[JeanMaths] Famille génératrice et indépendance linéaire

Salut les kheys,
Je m'adresse à la sous élite d'entre vous qui aurait fait prépa ou une école d'ingénieur
Je suis pas sûr de bien comprendre la notion de base

Rappel :Un ensemble forme une Famille génératrice si en additionnant certains éléments d'un espace je peux recréer tous les éléments de cet espace.
Un espace où tous les éléments sont linéairement indépendants : en faisant la somme de certains éléments multiplié par n'importe quel facteur pour chaque élément, je ne peux recréer aucun autre élément de l'ensemble.

Est ce que j'ai bon ? On fait somme pour la famille génératrice, et somme de produits pour l'indépendance linéaire ?

Si oui, je comprends mal pourquoi une base est la génératrice minimale : Comment peux-je avoir en même temps des éléments qui s'ils sont additionnés entre eux pondéré par un facteur ne peuvent redonner un autre élément ? Et en même temps qu'additionner certains de ces éléments permet de recréer d'autres éléments ?

Salut khey je suis calé en maths, c'est vraiment pas clair comme tu parles, il faut mettre des notations mathématiques !
Aussi il faut que tu distingues une famille de vecteurs et un espace vectoriels, c'est pas pareil !

En particulier une famille libre ca veut dire qu'il n'y a pas de lien entre les vecteurs de la famille (à traduire en quantificateur)
Une famille génératrice peut permettre de construire tout l'espace ambiant !
Donc les deux n'ont rien a voir, y'a une notion qui concerne juste les éléments de la famille et l'autre qui concerne tout l'espace

Si tu te demandes comment c'est possible voilà un exemple : la famille {(0,1) , (1,0)} de l'espace R² est libre et génératrice, c'est une base

Dans un espace vectoriel E :

Famille génératrice F = famille (un ensemble indexé si tu veux) de vecteurs telle que pour tout vecteur x de E, tu peux faire une combinaison de vecteurs de F pour avoir x

Famille libre F = Les combinaisons linéaires de vecteurs de F sont uniques

Après pour les deux, t'as des caractérisations qui permettent de savoir si F est libre ou génératrice

Le 12 février 2023 à 13:22:04 :
En particulier une famille libre ca veut dire qu'il n'y a pas de lien entre les vecteurs de la famille (à traduire en quantificateur)
Une famille génératrice peut permettre de construire tout l'espace ambiant !
Donc les deux n'ont rien a voir, y'a une notion qui concerne juste les éléments de la famille et l'autre qui concerne tout l'espace

Exactement, et donc une base serait constitués de vecteurs sans liens entre eux mais qui peuvent se combiner pour reconstituer chacun des éléments ?

Le 12 février 2023 à 13:28:29 :

Le 12 février 2023 à 13:22:04 :
En particulier une famille libre ca veut dire qu'il n'y a pas de lien entre les vecteurs de la famille (à traduire en quantificateur)
Une famille génératrice peut permettre de construire tout l'espace ambiant !
Donc les deux n'ont rien a voir, y'a une notion qui concerne juste les éléments de la famille et l'autre qui concerne tout l'espace

Exactement, et donc une base serait constitués de vecteurs sans liens entre eux mais qui peuvent se combiner pour reconstituer chacun des éléments ?

Chacun des éléments de l'espace ambiant oui

Le 12 février 2023 à 13:24:26 :
Dans un espace vectoriel E :

Famille génératrice F = famille (un ensemble indexé si tu veux) de vecteurs telle que pour tout vecteur x de E, tu peux faire une combinaison de vecteurs de F pour avoir x

Famille libre F = Les combinaisons linéaires de vecteurs de F sont uniques

Après pour les deux, t'as des caractérisations qui permettent de savoir si F est libre ou génératrice

C'est clair, mais la question c'est que justement une base c'est l'association de ces deux notions... C'est ça que je pige pas

Ce niveau de compréhension, prépare-toi à me livrer mon ubereats les études c'est pas fait pour toihttps://image.noelshack.com/fichiers/2022/37/1/1663014384-ahi-pince-mais.png

Ça signifie que l’écriture d’un élément d’un espace vectoriel selon une base B de cet espace vectoriel est unique.

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n.

Si G = (e1,…,ep) est une famille génératrice dans E, ça signifie que n’importe quel élément x de E peut être écrit comme une combinaison linéaire des ei.

Mais si cette famille n’est pas libre, x peut être écrit de plusieurs manières différentes avec des éléments de G.

Par exemple, si je prends le R-espace vectoriel E = Vect((0,1), (1,0)), la famille G = ((0,1), (1,0), (1,1)) est génératrice dans E.

En effet, si je prends x dans E, je peux poser x = (a, b), et x = b * (0,1) + a * (1,0), donc x appartient bien à Vect(G).

Mais G n’est pas une famille libre, donc on peut écrire x de plusieurs manières avec des éléments de G.

Par exemple : x = a*(1,1) + (b-a) * (0,1).

Le 12 février 2023 à 13:30:24 :
Ce niveau de compréhension, prépare-toi à me livrer mon ubereats les études c'est pas fait pour toihttps://image.noelshack.com/fichiers/2022/37/1/1663014384-ahi-pince-mais.png

T'étais en MP l'an dernier ?

