Les fonctions vérifiant f(f(x)) = f(x) ?

Une question me turlupine depuis hier soir Est-il possible de déterminer toutes les fonctions f de IR dans IR satisfaisant: f o f = f ? Au début, je pensais que seules les fonctions constantes et l'identité vérifiaient cette propriété, mais je me suis rendu compte que certaines indicatrices un peu bizarres la vérifient également...

Des pistes ?

A une époque je savais résoudre ça.
A une époque.
Bon courage j'ai tout oublié depuis que je me suis réo en med

L'élite en sueur face ce problème de niveau lycéehttps://image.noelshack.com/fichiers/2020/17/6/1587808187-sticker-micmaths.png

Sans hypothèse de régularité ça semble compliqué tu peux avoir un tas de fonctions chelous qui conviennent

Les maths ça devrait être supprimé du lycée sérieux, j'ai absolument tout oublié et j'ai eu 16 au bachttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/17/7/1619980875-sele.png

f(x)=xhttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/17/2/1619534885-bgggg.png

Le 30 juin 2021 à 00:15:03 :
Sans hypothèse de régularité ça semble compliqué tu peux avoir un tas de fonctions chelous qui conviennent

Ouai c'est ce qui me semble Par contre, si on suppose que f est continue, tu penses qu'il n'y a que les constantes et l'identité ?

Le 30 juin 2021 à 00:16:25 :
f(x)=xhttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/17/2/1619534885-bgggg.png

Ca semble cohérenthttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/17/7/1619980875-sele.png

Le 30 juin 2021 à 00:16:25 :
f(x)=xhttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/17/2/1619534885-bgggg.png

Y a aussi f(x) = 0https://image.noelshack.com/fichiers/2019/41/2/1570536504-ronaldo-bg-alpha.png

Si la fonction f est bijective alors la seule fonction f qui vérifie ça c'est la fonction identité.

Donc pour trouver tout le reste tu as déjà la non-bijectivité de ces fonctons

T'as x->|x| qui marche aussi et qui est ni constante ni l'identité

Je pense qu'il y a moyen de trouver une condition sur chaque "type" d'application

Déjà on peut dire que l'image de f est un intervalle en utilisant le TVI.

Pour avoir f(f(x)) = f(x), il suffit que f soit l'identité sur son image. Partout ailleurs elle peut faire ce qu'elle veut tant que c'est continu

Le 30 juin 2021 à 00:20:34 :
T'as x->|x| qui marche aussi et qui est ni constante ni l'identité

Ah oui c'est vrai j'avais pas essayé avec celle-làhttps://image.noelshack.com/fichiers/2019/41/2/1570536504-ronaldo-bg-alpha.png

Et si on impose dérivable ?https://image.noelshack.com/fichiers/2019/41/2/1570536504-ronaldo-bg-alpha.png

Le 30 juin 2021 à 00:28:14 :

Le 30 juin 2021 à 00:20:34 :
T'as x->|x| qui marche aussi et qui est ni constante ni l'identité

Ah oui c'est vrai j'avais pas essayé avec celle-làhttps://image.noelshack.com/fichiers/2019/41/2/1570536504-ronaldo-bg-alpha.png

Et si on impose dérivable ?https://image.noelshack.com/fichiers/2019/41/2/1570536504-ronaldo-bg-alpha.png

Je dirais pareil qu'au dessus sauf que le recollement doit être dérivable sur les bords de l'image (pour peu que ces bords ne soit pas en l'infini)

Bah t'en as plein qui peuvent marcher. Tu peux pas trouver toutes les solutions de manière explicite je pense.

Toutes les fonctions idempotentes vérifient la propriété de l'op

Ex de fonctions idempotentes : f(x) = min(x,a), f(x) = max(x, a) etc... a étant une constante

La fonction qui vaut l'identité sur [0,+inf[ et exp(-1/x^2) marche aussi du coup et est infiniment derivable

L'identité si c'est une symétrie après je ne sais pas

J'ai pas fait de maths depuis un bail mais si c'est dérivable alors :

f'(X)f'(f(X)) = f'(X).
Soit donc X dans IR.
Dès lors soit f'(X)=0.
Soit f'(X)!=0 alors puisque f'(f(X))=0, pour toutes les valeurs de X où f' n'est pas nulle, on a f'(f(X))=1. Donc pour toutes les valeurs que prend f où f' n'est pas nulle, on a f'=1 pour ces valeurs.

Supposons qu'il existe un intervalle où f' s'annule un nombre fini de fois >0. Partout ailleurs sur cet intervalle f' vaut 1 donc f vaut X.
Cela contrevient à la continuité de f' (en supposant que l'on fasse cette hypothèse).
J'ai la flemme de continuer bonne nuit