BonneChance_1
2023-02-17 23:25:48
On considère : S la sphère unité de R^3 et N=(0,0,1) son pôle nord P le plan engendré par (1,0,0) et (0,1,0) f : S\{N} -> P l'application qui à un point X de la sphère associe le point d'intersection entre la droite NX et P Démontrer Qu'il existe un plan P' tel que que l'image réciproque d'une droite de P par f est l'intersection entre S et P' Démontrer Qu'il existe un plan P' contenant N tel que que l'image réciproque d'un cercle de P par f est l'intersection entre S et P'
Pour démontrer ces deux affirmations, nous allons d'abord étudier la géométrie de la sphère unité S et du plan P.
Puisque S est une sphère unité de R^3, elle est définie par l'ensemble de points (x,y,z) qui satisfont l'équation x^2 + y^2 + z^2 = 1. Le pôle nord N est le point (0,0,1) et la droite NX est l'axe z. Le plan P est engendré par les vecteurs (1,0,0) et (0,1,0) et contient le point (0,0,0).
• Démonstration de la première affirmation :
Soit D une droite de P. Nous allons démontrer que l'image réciproque de D par f est l'intersection entre S et un plan P' de R^3.
Comme f(X) est le point d'intersection entre la droite NX et P, nous pouvons décomposer cette droite en deux parties : la partie qui est dans le plan P et la partie qui est perpendiculaire à P.
Soit H le point d'intersection entre la droite NX et le plan P. Comme P est engendré par les vecteurs (1,0,0) et (0,1,0), nous pouvons écrire H sous la forme H = (a,b,0) pour certains réels a et b.
Maintenant, nous allons étudier la partie de la droite NX qui est perpendiculaire à P. Cette partie est un segment de droite qui relie le point N au point H. Soit M le milieu de ce segment. Comme N est le pôle nord, le segment NH est perpendiculaire au plan P. Ainsi, le point M est sur le plan P.
En utilisant la symétrie de la sphère par rapport au plan P, nous pouvons montrer que le point M est également sur la sphère S. En effet, la sphère est symétrique par rapport à tout plan qui passe par le centre de la sphère. Comme P passe par (0,0,0), qui est le centre de S, la sphère est symétrique par rapport à P. Ainsi, le point M est à la fois sur la sphère S et sur le plan P.
Maintenant, nous allons définir le plan P' comme étant le plan qui passe par les points N, H et M. Comme N, H et M sont trois points non alignés, le plan P' est bien défini.
Nous allons maintenant démontrer que l'image réciproque de D par f est l'intersection entre S et P'. Pour cela, nous allons montrer que chaque point de l'intersection entre S et P' est l'image d'un point de D par f, et réciproquement.
Soit X un point de l'intersection entre S et P'. Puisque X est sur la sphère S, il satisfait l'équation x^2 + y^2 + z^2 = 1. De plus, puisque X est sur le plan P', il satisfait l'équation de ce plan, qui est de la forme ax + by + cz + d = 0 pour certains réels a, b, c et d.
Comme le point H est sur le plan P, il satisfait l'équation de ce plan, qui est de la forme x + y + 0z + 0 = 0. En utilisant cette équation, nous pouvons écrire que aX + bY + cZ + d = 0, où (X, Y, Z) sont les coordonnées de X et a, b et c sont les coordonnées du vecteur normal au plan P'.
Nous avons donc deux équations pour les trois coordonnées de X. Nous pouvons éliminer la variable z en soustrayant la première équation multipliée par z^2 de la deuxième équation multipliée par (1 - z^2). Cela donne l'équation (a^2 + b^2) x^2 + (a^2 + c^2) y^2 + 2abxy + 2acz + d^2 - a^2 - b^2 - c^2 = 0.
Cette équation est celle d'un cercle de centre (0,0,-d/c) et de rayon R = sqrt(1 - d^2/c^2). Ce cercle est le cercle de l'intersection entre S et le plan P'. En effet, en remplaçant z par -(ax + by + d)/c dans l'équation de la sphère, on obtient une équation du second degré en x et y qui a pour solution exacte le cercle de centre (0,0,-d/c) et de rayon R.
Maintenant, soit X un point de D. La droite NX passe par N et par H, qui est un point de P. Ainsi, f(X) est le point d'intersection entre la droite NH et P. Nous pouvons écrire NH sous la forme NH = N + t(H - N) pour un certain réel t. En utilisant les coordonnées de N et H, nous pouvons écrire NH = (ta, tb, 1 - t) pour certains réels a et b.
Le point d'intersection entre NH et P est le point (ta, tb, 0). Ce point est sur le plan P et satisfait l'équation du plan P', qui est de la forme ax + by + cz + d = 0. Ainsi, nous pouvons écrire que ta + tb + d = 0.
En utilisant la relation x^2 + y^2 + z^2 = 1, nous pouvons écrire que a^2t^2 + b^2t^2 + (1 - t)^2 = 1. Cette équation est celle d'un cercle de centre (0,0,-d/c) et de rayon R. Ainsi, f(X) est sur le cercle de l'intersection entre S et le plan P'.
