[MATHS] L'utilité de l'intégrale de Lebesgue

Donc si j'ai bien compris je suis entrain de me taper toute la théorie de la mesure uniquement pour pouvoir intégré des fonctions étagées ?

(En plus par rapport à l'intégrale de Riemann)

Toutes les fonctions que tu peux imaginer sont Lebesgue-intégrables. De plus, les théorèmes sont beaucoup plus puissants pour Lebesgue et demande beaucoup moins d'hypothèses que leur version Riemann-intégrable.

Le 31 décembre 2020 à 18:05:33 Sureminence a écrit :
Toutes les fonctions que tu peux imaginer sont Lebesgue-intégrables. De plus, les théorèmes sont beaucoup plus puissants pour Lebesgue et demande beaucoup moins d'hypothèses que leur version Riemann-intégrable.

Toutes les fonctions sont Lebesgue-intégrables? J'ai du mal comprendre une partie du cours car pour moi pour qu'elle soit intégrable il faut que l'intégrale < inf donc ça restreint pas mal

Après oui il y a la notion de presque partout qui est pas mal et qui permet de se simplifier la vie

Le 31 décembre 2020 à 18:08:18 Tausendjahriges a écrit :

Le 31 décembre 2020 à 18:05:33 Sureminence a écrit :
Toutes les fonctions que tu peux imaginer sont Lebesgue-intégrables. De plus, les théorèmes sont beaucoup plus puissants pour Lebesgue et demande beaucoup moins d'hypothèses que leur version Riemann-intégrable.

Toutes les fonctions sont Lebesgue-intégrables? J'ai du mal comprendre une partie du cours car pour moi pour qu'elle soit intégrale il faut que l'intégrale < inf donc ça restreint pas mal

Cela dépend ce que tu entends pas 'intégrables". Typiquement, pour une fonction positive, il n'y a jamais de problèmes car on autorise l'intégrale à valoir +oo, elle "converge" dans R barre. Ainsi, un théorème de Fubini s'applique toujours pour des fonctions positives, quitte à avoir une égalité +oo = +oo.

Le 31 décembre 2020 à 18:10:28 Sureminence a écrit :

Le 31 décembre 2020 à 18:08:18 Tausendjahriges a écrit :

Le 31 décembre 2020 à 18:05:33 Sureminence a écrit :
Toutes les fonctions que tu peux imaginer sont Lebesgue-intégrables. De plus, les théorèmes sont beaucoup plus puissants pour Lebesgue et demande beaucoup moins d'hypothèses que leur version Riemann-intégrable.

Toutes les fonctions sont Lebesgue-intégrables? J'ai du mal comprendre une partie du cours car pour moi pour qu'elle soit intégrale il faut que l'intégrale < inf donc ça restreint pas mal

Cela dépend ce que tu entends pas 'intégrables". Typiquement, pour une fonction positive, il n'y a jamais de problèmes car on autorise l'intégrale à valoir +oo, elle "converge" dans R barre. Ainsi, un théorème de Fubini s'applique toujours pour des fonctions positives, quitte à avoir une égalité +oo = +oo.

Je vais revoir mon cours sur les intégrales de fonctions positives car c'est la première fois qu'on me dit ça

Ok donc si j'ai bien compris pour une fonction a valeur dans R+ barre il suffit qu'elle soit mesurable pour être intégrable tandis quand dans R tout court il faut que l'intégrale soit finie

Le 31 décembre 2020 à 18:31:43 Tausendjahriges a écrit :
Ok donc si j'ai bien compris pour une fonction a valeur dans R+ barre il suffit qu'elle soit mesurable pour être intégrable tandis quand dans R tout court il faut que l'intégrale soit finie

Non il faut que l'intégrale de f+ et de f- soient toutes deux finies (parties positives et négatives de f) pour qu'elle soit intégrable.

On en a besoin pour pallier aux insuffisances de l'intégrale de riemann. Si tu fais des probabilités continues sans théorie de la mesure c'est compliqué par exemple
Après en pratique tu peux utiliser les outils à la physicienne sans te farcir toute la théorie, mais clairement c'est tout sauf inutile

Le 31 décembre 2020 à 18:33:05 canalisation2 a écrit :

Le 31 décembre 2020 à 18:31:43 Tausendjahriges a écrit :
Ok donc si j'ai bien compris pour une fonction a valeur dans R+ barre il suffit qu'elle soit mesurable pour être intégrable tandis quand dans R tout court il faut que l'intégrale soit finie

Non il faut que l'intégrale de f+ et de f- soient toutes deux finies (parties positives et négatives de f) pour qu'elle soit intégrable.

Le 31 décembre 2020 à 18:33:42 treg2 a écrit :

Le 31 décembre 2020 à 18:31:43 Tausendjahriges a écrit :
Ok donc si j'ai bien compris pour une fonction a valeur dans R+ barre il suffit qu'elle soit mesurable pour être intégrable tandis quand dans R tout court il faut que l'intégrale soit finie

Intégrable = intégrale inférieur à +inifni et tu peux etre mesurable et avoir une intégrale qui diverge

Oui j'ai oublié la valeur absolue mais c'est ce que j'avais en tête

Dans la définition des intégrales de fonctions à valeur dans R+ barre on autorise l'intégrale à valoir l'infini

Le 31 décembre 2020 à 18:05:33 Sureminence a écrit :
Toutes les fonctions que tu peux imaginer sont Lebesgue-intégrables. De plus, les théorèmes sont beaucoup plus puissants pour Lebesgue et demande beaucoup moins d'hypothèses que leur version Riemann-intégrable.

