[génie] Futur NOBEL de MATHEMATIQUES

Le 22 décembre 2022 à 17:40:33 :
C'est le théorème de Brouer.
Honnêtement je me souviens que ça utilise la théorie des groupes fondamentaux (j'avais fait un exposé dessus mais ça fait quatre ans que je n'y ai plus touché, j'ai oublié cette partie)

Je me souviens juste de ce qu'est le groupe fondamental d'un espace (connexe par arc) et de l'idée des revêtements qui consiste a "relever" un chemin.

Je me souviens qu'on utilise ça pour calculer certains groupes fondamentaux comme celui de S1.

Et le point final où je m'étais arrêté c'était la version forte de Van Kampen.

Peut être que l'OP aura une réponse plus précise

Il me manque encore une implication sur les trucs de choix, il s'agit de montrer que choix implique l'un des deux autres. J'ai préféré consigner les démos à mesure qu'elle me venait plutôt que de fournir uniquement la sélection minimale suffisante obtenue à la fin post-écrémage.

Je vais regarder un peu le reste du topic.

Le 22 décembre 2022 à 17:13:39 :
Alors très bien je vais te tester ->
Démonstration du lemme de Yoneda je te prie

J'ai déjà compris le lemme de Yoneda il y a quelques mois et j'en étais fière. J'avais développé l'intime conviction que j'en étais au stade où je serais en mesure de vérifier les détails moi-même mais je ne l'ai jamais fait.

Il me semble que pour quelqu'un de pleinement mâture sur ce sujet, ça se réduit à un diagramme qui est commutatif. Je n'en suis pas au stade où ça me saute aux yeux de façon aussi concise

Province, mais en L3 la responsable de licence m'avait conseillé de passer le concours de l'ENS et en M1 y a le prof de théorie de la mesure qui m'a attrapé dans son bureau et qui m'a dit que j'avais rien a foutre dans la fac où j'étais

Après j'aurai pas été dans les très bons dans les Parisiennes mais j'étais loin d'être une bite quoi

Le 22 décembre 2022 à 17:27:23 :
Tu connais le mouvement brownien ?

Oui.

AYAAA l'OP qui aura un césar en mathshttps://image.noelshack.com/fichiers/2018/13/4/1522325846-jesusopti.png

Le 22 décembre 2022 à 17:32:12 :
En quelques mots, comment prouver que toute application continue de la boule unité dans elle-même admet un point fixe ?

Démontrer Brouwer, quoi ? Flemme mais j'ai vu récemment que y avait un théorème de Kakutani qui généralisait cela à des applications multivaluées du simplexe. En gros, tu prends une application du simplexe vers les parties convexes non-vides du simplexe (peut-être fermées ?) avec une condition de semi-continuité et il existe forcément quelqu'un qui a pour image une partie qui le contient. Apparemment, ça permet de retrouver des trucs de théorie des jeux (de Nash ou von Neumann, je sais plus).

Le 22 décembre 2022 à 17:32:26 :
Calme ton agressivité, c'est pas moi qui t'ai reproché ta lenteur.

Et non, sur ce sujet là le diable se cache vraiment dans les détails et même en temps normal je suis vraiment rigoureux.

Après peut-être que tu es incapable de faire les-dites vérifications/détails ou tu as peur qu'un truc cloche ?

Y a-t-il un point précis où tu soupçonnes que j'ai loupé une subtilité ? Si oui, montre le point précis et je peux donner des détails. Il est envisageable que j'ai loupé une subtilité, bien qu'il me semble que non.

Le 22 décembre 2022 à 17:47:17 :

Le 22 décembre 2022 à 17:32:12 :
En quelques mots, comment prouver que toute application continue de la boule unité dans elle-même admet un point fixe ?

Démontrer Brouwer, quoi ? Flemme mais j'ai vu récemment que y avait un théorème de Kakutani qui généralisait cela à des applications multivaluées du simplexe. En gros, tu prends une application du simplexe vers les parties convexes non-vides du simplexe (peut-être fermées ?) avec une condition de semi-continuité et il existe forcément quelqu'un qui a pour image une partie qui le contient. Apparemment, ça permet de retrouver des trucs de théorie des jeux (de Nash ou von Neumann, je sais plus).

Pas la démo complète mais le squelette général de la démo en quelques mots.

Le 22 décembre 2022 à 17:43:19 :

Le 22 décembre 2022 à 17:13:39 :
Alors très bien je vais te tester ->
Démonstration du lemme de Yoneda je te prie

J'ai déjà compris le lemme de Yoneda il y a quelques mois et j'en étais fière. J'avais développé l'intime conviction que j'en étais au stade où je serais en mesure de vérifier les détails moi-même mais je ne l'ai jamais fait.

