(Maths) mon raisonnement est bon ?

Salut les kheys
Je galère sur un exo de topologie, j’pense m’être trompé mais je sais pas trop où…
Quelqu’un peut m’aider svp ? Mon raisonnement par l’absurde est inutile non?
https://image.noelshack.com/fichiers/2023/52/7/1672608902-863c2553-bb94-41fd-95e8-348cad58df41.jpg
https://image.noelshack.com/fichiers/2023/52/7/1672608922-d31633be-ff52-4c0a-835c-ec3908f490f7.jpeg

Une union d’ensembles connexes d’intersection non-vide est toujours connexe. Fixe un x dans X, alors X est réunion des A_{x,y} pour y différents de x donc connexe.

Le 01 janvier 2023 à 22:51:17 :
Une union d’ensembles connexes d’intersection non-vide est toujours connexe. Fixe un x dans X, alors X est réunion des A_{x,y} pour y différents de x donc connexe.

Ok merci beaucoup khey

Par l'absurde tu peux aussi utiliser la caractérisation par les fonctions continues.

X est connexe est équivalent à pour toute fonction f continue à valeur dans {0,1}, f est constante.

Suppose que X n'est pas connexe soit f fonction continue à valeur dans {0,1}, cette fonction n'est pas constante donc £x,y dans X tq f(x)=/=f(y)

Or par hypothèse de l'exercice £ Ax,y une partie connexe qui contient x et y

La restriction de f à Ax,y est continue et à valeurs dans {0,1} donc f(x) = f(y)

contradiction donc X est connexe.