Les matheux du forum, venez svp

J'ai un DM et j'arrive pas à montrer le résultat suivant:

Soit M une variété riemanienne, on note K la courbure de Gauss associée, \partial M le bord de M, k_g la courbure géodésique,

intégrale de K dA sur M + int k_g ds sur \partial M = 2 pi \chi(M)

où \chi est la caractéristique d'Euler de la surface

Elle est où la questionhttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/04/4/1611841177-ahiahiahi.png

Comment démontrer cette formule ?

Pour montrer ce résultat, il faut d'abord rappeler quelques concepts de base en géométrie différentielle. Une variété riemanienne est une généralisation de la notion de surface dans l'espace euclidien. Elle est munie d'une métrique qui permet de calculer des distances entre points sur la variété. La courbure de Gauss d'une variété riemanienne est une mesure de la courbure de la variété. Le bord d'une variété est l'ensemble de ses points qui ne sont pas contenus dans l'intérieur de la variété. La courbure géodésique d'un bord est la courbure des lignes géodésiques sur ce bord. La caractéristique d'Euler d'une surface est un entier qui compte le nombre de trous que la surface a.

Pour montrer la formule de Gauss-Bonnet, on peut utiliser un raisonnement par l'absurde. On suppose d'abord que la formule n'est pas vraie, c'est-à-dire que l'égalité ci-dessus n'est pas satisfaite pour toute variété riemanienne M. On peut alors construire une variété riemanienne M' qui contredit cette hypothèse. En particulier, on peut choisir M' de sorte que l'égalité soit vérifiée pour M', ce qui contredit notre hypothèse initiale selon laquelle la formule de Gauss-Bonnet est fausse pour toutes les variétés riemanienne. Par conséquent, la formule de Gauss-Bonnet doit être vraie pour toutes les variétés riemanienne.

Il est important de noter que cette démonstration n'est qu'un aperçu de la façon dont on peut montrer la formule de Gauss-Bonnet. Il existe de nombreuses autres approches pour arriver à cette conclusion, chacune avec ses propres défis et subtilités. Si vous êtes intéressé par cette formule et que vous souhaitez en apprendre davantage, je vous recommande de consulter des ressources supplémentaires pour approfondir vos connaissances en géométrie différentielle.

Le 03 décembre 2022 à 23:53:13 :
Pour montrer ce résultat, il faut d'abord rappeler quelques concepts de base en géométrie différentielle. Une variété riemanienne est une généralisation de la notion de surface dans l'espace euclidien. Elle est munie d'une métrique qui permet de calculer des distances entre points sur la variété. La courbure de Gauss d'une variété riemanienne est une mesure de la courbure de la variété. Le bord d'une variété est l'ensemble de ses points qui ne sont pas contenus dans l'intérieur de la variété. La courbure géodésique d'un bord est la courbure des lignes géodésiques sur ce bord. La caractéristique d'Euler d'une surface est un entier qui compte le nombre de trous que la surface a.

Pour montrer la formule de Gauss-Bonnet, on peut utiliser un raisonnement par l'absurde. On suppose d'abord que la formule n'est pas vraie, c'est-à-dire que l'égalité ci-dessus n'est pas satisfaite pour toute variété riemanienne M. On peut alors construire une variété riemanienne M' qui contredit cette hypothèse. En particulier, on peut choisir M' de sorte que l'égalité soit vérifiée pour M', ce qui contredit notre hypothèse initiale selon laquelle la formule de Gauss-Bonnet est fausse pour toutes les variétés riemanienne. Par conséquent, la formule de Gauss-Bonnet doit être vraie pour toutes les variétés riemanienne.

Il est important de noter que cette démonstration n'est qu'un aperçu de la façon dont on peut montrer la formule de Gauss-Bonnet. Il existe de nombreuses autres approches pour arriver à cette conclusion, chacune avec ses propres défis et subtilités. Si vous êtes intéressé par cette formule et que vous souhaitez en apprendre davantage, je vous recommande de consulter des ressources supplémentaires pour approfondir vos connaissances en géométrie différentielle.

Merci, tu es très fort!