[MATHÉMATHIQUES] Si tu RÉSOLVES ces PROBLÈMES, tu es un GÉNIE

Hello,

J'aime bien les mathématiques et j'aime aussi les petits problèmes destinés à faire chauffer notre cerveau. Je vous en propose quelques uns. J'essaierai d'alimenter (ir)régulièrement ce sujet.

1 : On note Pow(n,a) l'élévation à la puissance a de l'entier n. Par exemple Pow(2,4) = 16 et Pow(3,2) = 9. Combien existe-t-il de couples d'entiers (x,y) tels que Pow(x,y) = Pow(y,x), avec x compris entre 0 et 5 ?

2 : Je lance trois dés équilibrés à 6 faces et je note X le produit des résultats. Quelle est la probabilité que X soit un carré d'entier ?

3 : Combien y a-t-il de nombres entre 1 et 1000000 qui possèdent au moins un 11 dans leur écriture décimale ?

3.5 : : Une preuve sur la convergence vers pow(pi, 2)/6 de la somme des inverses des carrés ?

Ma preuve : développer la fonction affine qui vaut 1 en pi et -1 en -pi en série de Fourier et appliquer la formule de Parseval. On retombe exactement sur la somme des inverses des carrés.

4 : Quentin lance une pièce jusqu'à obtenir 2 faces un 1 pile consécutif. En gros, il lance la pièce jusqu'à voir apparaître le motif FFP. Et là il s'arrête. Combien de fois en moyenne devra-t-il lancer la pièce pour voir le motif apparaitre ?

5 : Je joue au jeu de plateau Serpents et Echelles (snakes and ladders). Combien de fois, en moyenne, devrais-je lancer le dé, en partant de la case 1, pour arriver à la case 100 ? (et il faut prendre en compte le fait que si, par exemple, on est sur la case 99 et qu'on lance le dé et qu'on obtient un 5, on retourne en 96 module si il y a une échelle ou pas).

6 : Le problème de Monty Hall
Supposez que vous êtes sur le plateau d'un jeu télévisé, face à trois portes et que vous devez choisir d'en ouvrir une seule, en sachant que derrière l'une d'elles se trouve une voiture et derrière les deux autres des chèvres. Vous choisissez une porte, disons la numéro 1, et le présentateur, qui sait, lui, ce qu'il y a derrière chaque porte, ouvre une autre porte, disons la numéro 3, porte qui une fois ouverte découvre une chèvre. Il vous demande alors : « désirez-vous ouvrir la porte numéro 2 ? ». Avez-vous intérêt à changer votre choix ?

7 : AntoineForum joue aux dés avec Dextre. Dextre commence. S’il fait un 6, il gagne et la partie s'arrête. Sinon c'est à AntoineForum de jouer. S’il fait 6 il gagne et la partie s'arrête. Sinon Dextre reprend la main et ainsi de suite.
Quelle est la probabilité que AntoineForum gagne la partie ?

8 : Dans une piece, il y a 100 interrupteurs numérotés de 1 à 100. Tous sont éteints. Il y a également 100 employés chargés du nettoyage également numérotés de 1 à 100. Quand un employé entre, il switche tous les interrupteurs qui sont multiple du numéro qu'il porte. Les employés entrent par numéro croissant. Le premier employé switche tous les interrupteurs vers ON. Quand l'employé deux entre, il switche les interrupteurs 2, 4, 6, … et quand l'employé 3 entre, il switche les interrupteurs 3, 6, 9, 12, …
Quel est l'état de l'interrupteur 64 ?
Quels sont les interrupteurs encore allumés quand l'employé 100 resort ?

9 : Vous êtes au centre d'un pré circulaire boueux. Au bout du cercle il y a un chien enragé. Vous devez sortir du bourbier et vous enfuir. Seulement, le chien, lorsqu'il court sur la terre ferme, va 4 fois plus vite que vous lorsque vous êtes dans le bourbier. Une fois le pied posé sur terre, vous êtes plus rapide que lui. Sachant que le chien est intelligent et choisit toujours le chemin le plus court - tout en contournant le bourbier - pour vous rejoindre sur la terre ferme, quelle stratégie adopter pour parvenir à fuir ?

10 : Vous lancez un dé et vous sommez les résultats. Quelle est la proba d'arriver àun moment sur le nombre 52 ? Vous pouvez y arriver au 14e comme au 21e comme au 10e lancer, mais quelle est la proba de l'atteindre ?

11 : On considere un pavé P(n) de taille 2 fois n. On a à notre disposition des dominos de taille 1 fois 2. De combien de façons peut-on paver le pavé P(n) avec nos dominos ?

