[MATHS] Si une série converge alors lim k->+oo Uk = 0 ??

https://image.noelshack.com/fichiers/2023/13/2/1680028034-image.png

Yo la propriété ci-dessus fonction dans un sens
Mais est-ce qu'on a la réciproque
si Lim k-> +oo Uk = 0 alors la Série Uk converge ?

c'est rapide svp, je doute puisque j'ai déjà vu des résolutions d'exercices où ils utilisaient la réciproque

Mais vu que la propriété est un Si alors, je pense qu'il n'y a pas de réciproque

Non c'est pas réciproque.
Par exemple la somme des 1/n

Le 28 mars 2023 à 20:28:55 :
Non c'est pas réciproque.
Par exemple la somme des 1/n

d'accord au moins c'est clair, j'avais des doutes, merci beaucoup !

Le 28 mars 2023 à 20:28:55 :
Non c'est pas réciproque.
Par exemple la somme des 1/n

et merci pour l'exemple ahaha c'est très simple évidement, je n'y avais pas pensé

Tu sais démontrer le résultat de ta propriété là ?

Le 28 mars 2023 à 20:27:51 :
https://image.noelshack.com/fichiers/2023/13/2/1680028034-image.png

Yo la propriété ci-dessus fonction dans un sens
Mais est-ce qu'on a la réciproque
si Lim k-> +oo Uk = 0 alors la Série Uk converge ?

Non la réciproque est fausse
La série des 1/n diverge alors que 1/n->0

Edit : j'ai été devancé j'avais pas vu

AH mais attendez je viens de lire que c'est une condition nécessaire de convergence ce qui veut dire quoi ? ce qui veut dire que si Lim k-> +oo n'est pas égal à 0 alors la série diverge (c'est peut-être ça que j'ai vu en exercice) ???

Le 28 mars 2023 à 20:32:15 :

Le 28 mars 2023 à 20:27:51 :
https://image.noelshack.com/fichiers/2023/13/2/1680028034-image.png

Yo la propriété ci-dessus fonction dans un sens
Mais est-ce qu'on a la réciproque
si Lim k-> +oo Uk = 0 alors la Série Uk converge ?

Non la réciproque est fausse
La série des 1/n diverge alors que 1/n->0

Edit : j'ai été devancé j'avais pas vu

Merci quand même mais tu peux toujours m'aidé regarde ma question en dessous

Le 28 mars 2023 à 20:31:44 :
Tu sais démontrer le résultat de ta propriété là ?

c'est à dire ? (je crois pas)

Tout ce que ça veut dire c'est que si la suite Uk ne tend pas vers zéro alors la série de terme général Uk diverge.
C'est l'unique chose que ça veut dire.
C'est équivalent à dire que si la série de terme général Uk converge alors lim Uk = 0 (contraposée de l'énoncé du dessus)
On le démontre en considérant la quantité S(n) - S(n-1) = u(n) et en passant à la limite avec S(n) la somme partielle d'ordre n.

Le 28 mars 2023 à 20:33:01 :
AH mais attendez je viens de lire que c'est une condition nécessaire de convergence ce qui veut dire quoi ? ce qui veut dire que si Lim k-> +oo n'est pas égal à 0 alors la série diverge (c'est peut-être ça que j'ai vu en exercice) ???

exa exahttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/12/7/1616890189-le-rebs-c-hella.png

Le 28 mars 2023 à 20:35:55 :
Tout ce que ça veut dire c'est que si la suite Uk ne tend pas vers zéro alors la série de terme général Uk diverge.
C'est l'unique chose que ça veut dire.
C'est équivalent à dire que si la série de terme général Uk converge alors lim Uk = 0 (contraposée de l'énoncé du dessus)
On le démontre en considérant la quantité S(n) - S(n-1) = u(n) et en passant à la limite avec S(n) la somme partielle d'ordre n.

Ok merci
Donc en fait c'est simple si on une série et que le terme général converge pas vers 0 => on se casse pas la tête la suite diverge
En revanche si le terme général converge vers 0 => on ne peut rien dire quant à la nature de la série ?

