(Maths) Toute isométrie de R^n est bijective

Bonjour,
Je ne comprends pas bien pourquoi toute isométrie de R^n est bijective, j'ai compris pour l'injectivité mais pour la surjectivité je vois pas comment fairehttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/17/7/1619980875-sele.png
Quelqu'un a une idée ?

Montre que f est affine de partie lineaire orthogonale donc bijectif

Par dimension l'injectivite suffit

(si tu parles d'isometrie vectorielle )

J'entends par isométrie une application bijective de X dans X qui préserve les distances(X est un espace métrique)
Je ne comprends pas comment montrer que f est affine
https://image.noelshack.com/fichiers/2021/30/2/1627390028-caidgelem.png

Tu fixes M un point et pour x vecteur :
On pose g(x)=f(M+x)-f(M)
g(0)=0 et ||g(x)-g(y)||=||x-y||

1) Check que <g(x),g(y)>=<x,y>
2) Calcule ||g(x+y)-g(x)-g(y)|| etc

J'ai fais les calculs
Pour le 1) c'est bon
Pour le 2 c'est bon
J'ai de plus montrer ||g(ax)-ag(x)||=0
J'en déduit que g(x+y)=g(x)+g(y) et g(ax)=ag(x)
Donc g est linéaire, et même orthogonale d'après 1)
De plus, g(x-M)=f(x)-f(M), càd f(x)=g(x)+w avec w=f(M)-g(M)
Cela montre que f est affine de partie linéaire orthogonale
De plus, ker(g)={0} car ||g(x)||=||x|| donc d'après le théorème du rang dim(im(g))=n donc g est bijectif, et par composition de bijection f est bijectif.
J'ai tout bon ?https://image.noelshack.com/fichiers/2021/30/2/1627390028-caidgelem.png

De plus, g(x-M)=f(x)-f(M), càd f(x)=g(x)+w avec w=f(M)-g(M)

Ca a pas de sens.
f est definie sur l'espace affine E = R^n, g sur l'espace vectoriel que je note E* = R^n

x est un élément de R* et M un élément de E.
M+x est un élément de E

Il faut juste écrire : f(M+x) = f(M) +g(x) avec g linéaire donc f est affine

Ou si on note M M' 2 points alors avec x = MM' et M' = M+x

f(M')= f(M) + g(MM') avec g linéaire

Je me demandais si la manière suivante fonctionnait(ou était équivalente) :
Soit f une isométrie de R^n. Posons g(x)=f(x)-f(0). On fait la même chose que précédemment. On obtient f(x)=f(0)+g(x) avec g linéaire