12 : Même question que précédemment mais on a un pavé G(n) de taille 3 fois 2n, de combien de façons peut-on le paver avec nos dominos ?

13 : On considere une sphère de rayon R > 0. On considère un cône inscrit dans la sphère. Quelle est l'angle du cône qui maximise l'aire latérale de ce cône dans la sphère ? C'est-á-dire qu'on ne compte que la partie latérale et pas la base elliptique du cône dans l'aire.

14 : On considère un bâton qui mesure 1m. On le casse en deux en choisissant le point de cassure au hasard (selon une loi uniforme). Que vaut, en moyenne, le rapport du plus petit bout sur le plus grand bout ?

15 : On tire au hasard deux nombres dans l'intervalle [0, 1], selon une loi uniforme. On les note X et Y. Quelle est la proba que la partie entiere de X / Y soit un nombre impair ?

16 : Un peu d'analyse. On considere une suite numérique á’à termes strictement positifs { an, n > 0 }. Et on note Rho(n) = n * [ (a(n) / a(n+1) ) - 1 ]. Montrer que si Rho(n) tend vers c, avec c > 1, alors la série des an converge.
Pousser un peu plus fort le résultat en supposant non pas la convergence mais que lim inf Rho > 1 .

gpalu mais c’est trivial

Ça fait plus de 15 ans que je n'ai plus fait de maths...https://image.noelshack.com/fichiers/2018/10/1/1520256134-risitasue2.pngnéanmoins je me lance pour la dernière

Rho(n) converge donc lim inf Rho(n)/n = 0
ce qui implique que lim inf a(n)/a(n+1) - 1 = 0 => lim inf a(n)/ a(n+1) = 1, donc la suite ((an)) converge. Mais je n'ai pas très bien saisi l'utilité de c>1 j'espère que la démonstration est suffisante.

Si lim inf Rho > 1, alors lim inf n[a(n)/a(n+1) - 1 ] > 1 => n*[a(n) - a(n+1)]/a(n+1) > 1
Comme (an) est définie > 0, cela implique d'après l'inégalité précédente que n*[a(n) -a(n+1)] > 0, donc a(n) > a(n+1) car n entier positif.

Donc la suite ((an)) est une suite monotone, décroissante et convergente.

https://image.noelshack.com/fichiers/2018/10/1/1520256134-risitasue2.png

Le 11 mai 2021 à 20:22:13 :
Ça fait plus de 15 ans que je n'ai plus fait de maths...https://image.noelshack.com/fichiers/2018/10/1/1520256134-risitasue2.pngnéanmoins je me lance pour la dernière

Rho(n) converge donc lim inf Rho(n)/n = 0
ce qui implique que lim inf a(n)/a(n+1) - 1 = 0 => lim inf a(n)/ a(n+1) = 1, donc la suite ((an)) converge. Mais je n'ai pas très bien saisi l'utilité de c>1 j'espère que la démonstration est suffisante.

Si lim inf Rho > 1, alors lim inf n[a(n)/a(n+1) - 1 ] > 1 => n*[a(n) - a(n+1)]/a(n+1) > 1
Comme (an) est définie > 0, cela implique d'après l'inégalité précédente que n*[a(n) -a(n+1)] > 0, donc a(n) > a(n+1) car n entier positif.

Donc la suite ((an)) est une suite monotone, décroissante et convergente.

https://image.noelshack.com/fichiers/2018/10/1/1520256134-risitasue2.png

Non non on veut montrer que Somme_n an converge.

C'est là que c > 1 va jouer.

Le 11 mai 2021 à 20:24:40 :

Le 11 mai 2021 à 20:22:13 :
Ça fait plus de 15 ans que je n'ai plus fait de maths...https://image.noelshack.com/fichiers/2018/10/1/1520256134-risitasue2.pngnéanmoins je me lance pour la dernière

Rho(n) converge donc lim inf Rho(n)/n = 0
ce qui implique que lim inf a(n)/a(n+1) - 1 = 0 => lim inf a(n)/ a(n+1) = 1, donc la suite ((an)) converge. Mais je n'ai pas très bien saisi l'utilité de c>1 j'espère que la démonstration est suffisante.

Si lim inf Rho > 1, alors lim inf n[a(n)/a(n+1) - 1 ] > 1 => n*[a(n) - a(n+1)]/a(n+1) > 1
Comme (an) est définie > 0, cela implique d'après l'inégalité précédente que n*[a(n) -a(n+1)] > 0, donc a(n) > a(n+1) car n entier positif.