(A => B) <=> (Non B => Non A)

Donc tout ce que tu peux dire de ta proposition c'est :
Somme des uk converge => uk tend vers 0 en l'infini
équivaut à
uk ne tend pas vers 0 l'infini => Somme des uk ne converge pas (ou plutôt diverge grossièrement)

j'ai pigé ! merci les kheys

Le 28 mars 2023 à 20:38:43 :
(A => B) <=> (Non B => Non A)

Donc tout ce que tu peux dire de ta proposition c'est :
Somme des uk converge => uk tend vers 0 en l'infini
équivaut à
uk ne tend pas vers 0 l'infini => Somme des uk ne converge pas (ou plutôt diverge grossièrement)

merci !

Le 28 mars 2023 à 20:38:07 :

Le 28 mars 2023 à 20:35:55 :
Tout ce que ça veut dire c'est que si la suite Uk ne tend pas vers zéro alors la série de terme général Uk diverge.
C'est l'unique chose que ça veut dire.
C'est équivalent à dire que si la série de terme général Uk converge alors lim Uk = 0 (contraposée de l'énoncé du dessus)
On le démontre en considérant la quantité S(n) - S(n-1) = u(n) et en passant à la limite avec S(n) la somme partielle d'ordre n.

Ok merci
Donc en fait c'est simple si on une série et que le terme général converge pas vers 0 => on se casse pas la tête la suite diverge
En revanche si le terme général converge vers 0 => on ne peut rien dire quant à la nature de la série ?

Oui tout à fait

Le 28 mars 2023 à 20:39:38 :

Le 28 mars 2023 à 20:38:07 :

Le 28 mars 2023 à 20:35:55 :
Tout ce que ça veut dire c'est que si la suite Uk ne tend pas vers zéro alors la série de terme général Uk diverge.
C'est l'unique chose que ça veut dire.
C'est équivalent à dire que si la série de terme général Uk converge alors lim Uk = 0 (contraposée de l'énoncé du dessus)
On le démontre en considérant la quantité S(n) - S(n-1) = u(n) et en passant à la limite avec S(n) la somme partielle d'ordre n.

Ok merci
Donc en fait c'est simple si on une série et que le terme général converge pas vers 0 => on se casse pas la tête la suite diverge
En revanche si le terme général converge vers 0 => on ne peut rien dire quant à la nature de la série ?

Oui tout à fait

merci beaucoup ;)

Le 28 mars 2023 à 20:38:07 :

Le 28 mars 2023 à 20:35:55 :
Tout ce que ça veut dire c'est que si la suite Uk ne tend pas vers zéro alors la série de terme général Uk diverge.
C'est l'unique chose que ça veut dire.
C'est équivalent à dire que si la série de terme général Uk converge alors lim Uk = 0 (contraposée de l'énoncé du dessus)
On le démontre en considérant la quantité S(n) - S(n-1) = u(n) et en passant à la limite avec S(n) la somme partielle d'ordre n.

Ok merci
Donc en fait c'est simple si on une série et que le terme général converge pas vers 0 => on se casse pas la tête la suite diverge
En revanche si le terme général converge vers 0 => on ne peut rien dire quant à la nature de la série ?

Oui c'est ça, il va falloir que la série vérifie des critères supplémentaires pour converger : par exemple, un critère suffisant est que (Un) converge "suffisamment rapidement" vers 0 (tu vas souvent comparer la vitesse de convergence de u_n avec celle d'une suite 1/n^alpha qui est le terme général d'une série de Riemann) par exemple ça te permet de dire que si n^2 u_n tend vers 0 alors la série convergehttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/12/7/1616890189-le-rebs-c-hella.png

Un autre critère suffisant est celui des séries alternées : si les u_n sont de signe alternés et convergent vers 0 alors la série converge.https://image.noelshack.com/fichiers/2021/12/7/1616890189-le-rebs-c-hella.png