[Maths] On révise l'agreg entre kheys

vous avez des exemples de polynome irréductibles dans Z/pZ[X] d'un degré quelconque ?https://image.noelshack.com/fichiers/2017/39/3/1506524542-ruth-perplexev2.png

ça sert notamment à avoir des corps de cardinal p^n pour n quelconque, à savoir (Z/pZ[X])/(P) où P est le polynome irréductible de degré n.

up les clé

Je ne sais pas comment en trouver explicitement mais je sais montrer qu'ils existent.

Le 22 juin 2022 à 18:54:12 :
vous avez des exemples de polynome irréductibles dans Z/pZ[X] d'un degré quelconque ?https://image.noelshack.com/fichiers/2017/39/3/1506524542-ruth-perplexev2.png

ça sert notamment à avoir des corps de cardinal p^n pour n quelconque, à savoir (Z/pZ[X])/(P) où P est le polynome irréductible de degré n.

Voici une construction:
Soit q un nombre premier impair, et a un générateur de (Z/qZ)*. Par le théorème de Dirichlet, il existe une infinité de nombres premiers p tels que p=a mod q.
On considère le polynôme cyclotomique phi_q(X) de Z[X]. Alors phi_q(X) est irréductible mod p:
Si jamais phi_q(X) n'est pas irréductible, phi_q(X) a un facteur irréductible Q(X) de degré d<q/2<q-1.
Donc comme Z/pZ[X]/(Q) est isomorphe au corps fini F à p^d éléments, phi_q(X) a une racine sur F. Les racines de phi_q sur un corps K correspondent aux éléments de K* d'ordre q, donc il existe un élément d'ordre q dans F*, et donc q divise p^d-1, ce qui contredit p d'ordre q-1 mod q.

On peut aussi construire des suites de polynômes irréductibles par composition:
https://www.researchgate.net/publication/220638305_The_Explicit_Construction_of_Irreducible_Polynomials_over_Finite_Fields

Dans la première construction, on fixe le degré q et on trouve une infinité de Z/pZ où le polynôme est encore irréductible, dans la deuxième construction, on fixe le Z/pZ et on trouve une infinité de degrés q où on construit un polynôme irréductible explicite de degré q. Je crois que pour p et q quelconque on ne sait pas donner une formule.

je n'ai pas bien compris ce qu'était F

Le 23 juin 2022 à 12:24:35 :
je n'ai pas bien compris ce qu'était F

F c'est (Z/pZ[X])/(Q), qui est isomorphe au corps fini à p^d éléments.

j'ai un peu du mal à comprendre

pourquoi est-ce que si l'on prend une racine n-ième primitive de l'unité, alors on peut trouver toutes les autres racine primitives nième de l'unité (il suffit de la mettre à une puissance qui est un nombre premier à n)?

c dans le développement sur l'irréductibilité des polynomes cyclotomiques dans Q[X] (dans Z[X] aussi psk c unitaire)
https://agreg-maths.fr/developpements/101

uppent ent ent ent

Le 30 juin 2022 à 11:35:36 :
pourquoi est-ce que si l'on prend une racine n-ième primitive de l'unité, alors on peut trouver toutes les autres racine primitives nième de l'unité (il suffit de la mettre à une puissance qui est un nombre premier à n)?

C'est exactement pour ça oui, tu peux faire avec Bézout peut-être, je sais plus. En tout cas bosse ce développement à fond, il est très classique pour l'agreg et se recase dans beaucoup de leçons

La preuve est dans le Perrin mais elle est expédiée en une petite page, donc connait la sur le bout des doigts.

Et gaffe a la "division euclidienne" dans Z[X] les arguments doivent être clairs, c'est principalement la dessus qu'on t'attends.