[MATHS] Je réponds à vos QUESTIONS

Le 11 août 2022 à 16:06:49 :
Bonjour, et déjà merci pour les réponses de qualité apportées; j’ai 2 questions :
Tu connais un site qui traite l’avancée des problèmes du millénaire ? C’est à dire pour savoir où on en est, si des progrès significatifs sont faits, etc.

Tu peux aller sur le site officiel, où ils disent lesquels sont résolus et quels critères ils observent pour déclarer un problème résolu :
https://www.claymath.org/millennium-problems

Ils ne parlent pas des avancées partielles. Les 6 problèmes restants devraient résister quelques temps, il n'y a pas eu à ma connaissance d'avancées partielles si fortes qu'on se dit "tel problème devrait être résolu dans quelques années".

Combien de temps ? Très dur à dire, honnêtement. Par défaut, je ne m'attends pas à voir Riemann ni P=NP résolus de mon vivant, et n'ai pas d'avis sur les autres. Mais j'en sais rien, surtout.

Est ce que toi même tu t’es déjà penché sur ces questions et penses tu honnêtement que l’on arrivera à les résoudre ce siècle ou plus tard ? Et est ce que cela nous fera vraiment avancer dans les maths et dans des trucs importants (à part le P=NP je vois pas trop)

https://image.noelshack.com/fichiers/2017/12/1490533266-pave-cesar.png

Je ne me suis pas penché dessus. Il est généralement déconseillé de se pencher dessus de manière frontale. Si on s'intéresse à de grandes questions, mieux vaut contribuer au sujet général où la question s'inscrit. A force d'accumuler des contributions au sujet général, il peut arriver qu'on tombe sur une idée fondamentalement nouvelle et puissante : c'est seulement lorsque cela survient que ça vaut le coup de sérieusement regarder si cette idée peut ouvrir la serrure d'un problème-clé.

Quant à "est-ce que ça fera avancer les maths ?", la réponse est oui, mais plus à la façon d'un phare que d'un outil qu'on applique. J'entends par là que ça fait avancer au sens du paragraphe précédent : motivés par un problème général qui donne du relief à un domaine, les mathématiciens contribuent au domaine, le font avancé. C'est l'avancée du domaine qui mènera à la résolution du problème, plus que l'inverse.

Parce que par exemple, pour Riemann et P=NP, il y a déjà plein de théorèmes du genre "Si P différent de NP, alors ..." ou "Si l'hypothèse de Riemann est vraie, alors ...". Démontrer l'hypothèse de Riemann ou P différent de NP, certes, transformera plein de théorèmes conditionnels en des théorèmes inconditionnels. Mais bon, si on est intimement très fort convaincus que l'hypothèse de Riemann ou P différent de NP est vrai, on n'est pas si viscéralement dérangés par le fait de travailler avec des résultats conditionnels. L'apport principal réside principalement non pas dans le fait que le problème soit résolu mais dans les outils développés pour le résoudre.

Si P = NP, puisque c'est inattendu, là ça aurait des conséquences par contre. Mais la conséquence principale viendrait à nouveau de la démonstration, qui permettrait probablement de fournir des algorithmes efficaces aux hackers et poserait des problèmes de cybersécurité.

Bref, oui, réfléchir autour des problèmes du millénaire (et d'autres problèmes aussi d'ailleurs), ça fait avancer les maths.

Est-ce que ça fait avancer sur des trucs importants ? Il faut définir important. Important à l'intérieur des maths, oui. En dehors... P = NP servirait en informatique et Yang-Mills en physique théorique.

Après, y a généralement pas de miracle. Si tu veux contribuer à un sujet, c'est à ce sujet qu'il faut contribuer. Si tu considères par exemple que ce qui importe pour toi est [tel sujet], c'est là-dedans que tu dois concentrer tes efforts. Pour faire des maths, il faut que tu aies envie de faire des maths. Si tu veux contribuer à la physique / écologie / sauver des vies, tu dois faire de la physique / écologie / sauver des vies.

