Je réponds à vos questions sur les MATHEMATIQUES

Le 05 juillet 2019 à 21:57:34 Immigraban a écrit :
Est ce qu’on a inventé les maths ? Ou c’etait déjà là?

Voir le second pavé de ce post :
https://www.jeuxvideo.com/murjauned2/forums/message/921305315

L'ouvrage Introduction à la philosophie des mathématiques : le problème de Platon est essentiellement consacré à cette question.

T'es bon dans d'autres matières autre que les maths ? Par exemple l'histoire? Tu as une bonne mémoire pour tout retenir ?

Le 05 juillet 2019 à 22:17:48 TeaOne a écrit :
T'es bon dans d'autres matières autre que les maths ? Par exemple l'histoire? Tu as une bonne mémoire pour tout retenir ?

J'ai tendance à retenir ce que je comprends et ce qui m'enthousiasme vraiment. Mais pas un chouïa de faculté surhumaine type "mémoire eidétique" ou je ne sais quoi

Solide assez transversalement, sauf en TP, en histoire-géo et en sport je dirais

L'OP, pour ce qui est de ton côté enseignant: je ne sais depuis combien de temps tu enseignes/fais des TD, mais constates-tu une diminution du bagage des étudiants de licence avec le temps, à filière et année de parcours égales

En somme, je me demande quelles sont les conséquences réelles des réformes des programmes pré-bac.

Le 05 juillet 2019 à 22:42:12 Wobo a écrit :
L'OP, pour ce qui est de ton côté enseignant: je ne sais depuis combien de temps tu enseignes/fais des TD, mais constates-tu une diminution du bagage des étudiants de licence avec le temps, à filière et année de parcours égales

En somme, je me demande quelles sont les conséquences réelles des réformes des programmes pré-bac.

Je n'ai pas d'élément de réponse là-dessus, désolé

Le 05 juillet 2019 à 22:42:52 TeaOne a écrit :
prof de fac et chercheur ça doit demander énormément de travails, combien d'heures passes-tu dans les révisions et préparation de cours par jour en période scolaire ?

Excellente question mais je vais botter en touche et seulement indiquer qu'en théorie, maître de conf, c'est un boulot à temps plein dont 50% est dédié à l'enseignement (cours + prépa de cours etc.) et l'autre moitié à l'enseignement. Sachant que y a aussi des charges administratives (dont certaines donnent lieu à des décharge de service d'enseignement, souvent peu rentables) ainsi que des investissements éventuels dans la vulgarisation (ça fait partie des missions générales de la recherche universitaire).

Je lirais tout ce que tu m'as écrit, merci d'avance l'OP

salut kheyou, pourrais-tu m'expliquer ce qu'est un espace vectoriel ?

Y'a quoi à découvrir en math aujourd'hui ?

En simplifiant, quelle était la derniere découverte MAJEURE des maths ?

1 + 1 = combien ?

Le 09 juillet 2019 à 14:36:40 degenarateart a écrit :
salut kheyou, pourrais-tu m'expliquer ce qu'est un espace vectoriel ?

Est-ce que cette réponse d'il y a quelques pages fait le taf ?

https://www.jeuxvideo.com/eibougnador/forums/message/1014406061

J'ajouterais que les espaces vectoriels sont le concept qui permet de capturer la notion de "principe de superposition". En gros, on peut faire se superposer deux phénomènes. Et le phénomène qui résulte, c'est juste la somme des deux, pas d'interaction compliquée du genre "si je mets un glob et un gloub, OK j'ai un glob et un gloub mais en plus leur interaction produit plein de gloubiboulga" : non, juste le tout, c'est la somme des parties et basta.

Par exemple, si tu jettes un caillou dans l'eau à un point A, c'est relativement simple : ça fait des cercles concentriques qui s'éloignent du centre. Ce serait d'ailleurs pareil si tu le jetais à un point B. Bah maintenant, si t'en jettes à la fois un en A et un en B, il s'avère que l'élévation ou abaissement d'eau qui en résulte, en n'importe quel point et à n'importe quel instant, c'est juste la somme de ce qu'il se passe avec A et de ce qu'il se passe avec B. Ca s'appelle le principe de superposition. Ca ne veut pas dire que cette somme de deux choses "simples" est simple à visualiser, hein (les interférences paraissent compliquées à première vue), mais ce n'est effectivement que la somme de ce qu'il se serait passé dans les deux scénarios.

Bah, les espaces vectoriels, c'est le cadre où tu peux appliquer ce principe de superposition. C'est utile dans pleeeeein de trucs, allant de l'analyse des données à la physique quantique, etc.

