit f : B^n -> S^n-1 continue telle que f(x)=x sur la sphère.
On note h(x)=f(x)-x
Nous remarquons que h est nulle sur la sphère et que ||h(x)||<=2
Nous pouvons donc choisir t avec 3/4<t<1 tel que :
Pour tout x respectant t<=||x||<=1, ||h(x)||<1/4

Voilà, je ne comprends la partie en gras. D'où vient l'encadrement de t et de ||x||, comment est obtenue la majoration de h ? Juste au cas où, B^n est la boule unité fermée dans R^n et S^n-1 la sphère unité

J'ai voulu utiliser un argument simple comme la continuité avec \epsilon=1/4 mais toujours est-il que je n'arrive pas à aboutir. Je ne suis pas allé plus loin que ça :
\exists t>0,\forall x\in B^n, ||x-u||<t \Rightarrow ||h(x)||<\frac{1}{4} où u est unitaire

Quelqu'un pour m'aider ?https://image.noelshack.com/fichiers/2018/10/1/1520256134-risitasue2.png

Les Jean-Ulm vous êtes où ? Ça fait une heure que j'y suishttps://image.noelshack.com/fichiers/2018/10/1/1520256134-risitasue2.png

Personne ?

C'est les vacances, le forom est plein de monde normalement...

Up

Allez, en plus je suis que niveau 3. J'ai plus beaucoup de messages...

Bah c'est de la continuité, rien de plus. Si tu poses H(r) := sup_{||x|| = r} ||h(x)||, par hypothèse, H(1) = 0 et H est continue parce que h l'est (remontre-le si t'es pas convaincu, petit exo en topo).

Il existe donc delta > 0 tel que si |1-r| < delta, H(r) < 1/4, par définition de la continuité avec epsilon = 1/4. Et quitte à réduire delta, on peut supposer delta < 1/4, soit t > 3/4, fini.

Le t et le x a été pris arbitrairement, on ne peut pas plud t'aider si on ne sait pas cr qu'il faut démontrer

Déso khey mais je squatte ton topic pour demander aux kheys où je peux me procurer en pdf des livres de maths + corrigés de niveau collège et lycée

J'ai cherché sur google en filtrant par pdf mais je trouve que les versions pour profs

J'ai cherché sur la rivière mais yarien

Le 24 avril 2023 à 15:38:06 Hachino a écrit :
Bah c'est de la continuité, rien de plus. Si tu poses H(r) := sup_{||x|| = r} ||h(x)||, par hypothèse, H(1) = 0 et H est continue parce que h l'est (remontre-le si t'es pas convaincu, petit exo en topo).

Il existe donc delta > 0 tel que si |1-r| < delta, H(r) < 1/4, par définition de la continuité avec epsilon = 1/4. Et quitte à réduire delta, on peut supposer delta < 1/4, soit t > 3/4, fini.

Et pourquoi on a le droit de réduire delta ?

Le 24 avril 2023 à 15:39:48 :
Déso khey mais je squatte ton topic pour demander aux kheys où je peux me procurer en pdf des livres de maths + corrigés de niveau collège et lycée

J'ai cherché sur google en filtrant par pdf mais je trouve que les versions pour profs

J'ai cherché sur la rivière mais yarien

t'as testé libgen ?

Le 24 avril 2023 à 15:40:23 :

Le 24 avril 2023 à 15:39:48 :
Déso khey mais je squatte ton topic pour demander aux kheys où je peux me procurer en pdf des livres de maths + corrigés de niveau collège et lycée

J'ai cherché sur google en filtrant par pdf mais je trouve que les versions pour profs

J'ai cherché sur la rivière mais yarien

t'as testé libgen ?

merci chef trouvé en 2 secondes

Up, j'ai encore besoin d'un peu d'aide. On y est presque

L'ensemble E = ||h||^(-1)([1/8, 2]) est un compact donc p = sup {||x|| | x € E} est bien défini et atteint. p < 1 car h est nulle sur la sphère unité. Ainsi on peut chosir un réel t € ]3/4, 1[ strictement supérieur à p. On a alors que pour tout x € B^n tel que ||x|| >= t, x n'appartient pas à E donc ||h(x)|| <= 1/8 < 1/4.