Je trouve toujours un peu bizarre de vouloir relier à tout prix les différents domaines, à dire "ah oui, les maths servent à blablabla". Si blablabla est la motivation fondamentale, alors tu choisis de consacrer ta vie à blablabla et tu choisiras à chaque instant l'outil le plus efficace, qu'il soit mathématique, informatique, politique, économique, osef. Si quelqu'un définit son activité comme mathématique, alors c'est qu'il a choisi de faire des maths, que telle est sa priorité (et une utilité éventuelle ne vient que pour des histoires de légitimité, de financement ou de récit autovalorisant). Vouloir faire une activité donnée (ici les maths) n'est pas en soi un problème, mais autant que ce soit assumé plutôt que du "make the world a better place" à tire larigot. Améliorer le monde, c'est super, mais ne prétendons pas que telle est notre fonction si tel n'est pas le cas.

Bref, distinguer le "important" interne aux maths et les "importants" proposés par d'autres sphères (société ; physique ; etc.).

Le 11 août 2022 à 16:07:04 :

Le 11 août 2022 à 15:58:34 :

Le 11 août 2022 à 15:54:04 :

Le 11 août 2022 à 15:49:16 :

Le 11 août 2022 à 15:42:41 :

Le 11 août 2022 à 15:38:13 :

Le 11 août 2022 à 15:34:43 :

Le 11 août 2022 à 15:32:55 :

Le 11 août 2022 à 15:31:59 :
T'as 130 de QI ?https://image.noelshack.com/fichiers/2022/01/7/1641755884-beluga2.jpeg

+130 cm, oui bien sûrhttps://image.noelshack.com/fichiers/2022/01/7/1641755884-beluga2.jpeg

Moyenne basse je compatis.https://image.noelshack.com/fichiers/2022/01/7/1641755884-beluga2.jpeg

On ne peut d'une minoration d'une longueur déduire aucune majorationhttps://image.noelshack.com/fichiers/2022/01/7/1641755884-beluga2.jpeg

Ba si les statistiques le disent tu l'expliques comment igoENT ?https://image.noelshack.com/fichiers/2022/01/7/1641755884-beluga2.jpeg

Si je te dis que la quantité d'intérêt est +130 cm, elle peut valoir 131 comme 6542365

Déjà qu'est ce qu'une quantité d'intérêt ? Et si 130 cm est inférieur à la moyenne d'un échantillon je ne vois pas en quoi c'est faux.https://image.noelshack.com/fichiers/2022/01/7/1641755884-beluga2.jpeg

La quantité intéressant le forum est traditionnellement la taille du Z. J'ai basculé du QI vers cette quantité pour esquiver ta question, jugée trop perso

Ce que je dis, c'est que si je dis "J'ai un Z d'au moins 130 cm" et que tu dis "Ton Z est dans la moyenne basse car la moyenne vaut 180 cm", je dis que tu ne peux pas l'affirmer car mon affirmation est compatible avec le scénario où il fait 210 cm.

T'avais pas dit au moins clé .https://image.noelshack.com/fichiers/2022/01/7/1641755884-beluga2.jpeg

J'avais écrit +130 mais je conviens que la signification associée à ce + n'avait pas été explicitéehttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/44/4/1636066071-ronaldo-tison-lunettes.png

Concernant la réf sur les topos, je voulais flécher vers la playlist et pas juste la vidéo.

Tu penses que tout le monde est capable d'en arriver là où tu es avec de la passion et de la motivation ou faut un truc en plus ?

Le 11 août 2022 à 19:05:27 :
Tu penses que tout le monde est capable d'en arriver là où tu es avec de la passion et de la motivation ou faut un truc en plus ?

Je ne sais pas trop. En vérité, je pense qu'on peut aller loin avec de la motivation et du travail, mais il y a probablement aussi une part qui dépend de capacités innées. Mais il ne faut pas sous-estimer la puissance du travail mené selon des règles efficaces et pendant une grande durée : on voit souvent des personnes brillantes se faire doubler par des personnes avec plus de difficultés initiales car les premières se sont reposées sur leurs lauriers et que les secondes ont travaillé avec constance.

