[MATHS] Je réponds à vos QUESTIONS

Allez go, je répondrai aux questions posées sur la première page, lâchez-vous

Je maîtrise bien le sujet. Posez-moi des questions qui vous intéressent plutôt que des questions pour me tester

Tu connaîtrais des bonnes ressources en ligne avec des cours et des exos pour le supérieur ?

La série des 1/(n² sin(n)) converge-t-elle ?https://image.noelshack.com/fichiers/2018/29/6/1532128784-risitas33.png

Le 11 août 2022 à 14:14:14 :
Tu connaîtrais des bonnes ressources en ligne avec des cours et des exos pour le supérieur ?

https://membres-ljk.imag.fr/Bernard.Ycart/mel/

A quoi sert la transformée de Legendre ?

Le 11 août 2022 à 14:16:04 :
La série des 1/(n² sin(n)) converge-t-elle ?https://image.noelshack.com/fichiers/2018/29/6/1532128784-risitas33.png

J'ai dit des questions qui vous intéressent, pas des questions pour me tester

Le 11 août 2022 à 14:16:09 :

Le 11 août 2022 à 14:14:14 :
Tu connaîtrais des bonnes ressources en ligne avec des cours et des exos pour le supérieur ?

https://membres-ljk.imag.fr/Bernard.Ycart/mel/

Merci.

Quel boisson conseillés tu avec un poulet à la basquaise?

Le 11 août 2022 à 14:16:24 :
A quoi sert la transformée de Legendre ?

Je sais qu'elle sert notamment en théorie des grandes déviations.

Prends des variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées X1, X2, ... On s'intéresse à la somme Sn = X1 + ... + Xn. La loi des grandes nombres dit que Sn se comporte typiquement comme E(X) fois n, et le théorème central limite donne l'ordre grandeur des fluctuations typiques. Mais si, au lieu de s'intéresser au scénario typique, on s'intéressait à la probabilité d'observer un scénario atypique... C'est précisément le propos de la théorie des grandes déviations.

Donne toi y > E(X). [On traiterait similairement le cas inférieur.] Quelle est l'asymptotique en n de la proba que Sn soit supérieur ou égal à y fois n. Il se trouve que c'est de la forme exp(f(y)n + o(n)). La fonction f s'exprime facilement en termes de la transformée de Legendre de la transformée de Laplace de X

Le 11 août 2022 à 14:17:41 :
Quel boisson conseillés tu avec un poulet à la basquaise?

Malheureusement, mon expertise ne touche pas à cette question fondamentale de la vie

Le 11 août 2022 à 14:17:35 :

Le 11 août 2022 à 14:16:09 :

Le 11 août 2022 à 14:14:14 :
Tu connaîtrais des bonnes ressources en ligne avec des cours et des exos pour le supérieur ?

https://membres-ljk.imag.fr/Bernard.Ycart/mel/

Merci.

Je t'en prie

Le 11 août 2022 à 14:20:10 :

Le 11 août 2022 à 14:16:24 :
A quoi sert la transformée de Legendre ?

Je sais qu'elle sert notamment en théorie des grandes déviations.

Prends des variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées X1, X2, ... On s'intéresse à la somme Sn = X1 + ... + Xn. La loi des grandes nombres dit que Sn se comporte typiquement comme E(X) fois n, et le théorème central limite donne l'ordre grandeur des fluctuations typiques. Mais si, au lieu de s'intéresser au scénario typique, on s'intéressait à la probabilité d'observer un scénario atypique... C'est précisément le propos de la théorie des grandes déviations.

Donne toi y > E(X). [On traiterait similairement le cas inférieur.] Quelle est l'asymptotique en n de la proba que Sn soit supérieur ou égal à y fois n. Il se trouve que c'est de la forme exp(f(y)n + o(n)). La fonction f s'exprime facilement en termes de la transformée de Legendre de la transformée de Laplace de X

Intéressant, j'ai jamais réussi à avoir d'intuition sur cette transformée et je ne connaissais son usage qu'en mécanique et en optimisation

Le 11 août 2022 à 14:22:23 :

Le 11 août 2022 à 14:20:10 :

Le 11 août 2022 à 14:16:24 :
A quoi sert la transformée de Legendre ?

Je sais qu'elle sert notamment en théorie des grandes déviations.

