Jaune_ass
2022-02-24 19:10:35
Je suis en L1 math info et je comprends casi rien à un exo d'un ancien partiel donc si vous pouvez m'indiquer 2 3 trucs ca m'aiderais beaucoup merci
Dans l’espace R2[X], considérons deux sous-ensembles définis par
F = {P appartient R2[X], P(0) = 0} et G = {P appartient R2[X], P'(0) = 0},
1. Soit E un espace vectoriel réel, et F inclue dans E. Rappeler un critère nécessaire et suffisant pour que F soit un
sous-espace vectoriel de E.
2. Montrer que F défini ci-dessus est un sous-espace vectoriel de R2[X].
3. Trouver une base de F.
4. Admettons que G est un sous-espace vectoriel de R2[X]. Les sous-espaces F et G sont-ils supplémentaires
dans R2[X] ?
matador591
2022-02-24 19:16:16
1. Va voir ton cours
2. Applique la définition
3. Soit P= a0+a1*X+a2*X^2 appartenant à G. Tu évalues en 0, tu trouves a0=0 … tu en déduis que (X,X^2) est génératrice de G. Elle est également libre c’en est donc une base.
4. La réponse est non tu peux montrer par exemple que leur intersection est non nulle
AuditeurTriste
2022-02-25 10:03:25
1. Soit E un espace vectoriel réel, et F inclue dans E. Rappeler un critère nécessaire et suffisant pour que F soit un
sous-espace vectoriel de E.
Comme on sait que E est un espace vectoriel, il suffit, pour prouver que F est un espace vectoriel, de montrer que :
- F inclu dans E
- si x et y dans F, alors x + y dans F
- si x dans F et lambda un réel, alors lambda . x est dans F
2. Montrer que F défini ci-dessus est un sous-espace vectoriel de R2[X].
F inclu dans E. Si P et Q sont deux poylnomes admettant 0 pour racine, (P + Q)(0) = P(0) + Q(0) = 0
Et de meme, si c est un réel, [ c. P ] (0) = c . P(0) = 0
Donc F est bien un sous espace vectoriel
3. Trouver une base de F.
Une base de F est ( X , X^2 ), comme dim E = 3 alors dim F < 3 vu que 1 n 'appartient pas á F.
4. Admettons que G est un sous-espace vectoriel de R2[X]. Les sous-espaces F et G sont-ils supplémentaires
dans R2[X] ?
Soit H = G inter F. Et bien X^2 appartient á H. Hors, pour etre supplémentaires, l'intersection doit etre le vecteur {0}. Donc non ils ne sont pas supplémentaire.s