En vrai, les espaces vectoriels, c'est un peu plus fort que ça : on a à la fois le principe de superposition et le principe de proportionnalité. Principe de proportionnalité qui est juste oufissime. C'est ce qui permet de ramener des quantités incompréhensibles qui se jouent à des échelles incompréhensibles pour ramener le tout à l'échelle que tu comprends : le PIB d'un pays, par exemple, c'est toujours un nombre gigantesque, mais c'est dur de se figurer s'il est plus ou moins gigantesque que ce que suggérerait ton intuition quotidienne, tout simplement car ton intuition de la vie de tous les jours ne se développe pas à cette échelle ; si tu divises le PIB par le nombre d'habitants, là tu viens de ramener les choses au domaine tangible.

Le principe de proportionnalité est un peu contenu dans le principe de superposition : additionner K fois un état, ça revient à le multiplier par K. Bref, on multiplie ses proportions par K, c'est de la proportionnalité, quoi

Mais là, on demande de pouvoir multiplier aussi par -1 ou 1/2 par exemple, juste par n'importe quel nombre en fait. Donc on peut morceler nos objets comme somme de plus petits objets, ou on peut en créer des copies en "antimatière" (juste comme une dette est l'opposé de la thune ou un creux est l'opposé d'une bosse).

Quand on regarde les espaces vectoriels, on regarde généralement aussi les fonctions linéaires d'un espace vectoriel vers un espace vectoriel (ou morphismes d'espace vectoriel ; ce sont juste les fonctions qui "respectent" le principe de superposition et celui de proportionnalité : si tu prends deux états, tu additionnes et tu appliques la fonction, c'est pareil que si tu appliques la fonction d'abord à chacun d'entre eux puis additionnes les résultats ; et un truc du même tonneau pour la proportionnalité). Quand on regarde les fonctions linéaires de R vers R, c'est "tout bête", c'est juste les "x donne a x" où tu choisis le nombre "a" comme tu veux. Quand on a des espaces vectoriels, c'est plus compliqué : on ne multiplie plus par un nombre mais par une "matrice".

Bref, l'idée, c'est que la théorie n'est plus bêbête, mais qu'elle reste assez maniable : on ne calcule pas avec les matrices comme avec les nombres, mais on peut calculer quand même ! Et puis bon : une matrice, c'est donné par un tableau fini où chaque case est remplie par un nombre ; ça reste beaucoup moins de données à gérer que pour les fonctions pas linéaires, où chaque point de l'espace de départ peut être envoyé sur absolument n'importe quel point au but !

Bref, les applications linéaires sont suffisamment simples pour être maniables (sans que ce soit trivial, mais maniable quand même), et suffisamment riches pour qu'une immense partie des mathématiques puisse se ramener à leurs études.

L'idée, en fait, c'est que quand tu zoomes très fort sur le graphe d'une fonction "régulière", ça ressemblera à une fonction linéaire en fait ! Du coup, même si tu t'intéresses à des fonctions pas linéaires, tu peux avoir intérêt à zoomer très fort, utiliser des outils d'algèbre linéaire, puis essayer de dézoomer d'une façon ou d'une autre (en patchworkant ensemble les différentes images zoomées peut-être)

Ce que je viens de dire, c'est l'essence du calcul différentiel. Les lois de la nature s'expriment excellemment dans le langage du calcul différentiel.

Même du côté plus algébrique, il y a la notion de groupe, qui sert à capturer mathématiquement la notion de "symétries" d'un objet ou d'une situation. Il y a une branche des maths, la théorie des représentations, qui essaie de ramener la compréhension des groupes abstraits à celle des groupes de matrices : les groupes de matrices sont suffisamment plus simples à étudier pour que ça paraisse désirable de réduire l'étude des groupes abstraits à ces groupes-ci, et ils sont suffisamment riches pour qu'en effet ce soit quelque chose de possible en un certain nombre de sens.

Noter enfin que si on essayait de simplifier la théorie des fonctions entre espaces vectoriels en disant "ah-ah, je vais éviter les matrices qui sont compliquées : je vais généraliser le concept qui marchait de R vers R en disant que je m'intéresse juste aux fonctions qui dilatent par un même nombre dans toutes les directions", et bah ce serait la catastrophe. Car déjà, ça n'a pas de sens : si tu as une fonction du genre "j'envoie (x,y,z) sur (x²+y,yz)", en la dérivant, tu chercherais une dilatation qui part d'un espace de dimension 3 vers un espace de dimension 2 ; euh... ouais, sauf que dilater, c'est que d'un espace vers lui-même hein

Et puis même dans le cas où il y a autant, de dimension au départ de la fonction qu'à son arrivée, plein de fonctions très régulières (genre polynomiales, comme par exemple (x,y) donne (x²,y), ou (x,y) donne (x,2y)) ne seraient pas différentiables : en zoomant, on n'arriverait pas du tout à trouver que ça ressemble de plus en plus farouchement à une de nos fonctions de références. On aurait une théorie simple, en effet, mais sans la moindre portée... Non-non, les matrices et fonctions linéaires sont le bon concept

Le 09 juillet 2019 à 14:37:58 SingeElite a écrit :
1 + 1 = combien ?