Bref, je dirais que le travail bien fait et inscrit dans la durée est quelque chose qu'on peut difficilement surcoter, mais que ça ne fait probablement pas tout. Mais en un sens, osef : ce qui est important, ce n'est pas d'arriver là où j'en suis, où 2 km plus loin ou moins loin ; c'est d'aller de l'avant

Si on ne parle pas d'atteindre un niveau mathématique donné mais d'atteindre un métier donné (ici maître de conférence), alors la nature "concours" du recrutement fait que le travail sérieux ne peut pas suffire : si 20 personnes travaillent sérieusement mais qu'il n'y a que 5 postes, même en travaillant très très fort, ils n'auront pas tous un poste. Or la situation des recrutements en maths pures est, ces dernières années, dans ce type de déséquilibre.

Du coup on est d'accord qu'elle doit être vraie l'hypothèse de Riemann non ?

D'ailleurs, tu ne trouves pas la famille des fonctions L de Dirichlet comme des objets absolument magnifiques ? C'est en quelque sorte la description continue des atomes de notre arithmétique, ça a quand même un côté "magique".

Après c'est une question purement subjective

Le 11 août 2022 à 19:15:50 :
Du coup on est d'accord qu'elle doit être vraie l'hypothèse de Riemann non ?

D'ailleurs, tu ne trouves pas la famille des fonctions L de Dirichlet comme des objets absolument magnifiques ? C'est en quelque sorte la description continue des atomes de notre arithmétique, ça a quand même un côté "magique".

Après c'est une question purement subjective

Oui, l'hypothèse de Riemann est vraie. Elle a été vérifiée numériquement pour les millions de premiers zéros. Quand je dis vérifiée numériquement, c'est qu'elle a été vérifiée de manière exacte : on sait que leur partie réelle vaut précisément 1/2. En gros, pour vérifier ça, on calcule des résidus en estimant des intégrales. En renormalisant, on sait que ça vaut un entier qui compte le nombre de zéros enserrés. Si on contrôle l'erreur en la rendant strictement plus petite que 0.5, alors on sait précisément ce que vaut ce nombre, puisque c'est un entier. Il a ainsi été démontré que, jusque très très loin, on peut partitionner la bande critique de la fonction zêta en rectangles de largeur couvrant la bande et tels que chaque rectangle contienne précisément un zéro. Sauf que comme il y a une symétrie autour de Im=1/2 pour les zéros de zêta dans la bande, s'il y en a un par rectangle, il doit être sur la droite Im=1/2

D'un point de vue science expérimentale, c'est donc un résultat démontré au-delà de tout doute raisonnable. Par ailleurs, il y a pas mal d'heuristiques différentes et de théorèmes analogues dans d'autres domaines qui pointent tous dans le sens "ce doit être vrai".

Bref, pour moi, aucun doute, vraiment. Elle est vraie : la question est juste de savoir comment le démontrer, ou encore si c'est démontrable.

Les fonctions L semblent en effet un truc stylé. Je ne connais pas suffisamment pour apprécier pleinement mais ce que j'en ai touché était en effet assez cool

Autrement dit, elle est vraie et la question qui reste ouverte, c'est pourquoi.

Le 11 août 2022 à 19:23:15 :

Le 11 août 2022 à 19:15:50 :
Du coup on est d'accord qu'elle doit être vraie l'hypothèse de Riemann non ?

D'ailleurs, tu ne trouves pas la famille des fonctions L de Dirichlet comme des objets absolument magnifiques ? C'est en quelque sorte la description continue des atomes de notre arithmétique, ça a quand même un côté "magique".

Après c'est une question purement subjective

Oui, l'hypothèse de Riemann est vraie. Elle a été vérifiée numériquement pour les millions de premiers zéros. Quand je dis vérifiée numériquement, c'est qu'elle a été vérifiée de manière exacte : on sait que leur partie réelle vaut précisément 1/2. En gros, pour vérifier ça, on calcule des résidus en estimant des intégrales. En renormalisant, on sait que ça vaut un entier qui compte le nombre de zéros enserrés. Si on contrôle l'erreur en la rendant strictement plus petite que 0.5, alors on sait précisément ce que vaut ce nombre, puisque c'est un entier. Il a ainsi été démontré que, jusque très très loin, on peut partitionner la bande critique de la fonction zêta en rectangles de largeur couvrant la bande et tels que chaque rectangle contienne précisément un zéro. Sauf que comme il y a une symétrie autour de Im=1/2 pour les zéros de zêta dans la bande, s'il y en a un par rectangle, il doit être sur la droite Im=1/2

D'un point de vue science expérimentale, c'est donc un résultat démontré au-delà de tout doute raisonnable. Par ailleurs, il y a pas mal d'heuristiques différentes et de théorèmes analogues dans d'autres domaines qui pointent tous dans le sens "ce doit être vrai".