Il me semble que pour quelqu'un de pleinement mâture sur ce sujet, ça se réduit à un diagramme qui est commutatif. Je n'en suis pas au stade où ça me saute aux yeux de façon aussi concise

Y'a plusieurs démonstrations mais la canonique est en réalité très "simple" en ce que c'est juste une preuve constructiviste. Le lemme de Yoneda est un lemme d'existence et d'unicité entre autres, donc on exhibe simplement en fonction des paramètres l'objet qui répond au lemme, et on montre qu'il est unique ce qui est quasiment immédiat selon la façon dont on l'a construit
Sinon y'a aussi la preuve universelle qui est immédiate mais demande d'être un peu plus chevronné

Le 22 décembre 2022 à 17:38:48 :

Le 22 décembre 2022 à 17:34:50 :
Ben ils doivent être vraiment très chaud en L2 car en L3 j'étais le meilleur de ma fac sur ce genre de sujets et j'en ai chié ma race

Fac de province ou parisienne
Pour la démo en question, je crois me souvenir que la première fois que je l'ai lue c'était dans le bouquin "Les mathématiques de la Licence tout-en-un, 2e année de licence, 2e édition" de Ramis et Warusfel (pas sûr de l'orthographe)
Et encore ils préparaient le terrain déjà dans le bouquin de la première année

J'ai pas les livres sur moi là donc je peux malheureusement pas vérifier ceci dit

Après, y a une différence entre lire la démo et devoir la faire en exo sur jvc en ne l'ayant jamais lu nulle part

Le 22 décembre 2022 à 17:40:33 :
C'est le théorème de Brouer.
Honnêtement je me souviens que ça utilise la théorie des groupes fondamentaux (j'avais fait un exposé dessus mais ça fait quatre ans que je n'y ai plus touché, j'ai oublié cette partie)

Je me souviens juste de ce qu'est le groupe fondamental d'un espace (connexe par arc) et de l'idée des revêtements qui consiste a "relever" un chemin.

Je me souviens qu'on utilise ça pour calculer certains groupes fondamentaux comme celui de S1.

Et le point final où je m'étais arrêté c'était la version forte de Van Kampen.

C'est pas mal, cool

L'op si tu étais en MP* tu seraishttps://image.noelshack.com/fichiers/2022/28/5/1657907437-brise.jpg

Et sinon, en vrac:
1. Idée générale de la preuve du théorème de Cayley-Hamilton
2. Quelle est la différence entre une variété algébrique et un schéma ?
3. Idée générale de la preuve de: "les équations polynomiales de degré supérieur ou égal à cinq ne sont pas résolubles par radicaux".

Je tique toujours sur les détails.
Typiquement pour Zorn on s'assure toujours qu'un majorant qu'on construit d'une chaîne de E est bien un élément de E.

Je vois pas de point de faute dans tes démonstrations mais je trouve ça vraiment pas sérieux de ne pas prendre une feuille pour faire les détails sur ce genre de sujets.

Quand tu vois AC justement tu te dis "Izi trop laul cé vré jpass ah la suit ptdr" sauf que non.

Après j'ai connu des gens très balèzes qui ne faisaient pas les détails. Mais aussi des gros escrocs.

Le 22 décembre 2022 à 17:41:07 :

Le 22 décembre 2022 à 17:40:33 :
C'est le théorème de Brouer.
Honnêtement je me souviens que ça utilise la théorie des groupes fondamentaux (j'avais fait un exposé dessus mais ça fait quatre ans que je n'y ai plus touché, j'ai oublié cette partie)

Je me souviens juste de ce qu'est le groupe fondamental d'un espace (connexe par arc) et de l'idée des revêtements qui consiste a "relever" un chemin.

Je me souviens qu'on utilise ça pour calculer certains groupes fondamentaux comme celui de S1.

Et le point final où je m'étais arrêté c'était la version forte de Van Kampen.

Peut être que l'OP aura une réponse plus précise

Je crois qu'on peut bricoler à partir des observations suivantes, mais je n'ai pas tout le plan clairement en tête :

1. si tu n'as pas de point fixe, tu peux obtenir une application de la sphère vers la sphère (tu envoie x sur f(x)-x divisé par sa norme) ;
2. toute fonction continue de la boule vers la boule peut se ramener par déformation continue vers l'identité puisque la boule est convexe ;
3. peut-être un ingrédient supplémentaire du genre pi_n(S^n)=Z

Le 22 décembre 2022 à 17:48:47 :

Le 22 décembre 2022 à 17:43:19 :

Le 22 décembre 2022 à 17:13:39 :
Alors très bien je vais te tester ->
Démonstration du lemme de Yoneda je te prie

J'ai déjà compris le lemme de Yoneda il y a quelques mois et j'en étais fière. J'avais développé l'intime conviction que j'en étais au stade où je serais en mesure de vérifier les détails moi-même mais je ne l'ai jamais fait.

