Prouvez que l'ensemble des fonctions continues de R dans R est de dim infinie

C'est simple mais la démonstration est sympa

allez hop hop la question peut tomber aux oraux les prépakhey

AQT

Par l'absurde ?

Le 13 juillet 2021 à 17:33:47 :
Par l'absurde ?

Oui, à partir de là il y a le choix

Faudrait poser une base et trouver une fonction qui n'est pas combinaison linéaire des vecteurs de la base mais j'ai aucune idée de comment faire

la dimension de l'espace des polynômes de R dans R est infinie, donc la dimension de l'espace des fonctions continues de R dans R est infinie

Le 13 juillet 2021 à 17:37:00 :
Faudrait poser une base et trouver une fonction qui n'est pas combinaison linéaire des vecteurs de la base mais j'ai aucune idée de comment faire

Si on suppose qu'il est fini de dim. N, alors on peut très facilement prouver que la famille X^0, X^1 .. X^N est une base de cet ensemble. Une combinaison linéaire de ces fonctions est égale à la fonction nulle au bout de la N+1e dérivée.

Si on prend une fonction continue de R dans R, par exemple l'exponentielle on arrive à la conclusion que exp(x) = 0.