Le 24 avril 2023 à 15:49:45 Suxene a écrit :
L'ensemble E = ||h||^(-1)([1/8, 2]) est un compact donc p = sup {||x|| | x € E} est bien défini et atteint. p < 1 car h est nulle sur la sphère unité. Ainsi on peut chosir un réel t € ]3/4, 1[ strictement supérieur à p. On a alors que pour tout x € B^n tel que ||x|| >= t, x n'appartient pas à E donc ||h(x)|| <= 1/8 < 1/4.

Rien nous dit que h ne s'annule pas ailleurs sur la boule

Et pourquoi on a le droit de réduire delta ?

Là faut revenir à la définition de la continuité, si tu l'as mal comprise tu vas galérer ensuite. Quand tu réduis un delta dans une condition de continuité, tu ne peux que "améliorer" le epsilon, i.e. les images des ponts seront encore plus proches si tu imposes une condition plus drastique sur leur proximité. Fais des dessins sur des fonctions réelles, tu verras, ça ne pourra que t'aider.

Le 24 avril 2023 à 16:04:23 Hachino a écrit :

Et pourquoi on a le droit de réduire delta ?

Là faut revenir à la définition de la continuité, si tu l'as mal comprise tu vas galérer ensuite. Quand tu réduis un delta dans une condition de continuité, tu ne peux que "améliorer" le epsilon, i.e. les images des ponts seront encore plus proches si tu imposes une condition plus drastique sur leur proximité. Fais des dessins sur des fonctions réelles, tu verras, ça ne pourra que t'aider.

Mais c'est l'inverse non ? Un petit epsilon améliore delta. Pour tout epsilon > 0, il existe delta > 0 ...
C'est bien epsilon qui influe sur delta et pas l'inverse ? Ou alors je fous à la poubelle trois années d'étudeshttps://image.noelshack.com/fichiers/2018/10/1/1520256134-risitasue2.png

Un petit epsilon contraint delta plutôt. Bon, reprenons.

T'as une fonction, que j'ai appelée H, qui est continue sur [0,1] (ça se montre, on l'admet ici) et nulle en 1 (par hypothèse).

Comme H est continue au point 1, pour tout epsilon > 0, il existe delta = delta(epsilon) > 0 tel que si |1-r| < delta(epsilon), alors |H(r) - H(1)| < epsilon, i.e. H(r) < epsilon.

Choisissons epsilon = 1/4, il existe alors delta(1/4) tel que si |1-r| < delta(1/4), H(r) < 1/4. Si il se trouve que delta(1/4) <= 1/4 alors on a gagné. Avec la notation de ton énoncé, on peut prendre t = 1- delta(1/4).

Si delta(1/4) > 1/4, qu'à cela ne tienne, ça ne peut que nous arranger. Si la condition sur delta est lâche, ça veut dire que H est plutôt plate au voisinage de 1, donc on peut définir delta_2 := min(delta(1/4), 1/4) et poser t := 1 - delta_2.

Est-ce que cette fois c'est plus clair ?

Le 24 avril 2023 à 16:22:57 Hachino a écrit :
Un petit epsilon contraint delta plutôt. Bon, reprenons.

T'as une fonction, que j'ai appelée H, qui est continue sur [0,1] (ça se montre, on l'admet ici) et nulle en 1 (par hypothèse).

Comme H est continue au point 1, pour tout epsilon > 0, il existe delta = delta(epsilon) > 0 tel que si |1-r| < delta(epsilon), alors |H(r) - H(1)| < epsilon, i.e. H(r) < epsilon.

Choisissons epsilon = 1/4, il existe alors delta(1/4) tel que si |1-r| < delta(1/4), H(r) < 1/4. Si il se trouve que delta(1/4) <= 1/4 alors on a gagné. Avec la notation de ton énoncé, on peut prendre t = 1- delta(1/4).

Si delta(1/4) > 1/4, qu'à cela ne tienne, ça ne peut que nous arranger. Si la condition sur delta est lâche, ça veut dire que H est plutôt plate au voisinage de 1, donc on peut définir delta_2 := min(delta(1/4), 1/4) et poser t := 1 - delta_2.

Est-ce que cette fois c'est plus clair ?

Oui un peu plus, je vais y réfléchir. Merci de ton aidehttps://image.noelshack.com/fichiers/2018/10/1/1520256134-risitasue2.png