[MATHS EXPERT] Aide exo divisibilité

Soit n un entier naturel. Montrer que les diviseurs communs de 10n+3 et 6n+1 sont des diviseurs de 4.

J'ai pensé qu'il fallait commencé par faire une combinaison linéaire, et j'ai trouvé en gros a = 8, puis j'ai cherché les diviseurs de 8(1,2,4,8), mais aucun n'était le diviseur commun des deux expressions.

Comment je peux m'y prendre ??

up

T'es sûr de ton énoncé ? parce que les diviseurs de 10n+3 ou de 6n+1 sont même pas pairs. Ou bien c'est 1 et il faut montrer qu'ils sont premiers entre eux mais c'est un peu étriqué comme raisonnement

up

Le 30 novembre 2021 à 22:26:43 :
T'es sûr de ton énoncé ? parce que les diviseurs de 10n+3 ou de 6n+1 sont même pas pairs. Ou bien c'est 1 et il faut montrer qu'ils sont premiers entre eux mais c'est un peu étriqué comme raisonnement

oui c'est l'énoncé exact que j'ai recopié mais ça ne semble pas marcher, alors que je pense avoir plus ou moins le bon raisonnement

Ben alors il faut juste que tu montres que 10n+3 et 6n+1 sont premiers entre eux

La question posée est vraiment débile si ça s'arrête là, mais a priori c'est un intermédiaire pour prouver que pour tout n, les nombres sont premiers entre eux.

Déjà, t'as pas choisi ta CL très astucieusement, t'as probablement fait x6 et x10 alors que tu peux optimiser avec x3 et x5. Si d est un diviseur commun, alors d divise (10n+3)*3 - (6n+1)*5 = 4, comme demandé. Ensuite, tu l'as à moitié rédigé, mais parmi les diviseurs de 4, il n'y a que 1 qui fonctionne et la conclusion suit.

Le 30 novembre 2021 à 22:30:40 :
La question posée est vraiment débile si ça s'arrête là, mais a priori c'est un intermédiaire pour prouver que pour tout n, les nombres sont premiers entre eux.

Déjà, t'as pas choisi ta CL très astucieusement, t'as probablement fait x6 et x10 alors que tu peux optimiser avec x3 et x5. Si d est un diviseur commun, alors d divise (10n+3)*3 - (6n+1)*5 = 4, comme demandé. Ensuite, tu l'as à moitié rédigé, mais parmi les diviseurs de 4, il n'y a que 1 qui fonctionne et la conclusion suit.

d'accord , la CL comme tu dis je l'ai choisi par ce qu'on nous apprend qu'il faut choisir les même chiffre qu'il y a dans les parenthèses.
mais ensuite je vois pas pourquoi 1 fonctionne . Comment on vérifie ça ?

Parce que comme hachino a dit, ton nombre divise 4 donc c'est soit 1 soit 2 soit 4, mais en plus il divise deux nombres impairs, du coup il peut pas être pair

Après l'idée de la combinaison linéaire optimale c'est juste de trouver le ppcm de 6 et 10.
Genre 60 ça marche c'est bien un multiple de 10 et 6 mais c'est pas le ppcm.

Le 30 novembre 2021 à 22:36:18 :
Parce que comme hachino a dit, ton nombre divise 4 donc c'est soit 1 soit 2 soit 4, mais en plus il divise deux nombres impairs, du coup il peut pas être pair

donc y a pas de solution ?

d'accord , la CL comme tu dis je l'ai choisi par ce qu'on nous apprend qu'il faut choisir les même chiffre qu'il y a dans les parenthèses.

C'est une méthode qui fonctionne, mais un choix optimal (= avec des coeffs minimaux en valeur absolue) sera obtenu en cherchant à atteindre le PPCM des facteurs devant n, ici 10 et 6. Tu peux vérifier que PPCM(10,6) = 30, ce qui justifie le choix de 3 et 5 comme coeffs. Prendre "les mêmes" comme coeffs, ici 10 et 6, t'assure de tomber sur un multiple commun qui éliminera les 'n' (ici 60), mais hormis le cas où tes coeffs donnés sont premiers entre eux (i.e. leur PPCM est égal à leur produit), tu peux faire mieux.

C'était un peu technique, mais si tu le reprends calmement avec des exemples simples comme celui que tu as posté, ça te paraîtra plus clair.

mais ensuite je vois pas pourquoi 1 fonctionne . Comment on vérifie ça ?

Euh bah 1 divise tout entier, c'est une conséquence directe de la définition : k = k*1.

Le 30 novembre 2021 à 22:42:17 :

Le 30 novembre 2021 à 22:36:18 :
Parce que comme hachino a dit, ton nombre divise 4 donc c'est soit 1 soit 2 soit 4, mais en plus il divise deux nombres impairs, du coup il peut pas être pair

donc y a pas de solution ?

Si, 1

D'accord si vous me dites que 1 est une solution je dois tout mélanger,
je pensais qu'il fallait ensuite vérifier les solution en faisant l'équation 10n+3 = 1 et trouver un nombre entier, et seulement à ce moment la solution serait valide. Je pensais qu'il fallait faire ça pour tous les diviseurs de 4 (puisque apparament on trouve 4, ça j'ai compris pour le coup)

Le 30 novembre 2021 à 22:51:54 :
D'accord si vous me dites que 1 est une solution je dois tout mélanger,
je pensais qu'il fallait ensuite vérifier les solution en faisant l'équation 10n+3 = 1 et trouver un nombre entier, et seulement à ce moment la solution serait valide. Je pensais qu'il fallait faire ça pour tous les diviseurs de 4 (puisque apparament on trouve 4, ça j'ai compris pour le coup)

ah j'ai compris au temps pour moi

Si d divise 10n+3 et d divise 6n+1 alors d divise 3*(10n+3)-5*(6n+1) = 4