Donc la suite ((an)) est une suite monotone, décroissante et convergente.

https://image.noelshack.com/fichiers/2018/10/1/1520256134-risitasue2.png

Non non on veut montrer que Somme_n an converge.

C'est là que c > 1 va jouer.

À quel moment tu as parlé de somme ?

Le 11 mai 2021 à 20:26:27 :

Le 11 mai 2021 à 20:24:40 :

Le 11 mai 2021 à 20:22:13 :
Ça fait plus de 15 ans que je n'ai plus fait de maths...https://image.noelshack.com/fichiers/2018/10/1/1520256134-risitasue2.pngnéanmoins je me lance pour la dernière

Rho(n) converge donc lim inf Rho(n)/n = 0
ce qui implique que lim inf a(n)/a(n+1) - 1 = 0 => lim inf a(n)/ a(n+1) = 1, donc la suite ((an)) converge. Mais je n'ai pas très bien saisi l'utilité de c>1 j'espère que la démonstration est suffisante.

Si lim inf Rho > 1, alors lim inf n[a(n)/a(n+1) - 1 ] > 1 => n*[a(n) - a(n+1)]/a(n+1) > 1
Comme (an) est définie > 0, cela implique d'après l'inégalité précédente que n*[a(n) -a(n+1)] > 0, donc a(n) > a(n+1) car n entier positif.

Donc la suite ((an)) est une suite monotone, décroissante et convergente.

https://image.noelshack.com/fichiers/2018/10/1/1520256134-risitasue2.png

Non non on veut montrer que Somme_n an converge.

C'est là que c > 1 va jouer.

À quel moment tu as parlé de somme ?

C'est ce que signifie le terme "la série des an".
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Série_(mathématiques)

Je vais corriger avec "la série de terme général an"

Le 11 mai 2021 à 20:29:30 :
Je réponds à ma question

7 : AntoineForum joue aux dés avec Dextre. Dextre commence. S’il fait un 6, il gagne et la partie s'arrête. Sinon c'est à AntoineForum de jouer. S’il fait 6 il gagne et la partie s'arrête. Sinon Dextre reprend la main et ainsi de suite.
Quelle est la probabilité que AntoineForum gagne la partie ?

La probabilité est de 1/7 (ou 6/36)
Sur un dé à 6 faces en tout cas

Probabilités paradoxales

J’espère que tu Troll

Pour la 6, on dénombre nos cas.
Cas 1 : je change de porte
Sous cas 1 : j'ai choisi la bonne porte, avec proba 1/3. Dans ce cas je gagne 0.
Sous cas 2 : j'ai choisi une mauvaise porte avec proba 2/3. Sachant que la mauvaise porte que je n'ai pas choisie est révélée, je switche obligatoirement vers la bonne porte. J'ai donc un gain de 1

Cas 2 : je ne change pas de porte
Sous cas 1 : j'ai choisi la bonne porte avec proba 1/3 : dans ce cas je gagne 1
Sous cas 2 : j'ai choisi une mauvaise porte avec proba 2/3, dans ce cas je gagne 0

L'espérance du cas 1 vaut 2/3 : 0.33 * 0 + 0.666 * 1
L'espérance du cas 2 vaut 1/3

Donc changer de porte est préférable.

Est-ce que j’ai raison l’op ?

Pour la question sur Dextre et Antoineforum.

On note Xn la variable aléatoire représentant le résultat du n-ième lancer, et Y la variable aléatoire représentant l'indice du premier lancer qui fait 6.

On a P(Xn = 6) = 1/6 pour un dé supposé équilibré.

Donc, pour n fixé, on a P(Y = n) = P(X1 < 6 et X2 < 6 ... et Xn-1 < 6 et Xn =6) = (5/6)^(n-1) x 1/6.

La probabilité notée PA qu'AntoineForum gagne la partie est égale à la somme des P(Y = 2n), pour n allant de 1 à +infini.

Donc PA = 1/6 x [(5/6)^1 + (5/6)^3 + ... ] = 5/36 x [1 + (25/36) + (25/36)^2 + ... ] = (5/36) X [1/(1 - 25/36)] = 5/36 x 36/11 = 5/11.

Conclusion : la probabilité recherchée vaut 5/11.

