Ici on fait des MATHS

Niveau nécessaire : Terminale minimum

Je mets un exercice, et dès que quelqu'un le résout j'en met un autrehttps://image.noelshack.com/fichiers/2016/30/1469541952-risitas182.png

Exercice 1 :

On dispose d'un cadrillage de taille n*n.https://image.noelshack.com/fichiers/2021/27/7/1625977467-cadrillage.gifCombien y'a t-il de carrés (en fonction de n) ?

J'ajoute un exercice 2 directement pour commencer plus tranquillement : Montrer que parmi les nombres de 1 à 100, si on en choisit 51, alors il y'en a au moins deux consécutifs

L'op qui veut qu'on fasse ses devoirs

Le 11 juillet 2021 à 06:37:10 :
L'op qui veut qu'on fasse ses devoirs

je connais les 2 exos, j'ai même les corrigés

Le 11 juillet 2021 à 06:26:36 :
J'ajoute un exercice 2 directement pour commencer plus tranquillement : Montrer que parmi les nombres de 1 à 100, si on en choisit 51, alors il y'en a au moins deux consécutifs

(1,2), (3,4) ...., (99,100), on conclut avec le principe des tiroirs.

Le 11 juillet 2021 à 06:38:14 :

Le 11 juillet 2021 à 06:26:36 :
J'ajoute un exercice 2 directement pour commencer plus tranquillement : Montrer que parmi les nombres de 1 à 100, si on en choisit 51, alors il y'en a au moins deux consécutifs

(1,2), (2,3) ...., (99,100), on conclut avec le principe des tiroirs.

oui

La suite de Fibonacci est définie par F0=0 et F1=1. Et pour tout n, F(n+2)=F(n)+F(n+1)

Exercice 3 : Montrer que le nombre de manière de parcourir un chemin de longueur n-1 en faisant des pas de 1 ou 2 est F(n) (on pourra penser à la relation de récurrence)

Le 11 juillet 2021 à 06:23:47 :
Niveau nécessaire : Terminale minimum

Je mets un exercice, et dès que quelqu'un le résout j'en met un autrehttps://image.noelshack.com/fichiers/2016/30/1469541952-risitas182.png

Exercice 1 :

On dispose d'un cadrillage de taille n*n.https://image.noelshack.com/fichiers/2021/27/7/1625977467-cadrillage.gifCombien y'a t-il de carrés (en fonction de n) ?

On peut remarquer qu'il y a n² de côtés 1, (n-1)² carrés de côtés 2, ..., 1 carré de côtés n donc il y a en tout 1² + ... + n² (jsais plus la forme close, flemme de faire les calculs)

Le 11 juillet 2021 à 06:44:31 :

Le 11 juillet 2021 à 06:23:47 :
Niveau nécessaire : Terminale minimum

Je mets un exercice, et dès que quelqu'un le résout j'en met un autrehttps://image.noelshack.com/fichiers/2016/30/1469541952-risitas182.png

Exercice 1 :

On dispose d'un cadrillage de taille n*n.https://image.noelshack.com/fichiers/2021/27/7/1625977467-cadrillage.gifCombien y'a t-il de carrés (en fonction de n) ?

On peut remarquer qu'il y a n² de côtés 1, (n-1)² carrés de côtés 2, ..., 1 carré de côtés n donc il y a en tout 1² + ... + n² (jsais plus la forme close, flemme de faire les calculs)

Oui

Exo 1: il s'agit de dénombrer le nombre de carrés de côté k pour chaque k entre 1 et n. Or il y en a (n-k+1)^2 (n-k+1 possibilités pour le choix du premier côté et pareil pour le second). On se retrouve donc avec la somme de 1 à n des k^2, ce qui est n(n+1)(2n+1)/6 (on peu montrer cette dernière égalité par récurrence.