Prends des variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées X1, X2, ... On s'intéresse à la somme Sn = X1 + ... + Xn. La loi des grandes nombres dit que Sn se comporte typiquement comme E(X) fois n, et le théorème central limite donne l'ordre grandeur des fluctuations typiques. Mais si, au lieu de s'intéresser au scénario typique, on s'intéressait à la probabilité d'observer un scénario atypique... C'est précisément le propos de la théorie des grandes déviations.

Donne toi y > E(X). [On traiterait similairement le cas inférieur.] Quelle est l'asymptotique en n de la proba que Sn soit supérieur ou égal à y fois n. Il se trouve que c'est de la forme exp(f(y)n + o(n)). La fonction f s'exprime facilement en termes de la transformée de Legendre de la transformée de Laplace de X

Intéressant, j'ai jamais réussi à avoir d'intuition sur cette transformée et je ne connaissais son usage qu'en mécanique et en optimisation

J'imagine que le plus commode pour comprendre cette notion (ou d'autres notions qui ont un fort cœur technique), ce n'est pas de méditer longuement sur la notion elle-même mais de passer du temps sur les problèmes qu'elle résout.

Genre si la transformée de Legendre résout des problèmes d'optimisation ou de mécanique, oublie la transformée et résous ces problèmes. A un moment, en les résolvant tu devras naturellement faire des manipulations, dont certaines s'appellent "transformée de Legendre". Alors, tu auras avancé dans ta compréhension de la transformée de Legendre. Non pas par une méditation abstraite sur "pourquoi tel calcul est censé être naturel dans l'absolu" mais parce que tu seras tombé sur ce calcul toi-même en partant de plusieurs problèmes dont l'intérêt t'était apparent dès le départ.

J'ignore si les explications wikipédia sont susceptibles de t'aider à assimiler cette notion, aussi...

Pourquoi certains disent qu'il est possible de prendre comme fondement des mathématiques la théorie des catégories à travers notamment de ce qu'on appelle les topos, alors que pour la définition même d'une catégorie il faut une notion au moins intuitive de collection (une catégorie est la donnée d'une CLASSE d'objets...) ? En ce moment, je suis obsédé par les questions de fondements...

On peut prouver l'existence de Dieu avec les maths ? Des ressources à lire sur la question ?

Pourquoi les Maths existent ? C'est quoi l'essence des Mathematiques ? C'est quoi l'essence même d'un chiffre ?

PS : J'adore tes post, continue khey tu régales.

Le 11 août 2022 à 14:33:02 :
Pourquoi les Maths existent ? C'est quoi l'essence des Mathematiques ? C'est quoi l'essence même d'un chiffre ?

PS : J'adore tes post, continue khey tu régales.

Je me permets de donner mon point de vu sur ces questions, l'auteur en aura sans doute des meilleurs

Un objet mathématique n'existe pas dans l'absolue, il existe dans une certaine théorie et son existence est justifiée (de façon constructive ou non) à partir des axiomes de la théorie dans laquelle on travaille. Il y a une théorie primitive en maths dans laquelle on travaille dés le départ (et dans laquelle aussi on peut considérer des théories plus précises, plus fines) qui est la théorie des ensembles axiomatisée par ZF(C). Ce qu'on appelle nombre, c'est juste des éléments de certains ensembles particuliers (des naturels, des entiers, des réels...)

Le 11 août 2022 à 14:39:21 :

Le 11 août 2022 à 14:33:02 :
Pourquoi les Maths existent ? C'est quoi l'essence des Mathematiques ? C'est quoi l'essence même d'un chiffre ?

PS : J'adore tes post, continue khey tu régales.

Je me permets de donner mon point de vu sur ces questions, l'auteur en aura sans doute des meilleurs

Un objet mathématique n'existe pas dans l'absolue, il existe dans une certaine théorie et son existence est justifiée (de façon constructive ou non) à partir des axiomes de la théorie dans laquelle on travaille. Il y a une théorie primitive en maths dans laquelle on travaille dés le départ (et dans laquelle aussi on peut considérer des théories plus précises, plus fines) qui est la théorie des ensembles axiomatisée par ZF(C). Ce qu'on appelle nombre, c'est juste des éléments de certains ensembles particuliers (des naturels, des entiers, des réels...)

Je te remercie.

Quel est la formule / l'objet mathématique le plus intrigant à tes yeux ?

Le 11 août 2022 à 14:28:49 :
Pourquoi certains disent qu'il est possible de prendre comme fondement des mathématiques la théorie des catégories à travers notamment de ce qu'on appelle les topos, alors que pour la définition même d'une catégorie il faut une notion au moins intuitive de collection (une catégorie est la donnée d'une CLASSE d'objets...). En ce moment, je suis obsédé par les questions de fondements...

