[MATHS] Vecteurs, hyperplans, AIDE ?

Salut les kheys !
Besoin d'aide pour une question que je me pose, la réponse m'a l'air assez intuitive mais j'arrive pas à la prouver

Je suis dans R^n, j'ai une famille de vecteurs B (finie).
Supposons que :
-Peu importe l'hyperplan que je considère, j'ai toujours au moins un vecteur de B dans chacun des deux demi-espaces ouverts que l'hyperplan délimite.
-Peu importe le vecteur de B que je considère, il y a toujours au moins un demi-espace ouvert dans lequel cet élément est tout seul.
(Je donne des exemples illustratifs dans le prochain post)

La question :
Est-ce qu'il peut exister un vecteur v tel que peu importe le demi-espace ouvert que je considère, il y a (au moins) deux éléments de B u {v} dans ce demi-espace ?

Ca paraît totalement improbable sachant que les conditions sur B forcent à ce que ses élements soient "bien répartis" dans l'espace ie assez éloignés les uns des autres en termes d'angle.
On sent bien que si on prend deux éléments de B extrêmement éloignés l'un de l'autre, le vecteur v ne pourra pas à la fois être dans les même demi-espaces que l'un et que l'autre. Mais entre le sentir et le prouver, il y a un énorme pas.

Exemples d'ensemble qui vérifient les deux conditions :

Dans R^2 :
http://sketchtoy.com/70864632 . A chaque fois en noir c'est la famille B et en rouge c'est un hyperplan arbitraire. Vous constatez qu'à chaque fois j'ai bien (au moins) un vecteur noir de chaque côté de l'hyperplan et que ça serait vrai même si j'avais décidé de tracer d'autres hyperplans.
Mais aussi peu importe le vecteur que vous considérez, vous pouvez vous démerder pour trouver un demi-plan dans lequel il est solo.

Dans R^n :
-N'importe quelle famille constituée d'une base et de son opposé.
-N'importe quelle famille constituée d'une base, et de l'opposé de la somme des vecteurs de la base.

Pour ces deux exemples :
http://sketchtoy.com/70864632
il est absolument évident que le vecteur v n'existe pas. C'est particulièrement flagrant pour l'exemple de droite, puisqu'il faudrait que le vecteur v pointe à la fois strictement en-dessous de la ligne rouge et strictement au-dessus.

Dans le cas général...

Bon je m'attendais pas à des réponses à 3h du matin
J'espère que les kheys qui cherchent "maths" dans la barre du fofo seront plus inspirés que moi, hésitez pas à poster même après le bide je regarderai ça.

Deuxième façon de formuler le problème, que j'aime moins mais qui est équivalente :

Vous avez une matrice B telle que pour tout vecteur v, l'équation BX=v possède au moins une solution à coordonnées positives ou nulles. On suppose de plus que si vous retirez une colonne de B (peu importe laquelle !)vous perdez cette propriété.
Question :
Pouvez-vous AJOUTER une colonne à B de sorte à obtenir une matrice M pour laquelle non seulement pour tout v l'équation MX=v a au moins une solution à coordonnées positives ou nulles (ça c'est absolument garanti, bien sûr), mais EN PLUS il y a au moins une telle solution dont la première coordonnée est nulle, une autre dont la deuxième coordonnée est nulle, une autre dont la troisième coordonnée est nulle, etc... ?

tes chaud a 3h du mat toihttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/45/3/1636551175-avortin-chat.png

Le 07 septembre 2022 à 03:03:29 :
tes chaud a 3h du mat toihttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/45/3/1636551175-avortin-chat.png

Bof parce que j'ai pas la rép du coup

Je vais être très franc avec vous, l'avenir du monde pourrait bien dépendre de la réponse à cette question.

va dans l'aide aux devoirs khey

Le 07 septembre 2022 à 03:04:32 :
va dans l'aide aux devoirs khey

D'expérience, la plupart des kheys vraiment chauds en maths du C&D traînent aussi sur ce fofo.
L'inverse est moins vrai il me semble.

Jsuis foncdé mais je te réponds demain

Le 07 septembre 2022 à 03:08:07 :
Jsuis foncdé mais je te réponds demain

C'est gentil khey

uppent

Je me suis arrêté au premier post, je pense que tu mélanges les notions d'espace affine et espace vectoriel. Si tu considères le plan séparé par la droite d'équation y = 0, ça veut dire quoi un vecteur inclus dans la partie supérieure ? Donne un exemple.

Le 09 septembre 2022 à 07:10:55 :
Je me suis arrêté au premier post, je pense que tu mélanges les notions d'espace affine et espace vectoriel. Si tu considères le plan séparé par la droite d'équation y = 0, ça veut dire quoi un vecteur inclus dans la partie supérieure ? Donne un exemple.

Je veux dire que le vecteur pointe en direction de la partie supérieure. Donc ça serait n'importe quel vecteur dont la deuxième coordonnée est positive. Autrement dit je prends l'hyperlpan, je trouve un vecteur normal, et je regarde le signe des produits scalaires des éléments de mon ensemble avec ce vecteur normal.

Donc oublions ces histoires d'hyperplan, je reformule.

Je considère c'est un ensemble de vecteurs tel que :
-Pour tout u dans R^n, il existe (au moins) un élément de l'ensemble dont le produit scalaire avec u est strictement positif et il en existe (au moins) un autre dont le produit scalaire avec u est strictement négatif.
-Pour tout élément v de l'ensemble, il existe (au moins) un vecteur u de R^n tel que v est le SEUL vecteur de l'ensemble qui a un produit scalaire avec u strictement positif.

Je veux savoir si en ajoutant juste UN élément à mon ensemble, je peux avoir désormais la propriété suivante :
-Pour tout vecteur u dans R^n, il existe (au moins) DEUX éléments de mon ensemble qui ont un produit scalaire positif avec u et DEUX qui ont un produit scalaire négatif avec u.

C'est sûr que la réponse est non et je suis prêt à parier que c'est pour une raison absolument triviale mais j'arrive pas à le voir

Je pense que non et je l'illustre sur un contre-exemple. J'ai dû reformuler tes hypothèses pour être sûr de piger. La zone ++- représente les directions des vecteurs U tels que les produits scalaire de u avec e1, e2 et e3 sont respectivement positif, positif et négatif (strictement). En ajoutant un vecteur à ce système tu vas séparer des zones en deux composantes. Un ++- va donc donner un ++-- et un ++-+. Le ++-+ te dit qu'un seul des vecteurs de ton nouveau système sera de produit scalaire négatif avec tous les vecteurs de cette zone. On raisonne de même pour les 5 autres zones. Voici ma figure. Cela doit pouvoir se démontrer avec des coordonnés sinon.https://image.noelshack.com/fichiers/2022/36/5/1662740061-pxl-20220909-160757481.jpg

merci pour la réponse khey.
Je me plonge dedans demain et je regarderai si ça m'inspire pour une preuve formelle