Bref, pour moi, aucun doute, vraiment. Elle est vraie : la question est juste de savoir comment le démontrer, ou encore si c'est démontrable.

Les fonctions L semblent en effet un truc stylé. Je ne connais pas suffisamment pour apprécier pleinement mais ce que j'en ai touché était en effet assez cool

La fonction zêta est le cas le plus simple de fonction L où le caractère de dirichlet est 1 pour tout n. L'autre cas "simple" c'est la fonction bêta qui est liée au caractère modulo 4. Ca devient une somme alternée des inverses des nombres impairs.

C'est sympa d'être précis khey mais tu prêches un convaincu

Par contre pour contre balancer un peu on sait estimer la présence d'un éventuel contre exemple à partir d'un certain rang, le problème c'est que ces rangs sont très au-delà de ce que l'on peut calculer.
Typiquement, il est attendu que le comportement typique dans la bande critique n'apparaisse qu'autours de valeurs inaccessibles aux meilleurs calculateurs. C'est la conséquence que ces phénomènes sont régis par des fonctions qui tendent vers l'infini de manière extrêmement lente. En particulier dans l'expression du nombre de zéro il y a un terme qui est S(t) et qu'on appelle l'argument de la fonction zêta. Ca agis comme une correction pour le nombre de zéros et cette fonction grandit très lentement. Si je dis pas de bêtise, la plus grande valeur de S(t) connue est 3 On sait pourtant que c'est bien une fonction qui tend vers l'infini mais très très lentement.

Sous RH S(t)=O(log(t)/log(log(t))

Le 11 août 2022 à 19:42:19 :

Le 11 août 2022 à 19:23:15 :

Le 11 août 2022 à 19:15:50 :
Du coup on est d'accord qu'elle doit être vraie l'hypothèse de Riemann non ?

D'ailleurs, tu ne trouves pas la famille des fonctions L de Dirichlet comme des objets absolument magnifiques ? C'est en quelque sorte la description continue des atomes de notre arithmétique, ça a quand même un côté "magique".

Après c'est une question purement subjective

Oui, l'hypothèse de Riemann est vraie. Elle a été vérifiée numériquement pour les millions de premiers zéros. Quand je dis vérifiée numériquement, c'est qu'elle a été vérifiée de manière exacte : on sait que leur partie réelle vaut précisément 1/2. En gros, pour vérifier ça, on calcule des résidus en estimant des intégrales. En renormalisant, on sait que ça vaut un entier qui compte le nombre de zéros enserrés. Si on contrôle l'erreur en la rendant strictement plus petite que 0.5, alors on sait précisément ce que vaut ce nombre, puisque c'est un entier. Il a ainsi été démontré que, jusque très très loin, on peut partitionner la bande critique de la fonction zêta en rectangles de largeur couvrant la bande et tels que chaque rectangle contienne précisément un zéro. Sauf que comme il y a une symétrie autour de Im=1/2 pour les zéros de zêta dans la bande, s'il y en a un par rectangle, il doit être sur la droite Im=1/2

D'un point de vue science expérimentale, c'est donc un résultat démontré au-delà de tout doute raisonnable. Par ailleurs, il y a pas mal d'heuristiques différentes et de théorèmes analogues dans d'autres domaines qui pointent tous dans le sens "ce doit être vrai".

Bref, pour moi, aucun doute, vraiment. Elle est vraie : la question est juste de savoir comment le démontrer, ou encore si c'est démontrable.

