Singe-solide
2021-03-11 14:04:05
Si tu es dans R^n en gros la définition de fonction affine c'est que pour tout x, y dans ton ensemble de définition et pour tout t dans [0,1], tu as
f(tx + (1-t)y) = tf(x) + (1-t)f(y)
Prenons A un ensemble convexe, f(A) est-il convexe ?
Soit x' et y' dans f(A), on voudrait montre que pour tout t, tx' + (1-t)y' est dans f(A) (en gros le segment [x',y'] C f(A))
Par définition de f(A), il existe x, y dans A tel que x' = f(x) et y' = f(y)
Donc
tx' + (1-t)y
= tf(x) + (1-t)f(y)
= f(tx + (1-t)y)
Or A étant convexe, tx + (1-t)y appartient à A donc f(tx + (1-t)y) appartient à f(A)
On conclue que tx' + (1-t)y appartient à A
JeanNewbie
2021-03-11 14:16:26
Le 11 mars 2021 à 14:04:05 Singe-solide a écrit :
Si tu es dans R^n en gros la définition de fonction affine c'est que pour tout x, y dans ton ensemble de définition et pour tout t dans [0,1], tu as
f(tx + (1-t)y) = tf(x) + (1-t)f(y)
Prenons A un ensemble convexe, f(A) est-il convexe ?
Soit x' et y' dans f(A), on voudrait montre que pour tout t, tx' + (1-t)y' est dans f(A) (en gros le segment [x',y'] C f(A))
Par définition de f(A), il existe x, y dans A tel que x' = f(x) et y' = f(y)
Donc
tx' + (1-t)y
= tf(x) + (1-t)f(y)
= f(tx + (1-t)y)
Or A étant convexe, tx + (1-t)y appartient à A donc f(tx + (1-t)y) appartient à f(A)
On conclue que tx' + (1-t)y appartient à A
f(tx + (1-t)y) = tf(x) + (1-t)f(y) c'est la définition de fonction convexe. Une application affine c'est une fonction de la forma Ax + B avec A une application linéaire de Rn dans Rn et B un vecteur de Rn