2

Après, il y a certaines structures où 2=0. Par exemple, si tu regardes les états d'un interrupteur, l'activer deux fois revient à l'activer zéro fois. Ca n'empêche pas le fait que dans cette structure, 1+1 vaut toujours 2, hein. C'est juste que ça vaut aussi 0, puisque 2=0 dans ce cadre.

Si tu sais ce que signifie regarder les entiers "modulo 2", c'est à ça que je me réfère ici. Ca veut juste dire que tu calcules pas sur des nombres mais des parités... Et effectivement, la parité de 0 et de 2, bah c'est la même quoi... https://image.noelshack.com/fichiers/2019/19/4/1557437332-ace383ce-418a-47f9-91b0-a862161adaac.jpeg

Le 09 juillet 2019 à 14:37:24 PavaneDef1 a écrit :
Y'a quoi à découvrir en math aujourd'hui ?

En simplifiant, quelle était la derniere découverte MAJEURE des maths ?

C'est si vaste...

Mais par exemple, donner un sens rigoureux à des outils de physique théorique :

Il y a plusieurs tels outils. Il y a l'équation KPZ, pour Kardar-Parisi-Zhang, qui régit les phénomènes d'interface qui mangent du terrain avec le temps. Ca rassemble énormément de phénomènes physiques, de même que les variables aléatoires gaussiennes jouent un rôle assez universel dans la compréhension de comment les erreurs se compensent dans les systèmes physiques, informatiques, etc. Il y a un autre KPZ , d'ailleurs, pour Knizhnik-Polyakov-Zamolodchikov qui essaie de faire le pont entre la mécanique statistique classique et la mécanique statistique quantique (mécanique statistique = étude de systèmes qui a beaucoup de petits constituants ; quantique = quantique ; classique = ne prenant pas en compte les effets quantiques). Il y a un certain nombre d'autres outils du même genre qui portent des noms barbares (Liouville Quantum Gravity, sphère brownienne, Gaussian Free Field...).

Sachant que là, je parle juste des probas. Mais il y a plein d'autres branches des maths, comme le suggère ceci :
http://front.math.ucdavis.edu/math

Ceci, c'est une des interfaces menant à arxiv. En maths/info/physique, on a l'habitude assez saine de mettre notre travail en ligne dès qu'il est fini, avant de se débattre avec les journaux pour voir si ce sera accepté et tout. Donc quand on fouine dessus, on sait qu'il y a peut-être des erreurs, que ça n'est pas passé par la case peer-review, mais ça assainit un certain nombre de choses. Et puis ça permet d'accéder gratuitement à une version électronique de chaque article ! https://image.noelshack.com/fichiers/2016/35/1472827781-1471849431-1465843407-img2.png

Bref, dans le lien ci-dessus, tu vois que les probabilités ne sont qu'une branche parmi d'autres. Si tu veux palper le volume d'articles produit chaque jour, n'hésite pas à te balader sur arxiv.

Tu verras que certains domaines produisent beaucoup plus d'articles que d'autres. Après, ne pas confondre quantité et qualité non plus, hein. Un domaine peut beaucoup produire pour de bonnes ou pour de mauvaises raisons, etc.

J'avais aussi écrit une réponse à une question similaire ici :

http://www.jeuxvideo.com/eibougnador/forums/message/1013895573
http://www.jeuxvideo.com/eibougnador/forums/message/1013895997
http://www.jeuxvideo.com/eibougnador/forums/message/1013896837

Mais bon, à nouveau, ta question est super difficile.

Quant à la dernière découverte majeure ? Très dur aussi... J'ai l'impression que les travaux de Grothendieck méritent ce qualificatif. La conjecture de géométrisation de Thurston résolue par Perelman, aussi. Après, ça dépend aussi si tu juges sur la création de nouveau domaines, sur révolutionner totalement un domaine, sur le fait d'aller irriguer en dehors des maths, etc.

Je suis biaisé aussi, je ne connais pas bien le penchant plus appliqué des mathématiques... Alors que y a plein de trucs des maths qui sont mathématiquement oufs et qui débordent très largement des maths dans leurs applications IRL. La théorie des ondelettes par exemple (une espèce de version ++ de la théorie de Fourier). Ce qui est énorme, parce que Fourier, c'est la vie. D'ailleurs, la théorie des ondelettes a valu son prix Abel à Yves Meyer.