Bah sin(x)/x est pas plus intégrable au sens de lebesgues qu'au sens de riemann

C'est tout bénef lebesgue, c'est plus général et t'as des théorèmes plus simples. Exit les théorèmes d'intervention hyper casses couilles de prépa

C'est antoine forum qui l'a créé cette intégrale ?

Le 31 décembre 2020 à 18:35:05 Tausendjahriges a écrit :

Le 31 décembre 2020 à 18:33:05 canalisation2 a écrit :

Le 31 décembre 2020 à 18:31:43 Tausendjahriges a écrit :
Ok donc si j'ai bien compris pour une fonction a valeur dans R+ barre il suffit qu'elle soit mesurable pour être intégrable tandis quand dans R tout court il faut que l'intégrale soit finie

Non il faut que l'intégrale de f+ et de f- soient toutes deux finies (parties positives et négatives de f) pour qu'elle soit intégrable.

Le 31 décembre 2020 à 18:33:42 treg2 a écrit :

Le 31 décembre 2020 à 18:31:43 Tausendjahriges a écrit :
Ok donc si j'ai bien compris pour une fonction a valeur dans R+ barre il suffit qu'elle soit mesurable pour être intégrable tandis quand dans R tout court il faut que l'intégrale soit finie

Intégrable = intégrale inférieur à +inifni et tu peux etre mesurable et avoir une intégrale qui diverge

Oui j'ai oublié la valeur absolue mais c'est ce que j'avais en tête

Dans la définition des intégrales de fonctions à valeur dans R+ barre on autorise l'intégrale à valoir l'infini

ouais ok pas de souci si tu te places dans R+ prolongé de l'infini mais en théorie intégrable la définition cest dont la valeur abs a une int finie. tu la calcules, si elle vaut +infini elle est definie dans R+ barre

Le gros problème de l'intégrale de Riemann est le passage à la limite dans les suites de fonctions. Une suite de fonctions Riemann intégrable peut converger vers une fonction non intégrable, par exemple les indicatrices des n premiers rationnels sont intégrables (d'intégrale nulle) mais la fonction de Dirichlet ne l'est pas. Les principaux théorèmes de l'intégrale de Lebesgue (convergence monotone etc) donnent un avantage à cette intégrale par rapport à celle de Riemann

C'est beaucoup plus agréable de travailler avec la théorie de Lebesgue que sous celle de Riemann

D'ailleurs dans mon cours le prof n'utilise jamais le terme "intégrable" pour les fonctions à valeur dans R+ barre il dit seulement mesurable

J'en profite tant que des kheys chaud en maths sont là, quelqu'un peut m'expliquer concrètement ce qu'est une variable aléatoire et une loi de proba svp

Le 31 décembre 2020 à 18:40:16 Tausendjahriges a écrit :
D'ailleurs dans mon cours le prof n'utilise jamais le terme "intégrable" pour les fonctions à valeur dans R+ barre il dit seulement mesurable

Toutes les fonctions mesurables positives sont intégrables

Le 31 décembre 2020 à 18:37:23 treg2 a écrit :

Le 31 décembre 2020 à 18:35:05 Tausendjahriges a écrit :

Le 31 décembre 2020 à 18:33:05 canalisation2 a écrit :

Le 31 décembre 2020 à 18:31:43 Tausendjahriges a écrit :
Ok donc si j'ai bien compris pour une fonction a valeur dans R+ barre il suffit qu'elle soit mesurable pour être intégrable tandis quand dans R tout court il faut que l'intégrale soit finie

Non il faut que l'intégrale de f+ et de f- soient toutes deux finies (parties positives et négatives de f) pour qu'elle soit intégrable.

Le 31 décembre 2020 à 18:33:42 treg2 a écrit :

Le 31 décembre 2020 à 18:31:43 Tausendjahriges a écrit :
Ok donc si j'ai bien compris pour une fonction a valeur dans R+ barre il suffit qu'elle soit mesurable pour être intégrable tandis quand dans R tout court il faut que l'intégrale soit finie

Intégrable = intégrale inférieur à +inifni et tu peux etre mesurable et avoir une intégrale qui diverge

Oui j'ai oublié la valeur absolue mais c'est ce que j'avais en tête

Dans la définition des intégrales de fonctions à valeur dans R+ barre on autorise l'intégrale à valoir l'infini

ouais ok pas de souci si tu te places dans R+ prolongé de l'infini mais en théorie intégrable la définition cest dont la valeur abs a une int finie. tu la calcules, si elle vaut +infini elle est definie dans R+ barre

Non. Ce n'est pas forcément la valeur absolue qui doit être une fonction mesurable positive. Toute la théorie fonctionne très bien avec des fonctions à valeurs dans un espace de Banach presque quelconque à la place d'un corps valué et une application à valeurs dans R+ qui a certaines propriétés minimales à la place de la norme ou du module. C'est une généralisation de l'intégration usuelle au sens de Bochner.

Le 31 décembre 2020 à 18:40:49 Belzeborg a écrit :

Le 31 décembre 2020 à 18:40:16 Tausendjahriges a écrit :
D'ailleurs dans mon cours le prof n'utilise jamais le terme "intégrable" pour les fonctions à valeur dans R+ barre il dit seulement mesurable

Toutes les fonctions mesurables positives sont intégrables

Non. La R-forme linéaire d'intégration ne s'étend pas de manière unique à R+ U {inf}