2 puissance n ent's

Le 11 juillet 2021 à 06:47:18 :
Exo 1: il s'agit de dénombrer le nombre de carrés de côté k pour chaque k entre 1 et n. Or il y en a (n-k+1)^2 (n-k+1 possibilités pour le choix du premier côté et pareil pour le second). On se retrouve donc avec la somme de 1 à n des k^2, ce qui est n(n+1)(2n+1)/6 (on peu montrer cette dernière égalité par récurrence.

Oui voilà

Le 11 juillet 2021 à 06:48:10 :
2 puissance n ent's

Non, paix

Le 11 juillet 2021 à 06:42:03 :
La suite de Fibonacci est définie par F0=0 et F1=1. Et pour tout n, F(n+2)=F(n)+F(n+1)

Exercice 3 : Montrer que le nombre de manière de parcourir un chemin de longueur n-1 en faisant des pas de 1 ou 2 est F(n) (on pourra penser à la relation de récurrence)

Par récurrence forte :
Vrai pour n= 2

Si c'est vrai pour un entier n >= 2 et tous ses prédécesseurs alors considérons un chemin de longueur n.
-Si le dernier pas qu'on a fait pour le parcourir était de longueur 2, c'est donc qu'à l'étape précédente on avait parcouru un chemin de longueur n-2, et il y avait F(n-2) façons de faire ce parcours.
-Si le dernier pas qu'on a fait pour le parcourir était de longueur 1, c'est donc qu'à l'étape précédente on avait parcouru un chemin de longueur n-1, et il y avait F(n-1) façons de faire de parcours.

Au total, on a donc F(n-2)+F(n-1) façons de parcourir le chemin de longueur n.
Ca ressemble fortement au tout premier exercice d'un bouquin de maths (un Cassini je crois), sauf que c'était avec des dominos.

Le 11 juillet 2021 à 06:52:40 :

Le 11 juillet 2021 à 06:42:03 :
La suite de Fibonacci est définie par F0=0 et F1=1. Et pour tout n, F(n+2)=F(n)+F(n+1)

Exercice 3 : Montrer que le nombre de manière de parcourir un chemin de longueur n-1 en faisant des pas de 1 ou 2 est F(n) (on pourra penser à la relation de récurrence)

Par récurrence forte :
Vrai pour n= 2

Si c'est vrai pour un entier n >= 2 et tous ses prédécesseurs alors considérons un chemin de longueur n.
-Si le dernier pas qu'on a fait pour le parcourir était de longueur 2, c'est donc qu'à l'étape précédente on avait parcouru un chemin de longueur n-2, et il y avait F(n-2) façons de faire ce parcours.
-Si le dernier pas qu'on a fait pour le parcourir était de longueur 1, c'est donc qu'à l'étape précédente on avait parcouru un chemin de longueur n-1, et il y avait F(n-1) façons de faire de parcours.

Au total, on a donc F(n-2)+F(n-1) façons de parcourir le chemin de longueur n.
Ca ressemble fortement au tout premier exercice d'un bouquin de maths (un Cassini je crois), sauf que c'était avec des dominos.

exactement, c'est inspiré de ça. Juste, c'est pas une récurrence forte mais une récurrence d'ordre 2 plutot

Oui, ordre 2 suffit c'est vrai.
Mais je savais pas que ça s'appelait comme ça

Sinon micmath avait fait une vidéo qui ressemble aussi à l'exo :

Exercice 4 : Soit x dans [1,+oo[. On note N(x) le nombre de carrés parfaits inférieurs ou égaux à x. Déterminer la limite en +oo de N(x)/sqrt(x). PS: 0 n'est pas un carré parfait

Trouvez moi les fonctions de ces courbeshttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/27/7/1625979839-telechargement-3.jpeghttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/27/7/1625979850-telechargement-2.jpeg

Le 11 juillet 2021 à 07:00:57 :
Exercice 4 : Soit x dans [1,+oo[. On note N(x) le nombre de carrés parfaits inférieurs ou égaux à x. Déterminer la limite en +oo de N(x)/sqrt(x). PS: 0 n'est pas un carré parfait

N(x) est la partie entière de racine(x). En utilisant l'inégalité définissant la partie entière, on trouve que ta limite est 1.