Le 12 février 2023 à 13:29:19 :

Le 12 février 2023 à 13:28:29 :

Le 12 février 2023 à 13:22:04 :
En particulier une famille libre ca veut dire qu'il n'y a pas de lien entre les vecteurs de la famille (à traduire en quantificateur)
Une famille génératrice peut permettre de construire tout l'espace ambiant !
Donc les deux n'ont rien a voir, y'a une notion qui concerne juste les éléments de la famille et l'autre qui concerne tout l'espace

Exactement, et donc une base serait constitués de vecteurs sans liens entre eux mais qui peuvent se combiner pour reconstituer chacun des éléments ?

Chacun des éléments de l'espace ambiant oui
la famille {(0,1) , (1,0)} de l'espace R² est libre et génératrice, c'est une base

Et comment tu passes du premier élément au second dans cet exemple si cette famille est génératrice ?

En tout cas pour le moment, en dimension finie pour E un K-espace vectoriel :
Tu prends une famille de vecteurs F={x_1,...,x_n}
Tu prends la fonction f : K^n -> E qui à (a_1,...,a_n) associe la somme des a_i.x_i

f est surjective <=> F est génératrice
f est injective <=> F est libre
f est bijective <=> F est une base

Peut être que tu comprendra mieux avec ça

Le 12 février 2023 à 13:30:24 :
Ce niveau de compréhension, prépare-toi à me livrer mon ubereats les études c'est pas fait pour toihttps://image.noelshack.com/fichiers/2022/37/1/1663014384-ahi-pince-mais.png

Toi t'es not ready si je te disais où j'en suis , c'est juste que je découvre cette notion, fais pas comme si sans cours juste avec un livre de maths tu aurais compris en moins d'une journée sans poser de question kheyou

Le 12 février 2023 à 13:32:04 :

Le 12 février 2023 à 13:29:19 :

Le 12 février 2023 à 13:28:29 :

Le 12 février 2023 à 13:22:04 :
En particulier une famille libre ca veut dire qu'il n'y a pas de lien entre les vecteurs de la famille (à traduire en quantificateur)
Une famille génératrice peut permettre de construire tout l'espace ambiant !
Donc les deux n'ont rien a voir, y'a une notion qui concerne juste les éléments de la famille et l'autre qui concerne tout l'espace

Exactement, et donc une base serait constitués de vecteurs sans liens entre eux mais qui peuvent se combiner pour reconstituer chacun des éléments ?

Chacun des éléments de l'espace ambiant oui
la famille {(0,1) , (1,0)} de l'espace R² est libre et génératrice, c'est une base

Et comment tu passes du premier élément au second dans cet exemple si cette famille est génératrice ?

Tu ne le fais pas, justement. Avec les deux, tu retrouves tous les autres, mais il te faut les deux.
Parce que la famille est libre. Donc tu ne peux pas retrouver le deuxième avec le 1er.
Mais si t'as les deux t'as tout le reste.

Le 12 février 2023 à 13:33:26 Mgeek3 a écrit :

Le 12 février 2023 à 13:30:24 :
Ce niveau de compréhension, prépare-toi à me livrer mon ubereats les études c'est pas fait pour toihttps://image.noelshack.com/fichiers/2022/37/1/1663014384-ahi-pince-mais.png

Toi t'es not ready si je te disais où j'en suis , c'est juste que je découvre cette notion, fais pas comme si sans cours juste avec un livre de maths tu aurais compris en moins d'une journée sans poser de question kheyou

Je trolle par contre toi tu suintes l'arrogance c'est ridiculehttps://image.noelshack.com/fichiers/2018/26/7/1530476579-reupjesus.png

Et t'en es nulle part reste à ta placehttps://image.noelshack.com/fichiers/2018/13/4/1522325846-jesusopti.png

Le 12 février 2023 à 13:32:46 :
En tout cas pour le moment, en dimension finie pour E un K-espace vectoriel :
Tu prends une famille de vecteurs F={x_1,...,x_n}
Tu prends la fonction f : K^n -> E qui à (a_1,...,a_n) associe la somme des a_i.x_i

f est surjective <=> F est génératrice
f est injective <=> F est libre
f est bijective <=> F est une base

Peut être que tu comprendra mieux avec ça

Oui c'est. beaucoup plus clair ! C'était trop abstrait dans le cours, en rapprochant avec injectivité, surjectivité et bijectivité c'est beaucoup plus visuel. En fait ça revient à traiter des isomorphismes tout simplement.
Merci kheyou

Genre tu prends R² :
(10;0),(0,5) par exemple c'est une famille génératrice car en faisant des combinaisons des deux tu peux retrouver n'importe élément de R², c'est aussi libre ce tu ne peux pas retrouver (10;0) a partir de (0;5) et inversement.

(10;0),(0;5),(0;1) c'est une famille génératrice mais pas libre car tu peux retrouver (0;1) à partir de (0;5)

Le 12 février 2023 à 13:36:57 :

Le 12 février 2023 à 13:32:46 :
En tout cas pour le moment, en dimension finie pour E un K-espace vectoriel :
Tu prends une famille de vecteurs F={x_1,...,x_n}
Tu prends la fonction f : K^n -> E qui à (a_1,...,a_n) associe la somme des a_i.x_i

f est surjective <=> F est génératrice
f est injective <=> F est libre
f est bijective <=> F est une base

Peut être que tu comprendra mieux avec ça

Oui c'est. beaucoup plus clair ! C'était trop abstrait dans le cours, en rapprochant avec injectivité, surjectivité et bijectivité c'est beaucoup plus visuel. En fait ça revient à traiter des isomorphismes tout simplement.
Merci kheyou

Aya khey quel genre d'étudiant tu es