Dans ce cas la médiane des N températures proposées par les employés va être l'une des températures proposées.
Si tu es un employé, il y a alors 3 possibilités :
-Tu penses que ta température idéale est égale à la médiane des températures qui vont être proposées par les employés. Dans ce cas bah tu n'as aucun intérêt à mentir, c'est génial pour toi.
-Tu penses que ta température idéale est inférieure à cette famosa médiane. Dans ce cas malheureusement tu ne peux rien faire pour diminuer la médiane : si tu écris sur ton papier une température plus basse que celle qui t'arrange vraiment, ça n'a aucun impact sur la valeur de la médiane. Et si tu écris sur ton papier une température plus haute que celle qui t'arrange vraiment, tu vas potentiellement augmenter la valeur de la médiane, ce que tu ne souhaites pas du tout faire !
(Bah oui, tu vas souhaiter minimiser l'écart entre la médiane et ta température idéale, à défaut de pouvoir garantir que cet écart vaut 0.)
-Tu penses que ta température idéale est supérieure à la famosa médiane. Dans ce cas c'est exactement le même problème que dans le cas précédent : tu n'as malheureusement aucun moyen de diminuer la médiane, si tu écris volontairement un chiffre très bas (-15000°) ça ne va pas changer la médiane et si tu écris volontairement un truc très élevé tu vas augmenter la valeur de la médiane ce qui n'est pas souhaitable.
===> Si N est impair les employés ont tous tout intérêt à être honnêtes.
La médiane va être égale à la moyenne entre la N/2 ème et la (N+2)/2 ème valeur de la liste.
Ici, commençons par remarquer sur un exemple simple qu'on peut avoir intérêt à mentir :
Si on imagine une situation à 2 employés, tu es le collègue de Jean-Igloo qui souhaite que le bureau ait une température de 10°. Toi tu souhaites que le bureau ait une température de 20°.
Tu as tout intérêt à ne pas écrire "20°" sur ton papier mais plutôt à écrire 30° (puisque la moyenne entre 30 et 10 donnera bien 20) ou même à écrire quelque chose de supérieur à 30° (puisque tu peux anticiper que Jean-Igloo va faire exprès d'écrire un chiffre plus petit que 10).
A quatre employés, voilà un exemple pour mieux comprendre ce qui se passe :
Vous estimez que les températures idéales des gens sont 1° ; 10° ; 100° ; 1000°. (médiane = 55°)
L'employé "1°" et l'employé "1000°" n'ont aucun intérêt à mentir, malheureusement pour eux. (La justif est la même que dans le cas "N impair").
Par contre l'employé "10°" pourrait mentir et écrire "2°" sur son papier par exemple, ce qui ferait un peu baisser la médiane...à l'inverse, l'employé "100°" peut mentir et écrire "200°" pour faire remonter la médiane.
Bref : certains employés (les deux du milieu de liste, ceux dont la valeur exacte de la température va être prise en compte dans le calcul de la médiane) ont intérêt à mentir.
Démonstration rigoureuse :
On note T1 , T2 , .... T(2k) les N températures idéales des employés, et T1' , ... T(2k)' les N températures qu'ils écriront sur leur papiers.
Comme on l'avait déjà expliqué dans le cas "N impair", si Ti est inférieur/supérieur à la médiane, l'employé i n'a aucun intérêt à mentir, donc Ti = Ti'.
SAUF si Ti est l'une des deux valeurs centrales de la liste ! Dans ce cas l'employé i a une marge de manœuvre ! Il peut faire donner à Ti' n'importe quelle valeur de l'intervalle [T(i-1) , T(i+1] qui l'arrange !
Donc s'il estime que la médiane est supérieure à Ti, il peut écrire Ti' < Ti, et s'il estime que la médiane est supérieure à Ti, il peut écrire Ti' > Ti .
===> Si N est pair deux des employés ont potentiellement intérêt à mentir. ("potentiellement" car cela va finalement dépendre des informations qu'ils ont réussi à récolter sur les préférences de leur collègues.) L'honnêteté des joueurs n'est donc PAS garantie.
j'espérais voir d'autres tentatives que la mienne)