Ce qu'on voit, c'est des longueurs d'onde : le fait de voir les fréquences d'oscillation plutôt que l'oscillation elle-même (on ne voit pas des allers retours, on voit une couleur stable qui correspond à la fréquence), c'est Fourier. Le fait d'entendre les fréquences d'un son, c'est Fourier. Le cortex (dans le cerveau) responsable de la vision s'avère avoir une géométrie qui est gouvernée par la théorie des représentations (qui est un avatar "non-commutatif" de Fourier). La compréhension de fichiers informatiques, c'est souvent du Fourier. Etc.

Bon... voilà

Le 10 juillet 2019 à 02:04:01 EIBougnador a écrit :
Bref, dans le lien ci-dessus, tu vois que les probabilités ne sont qu'une branche parmi d'autres.

Après, toutes ces branches n'occupent pas le même volume dans la mathématique. Les probas, ça fait quand même partie des branches qu'à peu près personne n'oublie aujourd'hui, il me semble (et ce n'est pas du tout la seule branche dans ce cas : systèmes dynamiques, EDP, géométrie, géométrie algébrique, topologie algébrique, théorie des nombres, logique, combinatoire, statistiques, analyse numérique, etc.).

Certains regrouperaient certaines catégories du lien arxiv en une seule, mais y a pas forcément grand monde qui fusionnerait les probas dans un groupe plus large.

Le 09 juillet 2019 à 14:37:24 PavaneDef1 a écrit :
Y'a quoi à découvrir en math aujourd'hui ?

En simplifiant, quelle était la derniere découverte MAJEURE des maths ?

Au lieu de la vidéo youtube, il me semble que je pensais plutôt à cette vidéo :
https://images.math.cnrs.fr/Rencontre-avec-Wendelin-Werner.html

Surtout à partir de 6:30, mais tu peux tout regarder aussi...

les zéros non triviaux de la fct zêta de riemann on-t-ils tous pour partie réelle 1/2 ?

Le 11 juillet 2019 à 02:47:00 AuFond89886 a écrit :
les zéros non triviaux de la fct zêta de riemann on-t-ils tous pour partie réelle 1/2 ?

J'allais la faire

Pense tu qu'il est possible d'expliquer des concepts comme la beauté par les mathématiques(par exe: respect de la loi du nombre d'or, proportions parfaites, etc...)

Le 11 juillet 2019 à 02:47:00 AuFond89886 a écrit :
les zéros non triviaux de la fct zêta de riemann on-t-ils tous pour partie réelle 1/2 ?

Oui. Le démontrer rigoureusement est bien sûr un problème ouvert (c'est même pas clair que cette question soit accessible à la démonstration à partir des axiomes standards, disons de ZFC), mais je pense que c'est vrai. La conjecture a été vérifiée de façon exacte par ordinateur pour les premiers millions de zéros, des conjectures analogues (fonctions zéta sur d'autres objets que les entiers) ont été démontrées, etc. Les mathématiques sont plus harmonieuses si cette conjecture est vraie

Le 11 juillet 2019 à 02:50:39 Liovik a écrit :
Pense tu qu'il est possible d'expliquer des concepts comme la beauté par les mathématiques(par exe: respect de la loi du nombre d'or, proportions parfaites, etc...)

Il y a de la beauté en mathématiques. Il y a des beautés extramathématiques qui en fait prennent source dans des choses très mathématisables (des symétries, de la structure, etc.). Même, les accords qui sonnent bien correspondent aux sons dont les fréquences sont en ratio un nombre rationnel avec un très petit dénominateur et très petit numérateur. Voir l'excellente lettre IV des Lettres à une princesse d'Allemagnehttps://books.google.com/books?id=ghsAAAAAQAAJ&pg=PA1&hl=fr&source=gbs_selected_pages&cad=2#v=onepage&q&f=false. Cet ouvrage est incroyable : de l'excellente vulgarisation écrite en français par celui qu'un certain nombre de personnes considère comme le plus grand mathématicien de tous les temps : Euler !

Bref, j'ai l'impression que certaines beautés proviennent du fait qu'on "perçoit" une structure. Or les maths sont en un sens la science qui cherche à cerner de façon extrêmement précise les structures ; en les dépouillant de leur contenu physique/biologique/chimique, en se concentrant sur la structure elle-même, et non en ce qu'elle structure ceci ou cela. Et bien sûr, elle ne cerne de façon extrêmement précise que les structures qui peuvent être cernées de façon extrêmement précises. Certaines beautés artistiques peuvent émerger de "structures" qui sont trop floues pour être mathématisées ; ou encore, la source de la beauté peut être totalement ailleurs que dans un effet de structure.

Par contre, "expliquer un concept comme la beauté", ça paraît encore plus ambitieux, trop ambitieux. La beauté peut émerger de structure, et les maths permet de cerner précisément cette structure. Mais ce n'est pas le taf des maths que d'expliquer en quoi cette structure donne lieu à un sentiment de beauté chez ceux qui la perçoivent.