Besoin d'AIDE en MATHS (Analyse, L2)

Soit g : R → R une fonction définie sur R, à valeurs réelles. On dira que g vérifie la propriété (P) s’il existe une constante B > 0 telle que pour tout x, y ∈ R, |g(x)−g(y)| ≤ B|x − y|.

Question : On suppose à partir de maintenant que g vérifie la propriété (P) avec une constante B < 1. Démontrer que si g a un point fixe (i.e. un point x0 ∈ R tel que g(x0) = x0), alors ce point fixe est unique.

Je ne vois pas du tout comment faire.

Imagine il y a plusieurs point fixe, tu vois pas un problème avec la première définition?

Tu prends x0 et x1 deux points fixes et tu montres que x0=x1 en utilisant ta propriété. C'est assez direct.

Ça fait 3.

Pas trop, non...

Applique juste le th des points fixes de Banach sur une application contractante

Le 14 février 2021 à 01:39:17 protokj a écrit :
Tu prends x0 et x1 deux points fixes et tu montres que x0=x1 en utilisant ta propriété. C'est assez direct.

Du coup j'ai |g(x0)−g(x1)| ≤ B|x0 − x1| et donc comme x0 et x1 sont des points fixes il vient : |x0 - x1| ≤ B|x0 − x1| ?

Le 14 février 2021 à 01:42:19 BoostedBeast a écrit :
Applique juste le th des points fixes de Banach sur une application contractante

What ?

J'ai l'impression de lire du chinois donc non je ne peux pas t'aider

Le 14 février 2021 à 01:43:50 Gatling456 a écrit :
J'ai l'impression de lire du chinois donc non je ne peux pas t'aider

Ce n'est pas grave, merci d'être passé quand même !

Le 14 février 2021 à 01:42:42 Pandava a écrit :

Le 14 février 2021 à 01:39:17 protokj a écrit :
Tu prends x0 et x1 deux points fixes et tu montres que x0=x1 en utilisant ta propriété. C'est assez direct.

Du coup j'ai |g(x0)−g(x1)| ≤ B|x0 − x1| et donc comme x0 et x1 sont des points fixes il vient : |x0 - x1| ≤ B|x0 − x1| ?

Je fais quoi après ?

Si x0 et x1 sont deux points fixes, alors f(x0)=x0, f(x1)=x1. Donc |f(x0)-f(x1)| ≤ B|x0-x1|, parce que l'application est B-lipschitzienne, et comme x0 et x1 sont points fixes, alors |x0-x1| ≤ B|x0-x1|.
Si on suppose x0 différent de x1, alors t'obtiens 1≤B ce qui est une contradiction, donc x0=x1.

La propriété P d'ailleurs si tu sais pas ce que c'est, ça s'appelle une application lipschitzienne de rapport B. Si B<1 on dit que f est contractante et dans un espace métrique (un ensemble muni d'une distance), une application contractante a toujours un unique point fixe (théorème du point fixe).

Compare la valeur de B dans l’énoncé et celle que tu obtiens après le calcul

Le 14 février 2021 à 01:46:01 kimerafusion a écrit :
Si x0 et x1 sont deux points fixes, alors f(x0)=x0, f(x1)=x1. Donc |f(x0)-f(x1)| ≤ B|x0-x1|, parce que l'application est B-lipschitzienne, et comme x0 et x1 sont points fixes, alors |x0-x1| ≤ B|x0-x1|.
Si on suppose x0 différent de x1, alors t'obtiens 1≤B ce qui est une contradiction, donc x0=x1.

La propriété P d'ailleurs si tu sais pas ce que c'est, ça s'appelle une application lipschitzienne de rapport B. Si B<1 on dit que f est contractante et dans un espace métrique (un ensemble muni d'une distance), une application contractante a toujours un unique point fixe (théorème du point fixe).

Merci kheyou ! J'étais en bonne voie en vrai !