Les fonctions L semblent en effet un truc stylé. Je ne connais pas suffisamment pour apprécier pleinement mais ce que j'en ai touché était en effet assez cool

La fonction zêta est le cas le plus simple de fonction L où le caractère de dirichlet est 1 pour tout n. L'autre cas "simple" c'est la fonction bêta qui est liée au caractère modulo 4. Ca devient une somme alternée des inverses des nombres impairs.

C'est sympa d'être précis khey mais tu prêches un convaincu

Par contre pour contre balancer un peu on sait estimer la présence d'un éventuel contre exemple à partir d'un certain rang, le problème c'est que ces rangs sont très au-delà de ce que l'on peut calculer.
Typiquement, il est attendu que le comportement typique dans la bande critique n'apparaisse qu'autours de valeurs inaccessibles aux meilleurs calculateurs. C'est la conséquence que ces phénomènes sont régis par des fonctions qui tendent vers l'infini de manière extrêmement lente. En particulier dans l'expression du nombre de zéro il y a un terme qui est S(t) et qu'on appelle l'argument de la fonction zêta. Ca agis comme une correction pour le nombre de zéros et cette fonction grandit très lentement. Si je dis pas de bêtise, la plus grande valeur de S(t) connue est 3 On sait pourtant que c'est bien une fonction qui tend vers l'infini mais très très lentement.

Sous RH S(t)=O(log(t)/log(log(t))

Okidok

Pourquoi tu penses/les mathématiciens pensent que NP différent de P?

Le 17 août 2022 à 13:20:50 :
Pourquoi tu penses/les mathématiciens pensent que NP différent de P?

Pour rappel et en vulgarisant, un problème est dans P si on peut trouver+vérifier sa solution en un temps raisonnable et un problème est dans NP si on peut vérifier sa solution en temps raisonnable (un génie vient et nous donne en indice la solution). Il n'y a aucune raison a priori que les deux soient égaux, et le quotidien du mathématicien et de l'informaticien, c'est le foisonnement de problèmes où la solution est facile à vérifier mais semble dure à trouver. Est-elle fondamentalement dure à trouver ou bien est-ce juste qu'on n'y arrive pas ?

Le fait qu'il n'y ait aucune raison a priori pour P = NP couplée au ressenti issu de cette expérience quotidienne, je pense que c'est la raison principale pour laquelle on s'attend à ce que P et NP soient différents. D'ailleurs, l'acte de foi général derrière cela est celui qui permet la cryptographie (avec indice, je peux décrypter, sans je n'y arrive pas).

A ma connaissance, il n'y a pas de grande raison théorique autre que ce que je viens de dire mais je ne suis pas spécialiste du sujet donc c'est à prendre avec plusieurs pincées de sel, hein !

Si P et NP sont différents, c'est rassurant pour l'ego en mode "si on ne torche pas les problèmes, c'est parce qu'ils sont intorchables !"

Les maths ne servent à rien après la 4ème

Tout ce qu'on apprend après c'est de la branlette intellectuelle

On t a déjà posé la question 1000 fois surement, mais quel est ton parcours ?

Le 17 août 2022 à 16:19:02 :
Les maths ne servent à rien après la 4ème

Tout ce qu'on apprend après c'est de la branlette intellectuelle

Oui mais c'est très commun et plaisant, la branlette

Le 17 août 2022 à 16:21:46 :
On t a déjà posé la question 1000 fois surement, mais quel est ton parcours ?

Prépa une ENS thèse postdocs maître de conf

Es-tu prout ?

Trouve moi la formule qui permet de determiner l'angle d'un balancier en fonction de la position et du diametre d'un cylindre (sous la barre )

https://www.youtube.com/c/MathsAdultes/videos

Le 17 août 2022 à 17:47:24 :

Le 17 août 2022 à 16:19:02 :
Les maths ne servent à rien après la 4ème

Tout ce qu'on apprend après c'est de la branlette intellectuelle

Oui mais c'est très commun et plaisant, la branlette

Plus sérieusement, j'ai l'impression que plus le temps passe plus le domaine des probas, du calcul stochastique devient "à la mode" par rapport à l'algèbre et l'analyse. T'as aussi cette impression ?