En fait t'as une manière beaucoup plus rapide de résoudre le problème : il suffit de remarquer que PA = 5/6 PD et PA + PD = 1, donc PA = 5/6 x (1-PA), donc 11/6 PA = 5/6, d'où PA = 5/11.

pour la 1 je dirais 8

Le 11 mai 2021 à 21:03:12 :
pour la 1 je dirais 8

edit je me suis trompé plutôt 5

Vu que la fonction ln est bijective on a qu'une seule valeur de y pour chaque valeur de x

https://image.noelshack.com/fichiers/2021/19/2/1620762399-capture-d-ecran-2021-05-11-a-20-43-03.png

Le 11 mai 2021 à 21:54:04 :
https://image.noelshack.com/fichiers/2021/19/2/1620762399-capture-d-ecran-2021-05-11-a-20-43-03.png

Ce mec il a fait maths sup ça se voit

Le 11 mai 2021 à 20:49:03 :
Pour la question sur Dextre et Antoineforum.

On note Xn la variable aléatoire représentant le résultat du n-ième lancer, et Y la variable aléatoire représentant l'indice du premier lancer qui fait 6.

On a P(Xn = 6) = 1/6 pour un dé supposé équilibré.

Donc, pour n fixé, on a P(Y = n) = P(X1 < 6 et X2 < 6 ... et Xn-1 < 6 et Xn =6) = (5/6)^(n-1) x 1/6.

La probabilité notée PA qu'AntoineForum gagne la partie est égale à la somme des P(Y = 2n), pour n allant de 1 à +infini.

Donc PA = 1/6 x [(5/6)^1 + (5/6)^3 + ... ] = 5/36 x [1 + (25/36) + (25/36)^2 + ... ] = (5/36) X [1/(1 - 25/36)] = 5/36 x 36/11 = 5/11.

Conclusion : la probabilité recherchée vaut 5/11.

T'as tapé ton pseudo dans la fonction recherche ?

Le 11 mai 2021 à 22:09:16 :

Le 11 mai 2021 à 20:49:03 :
Pour la question sur Dextre et Antoineforum.

On note Xn la variable aléatoire représentant le résultat du n-ième lancer, et Y la variable aléatoire représentant l'indice du premier lancer qui fait 6.

On a P(Xn = 6) = 1/6 pour un dé supposé équilibré.

Donc, pour n fixé, on a P(Y = n) = P(X1 < 6 et X2 < 6 ... et Xn-1 < 6 et Xn =6) = (5/6)^(n-1) x 1/6.

La probabilité notée PA qu'AntoineForum gagne la partie est égale à la somme des P(Y = 2n), pour n allant de 1 à +infini.

Donc PA = 1/6 x [(5/6)^1 + (5/6)^3 + ... ] = 5/36 x [1 + (25/36) + (25/36)^2 + ... ] = (5/36) X [1/(1 - 25/36)] = 5/36 x 36/11 = 5/11.

Conclusion : la probabilité recherchée vaut 5/11.

T'as tapé ton pseudo dans la fonction recherche ?

Ou bien il a tapé "math"

Pour le 1 il faut que x^y = y^x c'est à dire que les deux ont les mêmes facteurs premiers
Pour x = 0 il n'y a pas de solution car 0 =/= 1
Or Pour tout entier a et tout entier n : F(a^n) = F(a] avec F(a) l'ensemble des facteurs premiers de a
Donc x et y ont les mêmes facteurs premiers => y est une puissance de x (j'ai pris ça arbitrairement)
Donc y = x^k avec k un entier
x^(x^k) = (x^k)^x = x^kx
x^k = kx

Je me suis arrêté là
Je suis en terminal donc me frappez pashttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/07/4/1613639007-risichauve.png

1 : On note Pow(n,a) l'élévation à la puissance a de l'entier n. Par exemple Pow(2,4) = 16 et Pow(3,2) = 9. Combien existe-t-il de couples d'entiers (x,y) tels que Pow(x,y) = Pow(y,x), avec x compris entre 0 et 5 ?

x^y = y^x

=>y≠0, (y^x/y)=x

=> x≠0, y≠0, y^(1/y)=x^1/x

=> x≠0, 1/y ln(y)=1/x ln(x)

=>y≠0, x≠0, ln(y)/y = ln(x)/x

1ères solutions : x E [0,5], y=x (le cas (0,0) convient)
2ème solution : x pair, x=2
On remarque que y=4 convient.
2bis: (4,2) convient

Synthèse : 1er cas : x=y, x^y = y^x
2 et 2bis : x=2, y=4, 2^4 = 4^2 convient également

Il y a donc 8 couples solutions (dans le cas où a reste un entier)

Pour le 7
On représente la situation avec un arbre récursif
La proba que Antoine gagne est G = 5/6 * 1/6 + 5/6 * 5/6 * G <=> G = 5/11