Le 14 février 2021 à 01:46:01 kimerafusion a écrit :
Si x0 et x1 sont deux points fixes, alors f(x0)=x0, f(x1)=x1. Donc |f(x0)-f(x1)| ≤ B|x0-x1|, parce que l'application est B-lipschitzienne, et comme x0 et x1 sont points fixes, alors |x0-x1| ≤ B|x0-x1|.
Si on suppose x0 différent de x1, alors t'obtiens 1≤B ce qui est une contradiction, donc x0=x1.

La propriété P d'ailleurs si tu sais pas ce que c'est, ça s'appelle une application lipschitzienne de rapport B. Si B<1 on dit que f est contractante et dans un espace métrique (un ensemble muni d'une distance), une application contractante a toujours un ua​ime point fixe (théorème du point fixe).

Premier ingésclavehttps://image.noelshack.com/fichiers/2020/52/6/1608985783-ahi-triangle.png

Édit: tu obtiens 1<B
L’énoncé te dit B<1 donc contradiction

Putain j'avais pas vu les valeurs absolues autour des g(x). Je suis vraiment devenue une grosse merde en maths

Le 14 février 2021 à 01:48:29 Aldolase_ a écrit :

Le 14 février 2021 à 01:46:01 kimerafusion a écrit :
Si x0 et x1 sont deux points fixes, alors f(x0)=x0, f(x1)=x1. Donc |f(x0)-f(x1)| ≤ B|x0-x1|, parce que l'application est B-lipschitzienne, et comme x0 et x1 sont points fixes, alors |x0-x1| ≤ B|x0-x1|.
Si on suppose x0 différent de x1, alors t'obtiens 1≤B ce qui est une contradiction, donc x0=x1.

La propriété P d'ailleurs si tu sais pas ce que c'est, ça s'appelle une application lipschitzienne de rapport B. Si B<1 on dit que f est contractante et dans un espace métrique (un ensemble muni d'une distance), une application contractante a toujours un ua​ime point fixe (théorème du point fixe).

Premier ingésclavehttps://image.noelshack.com/fichiers/2020/52/6/1608985783-ahi-triangle.png

Sry je suis full topologie in the head j'ai pas pu me retenir

Le 14 février 2021 à 01:49:51 kimerafusion a écrit :

Le 14 février 2021 à 01:48:29 Aldolase_ a écrit :

Le 14 février 2021 à 01:46:01 kimerafusion a écrit :
Si x0 et x1 sont deux points fixes, alors f(x0)=x0, f(x1)=x1. Donc |f(x0)-f(x1)| ≤ B|x0-x1|, parce que l'application est B-lipschitzienne, et comme x0 et x1 sont points fixes, alors |x0-x1| ≤ B|x0-x1|.
Si on suppose x0 différent de x1, alors t'obtiens 1≤B ce qui est une contradiction, donc x0=x1.

La propriété P d'ailleurs si tu sais pas ce que c'est, ça s'appelle une application lipschitzienne de rapport B. Si B<1 on dit que f est contractante et dans un espace métrique (un ensemble muni d'une distance), une application contractante a toujours un ua​ime point fixe (théorème du point fixe).

Premier ingésclavehttps://image.noelshack.com/fichiers/2020/52/6/1608985783-ahi-triangle.png

Sry je suis full topologie in the head j'ai pas pu me retenir

Quellent saucent avec ta topologient ?https://image.noelshack.com/fichiers/2016/50/1481994659-mathematicienrisitas.png

Le 14 février 2021 à 01:45:27 Pandava a écrit :

Le 14 février 2021 à 01:42:42 Pandava a écrit :

Le 14 février 2021 à 01:39:17 protokj a écrit :
Tu prends x0 et x1 deux points fixes et tu montres que x0=x1 en utilisant ta propriété. C'est assez direct.

Du coup j'ai |g(x0)−g(x1)| ≤ B|x0 − x1| et donc comme x0 et x1 sont des points fixes il vient : |x0 - x1| ≤ B|x0 − x1| ?

Je fais quoi après ?

N'oublie pas que B <1