Hmmm... Déjà, il y a une différence entre la notion de fondements logiques et la notion de fondements féconds. Dans le premier cas, l'accent est mis sur le fait que la théorie soit totalement propre. Dans le second, l'accent est mis sur le fait que ça fasse avancer les maths : les nombres réels et les équations différentielles ont été manipulés longtemps avant d'admettre une définition au cordeau.

C'est principalement du point de vue de la fécondité que le point de vue catégorique est défendu. D'ailleurs, du point de vue logique, on n'a pas encore de théorie très propre englobant tous les usages qu'on veut faire de la théorie des catégories : cela est résoluble de moultes manières, mais c'est toujours, pour l'heure, assez ad hoc. Après, indépendamment des fondements logiques, les usagers de la théorie des catégories savent ce qu'ils font et ne disent pas de bêtises. C'est juste que ça relève actuellement plus du savoir faire que de règles full formalisées.

La théorie des catégories a l'avantage sur la théorie des ensembles d'avoir de façon intégrée la notion d'interaction entre les objets. Elle permet une définition extrêmement concise de plein de notions : un ensemble ordonné est une petite catégorie où entre deux points il y a au plus une flèche ; un monoïde est une catégorie à un point ; etc.

Par ailleurs, la théorie des catégories, ce n'est pas que des définitions, c'est aussi un point de vue. Comme dit plus haut, c'est mettre la focale plus sur les interactions entre objets que sur les objets, ce qui est un point de vue qui a été très porteur ces 70 dernières années.

La théorie des ensembles est un cadre très expressif : c'est pour ça qu'on a pu le choisir comme fondement des maths début XXème. Les topoï sont des catégories qui ont essentiellement le même pouvoir expressif. En gros, si tu démontres un résultat normalement et sans t'appuyer sur le tiers exclus, alors il est valable en théorie des ensembles mais aussi dans tout topos. Les topoï (pluriel de topos) généralisent donc vastement le délire de la théorie des ensembles, et sont craftés dans le fer de la théorie des catégories.

Les topoï unifient topologie, théorie des groupes, arithmétique, géométrie algébrique, logique... En gros, on peut formaliser la topologie (des espaces topologiques sobres, ce qui contient les séparés) en regardant uniquement l'ensemble des ouverts de l'espace et la structure d'ensemble ordonné qu'il forme. Sauf qu'un ensemble ordonné, ça définit une catégorie "on met une flèche entre a et b si a inférieur à b". Quand on a un espace topologique, on a donc une catégorie, ainsi qu'une notion de recouvrement (on peut dire quand une famille d'ouverts recouvre un ouvert donné). Eh bien une catégorie quelconque munie d'une "notion de recouvrement raisonnable" (ça s'appelle une topologie de Grothendieck), c'est ce qu'on appelle un site.

Un topos de Grothendieck est une (catégorie équivalente à la) catégorie des faisceaux sur un site. Un faisceau, c'est choisir pour chaque objet de la catégorie un ensemble, pour chaque flèche une application entre ensembles, "le toute de façon cohérente". Si notre site est issu d'un espace topologique, on associe à chaque ouvert un ensemble, "et ce de façon cohérente". Des ensembles paramétrés par notre espace (ou les ouverts de notre espace), en gros.

Si on par de l'espace le plus con, le singleton, la catégorie associée, c'est le vaste univers de la théorie des ensembles (la catégorie Ens). Si on prend pour espace la paire, on a deux copies de la catégorie des ensembles... Un site, c'est un objet normal que tu tiens dans ta main ; un topos, c'est un vaste univers dans lequel tu peux faire des maths pendant des siècles.

Le miracle est que si on a deux espaces topologiques sobres, les topoï associés sont équivalents si et seulement si les espaces topologiques sont homéomorphes. Pour faire de la topologie, on peut donc indifféremment travailler avec un espace topologique X ou avec "l'univers vu du point de vue de X".

A travailler avec les sites et topoï, on gagne énormément en généralité, en unité et en outillage.

• https://math.ucr.edu/home/baez/topos.html
• &
• https://www.azimuthproject.org/azimuth/show/Applied+Category+Theory+Course#Courselist=PL4FD0wu2mjWM3ZSxXBj4LRNsNKWZYaT7k