Il me semble que pour quelqu'un de pleinement mâture sur ce sujet, ça se réduit à un diagramme qui est commutatif. Je n'en suis pas au stade où ça me saute aux yeux de façon aussi concise

Y'a plusieurs démonstrations mais la canonique est en réalité très "simple" en ce que c'est juste une preuve constructiviste. Le lemme de Yoneda est un lemme d'existence et d'unicité entre autres, donc on exhibe simplement en fonction des paramètres l'objet qui répond au lemme, et on montre qu'il est unique ce qui est quasiment immédiat selon la façon dont on l'a construit
Sinon y'a aussi la preuve universelle qui est immédiate mais demande d'être un peu plus chevronné

J'espère que je comprendrai ça d'ici un an. Même si je suis pas convaincu de go catégories et géo algébrique en recherche plus tard, ça reste des choses intéressantes à comprendre pour n'importe quelle mathématicienne généraliste

Le 22 décembre 2022 à 17:54:14 :

Le 22 décembre 2022 à 17:41:07 :

Le 22 décembre 2022 à 17:40:33 :
C'est le théorème de Brouer.
Honnêtement je me souviens que ça utilise la théorie des groupes fondamentaux (j'avais fait un exposé dessus mais ça fait quatre ans que je n'y ai plus touché, j'ai oublié cette partie)

Je me souviens juste de ce qu'est le groupe fondamental d'un espace (connexe par arc) et de l'idée des revêtements qui consiste a "relever" un chemin.

Je me souviens qu'on utilise ça pour calculer certains groupes fondamentaux comme celui de S1.

Et le point final où je m'étais arrêté c'était la version forte de Van Kampen.

Peut être que l'OP aura une réponse plus précise

Je crois qu'on peut bricoler à partir des observations suivantes, mais je n'ai pas tout le plan clairement en tête :

1. si tu n'as pas de point fixe, tu peux obtenir une application de la sphère vers la sphère (tu envoie x sur f(x)-x divisé par sa norme) ;
2. toute fonction continue de la boule vers la boule peut se ramener par déformation continue vers l'identité puisque la boule est convexe ;
3. peut-être un ingrédient supplémentaire du genre pi_n(S^n)=Z

Pas mal, c'est à peu près ça:
1. Tu peux obtenir une application, non pas de la sphère vers la sphère mais de la boule vers la sphère. Cette application est de plus une rétraction (égale à l'identité sur le bord de la boule).
2. La boule est homotope à un point donc son n-ème groupe d'homologie est trivial. Le n-ème groupe d'homologie de la sphère c'est Z (mais ça doit marcher aussi avec les groupes fondamentaux). Ca donne une contradiction.

Après pour ta défense y a aussi des gens qui demandent des détails sur des trucs parfaitement inutiles pour faire genre les mecs trop rigoureux.

Genre en L3 y avait un trouduc qui bittait rien mais qui faisait le chaud qui dans un cours sur les EVN avait dit avec un ton condescendant "Pardon Monsieur c'est quel zéro à droite de l'égalité ?"

Et qui dans le même temps n'était pas foutu de dire pourquoi tout idéal d'un anneau (A,+,*)était un sous-groupe distingué de (A,+) quand le prof lui avait demandé

Le 22 décembre 2022 à 17:51:56 :
Et sinon, en vrac:
1. Idée générale de la preuve du théorème de Cayley-Hamilton

Tu go A-modules et tu poses A=k[X] avec X qui agit comme ton endomorphisme u, ce qui permet de rendre correcte la preuve clairement fausse qu'on pourrait intuiter.

2. Quelle est la différence entre une variété algébrique et un schéma ?

Je sais pas, ça m'intéresse, raconte.

Une variété algébrique, c'est déjà défini à base de cartes et compagnie comme les variétés différentielles ou c'est plus rustique encore ?

J'aurais tendance à deviner "une variété algébrique, c'est comme une variété différentiable mais avec des changements de cartes polynomiaux/fonctions rationnelles" alors qu'un schéma, c'est un objet formel adapté pour spécifier ton objet dans n'importe quel anneau qui t'intéresse.

3. Idée générale de la preuve de: "les équations polynomiales de degré supérieur ou égal à cinq ne sont pas résolubles par radicaux".

Il me semble que ça repose sur la simplicité de A(n) pour n au moins 5, ce qui implique que ce groupe n'est pas résoluble.