[X/ENS] L'échéance APPROCHE

Et oui les taupins on approche du but. Plus que quelques heures avant le début des hostilités.https://image.noelshack.com/fichiers/2016/34/1472411294-yeux2.png

Le concours X/ENS commence demain matin. J'espère que vous maîtrisez votre algèbre aussi bien que votre électromagnétisme ou que vos références issues de l'Émile.
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Si je ne m'abuse à l'heure qu'il est les Cassini sont parfaitement maîtriséshttps://image.noelshack.com/fichiers/2016/34/1472411294-yeux2.png

Commençons par une petite promenade mathématique avec quelques exercices du 1er livre d'algèbre du Cassini.https://image.noelshack.com/fichiers/2016/34/1472411294-yeux2.png

Théorie des groupes
1. Soit G un groupe fini, H un Sous-groupe strict de G. Montrer qu'il existe x ∈ G tel que la classe de conjugaison de x ne rencontre pas H.
2. Donner un contre-exemple si G n'est pas fini.
La théorie des groupes doit être parfaitement assimilée. Continuons maintenant avec celle des anneaux.https://image.noelshack.com/fichiers/2016/34/1472411294-yeux2.png

Anneaux et Corps
Petite parenthèse historique. Vers 1831, Gauss a été amené, dans ses travaux sur les résidus biquadratiques et sur les fonctions elliptiques à étudier les propriétés de divisibilité dans l'anneau Z[i]. C'est donc la théorie des nombres qui est à l'origine de celle des anneaux.https://image.noelshack.com/fichiers/2016/34/1472411294-yeux2.png

Jetons un œil du côté de l'anneau Z[X] :
1. L'anneau Z[X] est-il principal ?
2. Soit A un anneau commutatif. À quelle condition A[X] est-il principal ?

Géométrie
Terminons avec un exercice très simple du Cassini. Une trivialité pour tout ceux qui aiment la géométriehttps://image.noelshack.com/fichiers/2016/34/1472411294-yeux2.png

Déterminer l'ensemble des points où passent deux tangentes à une ellipse E donnée.
Qui ne sait pas faire ça récolte E3Ahttps://image.noelshack.com/fichiers/2016/34/1472411294-yeux2.png

Voilà les taupins. Reposez-vous bien et surtout, le jour de l'examen soyez attentifs si vous ne voulez pas faire 5/2.