[MATHS] Un mathématicien pour examiner ma démonstration ?

Le 09 août 2022 à 15:00:05 :

Le 09 août 2022 à 12:59:30 :

Le 09 août 2022 à 12:57:56 :
https://www.reddit.com/r/learnmath/comments/4geknm/have_problem_understanding_proof_from_a_putnam/

Bordel, la preuve sans utiliser de notions "apprises apres" comme les valuations.

On montre que 11 ne fait pas partie des facteurs premiers, et apres on s'interesse aux décompositions faisant intervenir des premiers <11.

J'aurais aimé trouver une démonstration purement algébrique mais j'ai du aussi montré que les solutions était inférieur à un certain nombre (cf mon message précédent).

C'est des exercices assez difficiles.
Mettre ca sur 4 points sur un DS de Maths en maths sup un samedi matin, c'est limite sadique.

C'est plus ou moins ce que j'imagine d'une Math sup

Je viens de passer 1 heure sur la démonstration postee ce matin (Reddit).
C'est difficile à comprendre.
Il y a plusieurs bonnes idées a avoir.
-1- aucun premier > 7 ne peut être dans la liste (11, 13, 17, ..) exclus, parce qu'il faudrait que la liste en contienne 2 or la liste contient 9 nombres.
-2- les nombres de la liste ont donc une decomposition en facteurs, contenant uniquement 2, 3 5 7 et toutes les combinaisons.
-3- on montre qu'au MIEUX il peut y avoir 6 nombres ayant un nombre premier REPETE dans la dfp. (Dans le pire des cas, on aurait : un nombre multiple de 7 un nombre multiple de 5 et un nombre multiple de 3 et 3 nombres multiples de 2*2). Cette étape est difficile à comrendre.
-4- on en déduit que AU MOINS 3 nombres, parmi les 9 consécutifs, ont une dfp sans aucun nombre premier REPETE.
-5- les nombres multiples de 2 3 5 7 ayant une dfp sans nombre premier REPETE sont: 2 3 5 6 7 10 14 15 21 30 35 70 210.

A partir de là c'est facile :
Pour avoir 3 nombres de cette série dans une série consecutive de 9 nombres, on peut éliminer :
210......jusque 30 (pour des raisons d'écart).
21 est éliminé parce qu'on va jusque 14 donc on prend 17 (et on a déjà démontré pas de nombre premier > 11).
15 et 14 éliminés parce qu'ils contiennent le nombre 11.

Reste 1 2 3 ... 9 et 2 3 4 ... 10.
On peut éliminer ces deux séries de 9 en raisonnant sur le nombre de fois où 2 et 3 sont facteurs....

Des questions avant de passer à l'algèbre linéaire?

Des qu'on ne parle plus de Mickey et Magalie, il y a moins de monde

Le 10 août 2022 à 01:45:43 :
Des questions avant de passer à l'algèbre linéaire?

Pour la partie élimination des entiers inférieur ou égal à 17 , je m'y suis pris autrement, j'ai réussi à démontré que si un premier p de la liste était tel que p = n+i , alors p=<i.
Or i est compris entre 1 et 8.
On peut alors déduire que s'il y a un entier premier , il est nécessairement associé à n , n+1 , n+2 , n+3 ou n+4 . Ensuite, il est facile de raisonner par élimination.

Le 10 août 2022 à 01:45:43 :
Des questions avant de passer à l'algèbre linéaire?

Oui , qu'entend tu par "dfp" ?
Et pourquoi t'a besoin d'algèbre linéaire ?

J'ai fai PC en prépa et je comprends pourquoi

Ahi mon topoc qui redevient actifhttps://image.noelshack.com/fichiers/2016/47/1480081444-ris23.png
Je vais essayer de voir si ta démo est bonne KalamiteJeanhttps://image.noelshack.com/fichiers/2016/47/1480081444-ris23.png

Le 10 août 2022 à 10:36:14 :
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C'est que la première partie, je démontre simplement que n est nécessairement inférieur à 17 , ce qui me permet de m'assurer qu'il y a un nombre premier dans la liste , la partie 2 est plus chiante à rédiger.
Je m'attaque à la partie 2

Le 10 août 2022 à 10:37:46 :

Le 10 août 2022 à 10:36:14 :
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C'est que la première partie, je démontre simplement que n est nécessairement inférieur à 17 , ce qui me permet de m'assurer qu'il y a un nombre premier dans la liste , la partie 2 est plus chiante à rédiger.
Je m'attaque à la partie 2

Ouais procéder en essayant de réduire les possibilités pour n c'est sans doute la bonne méthodehttps://image.noelshack.com/fichiers/2016/47/1480081444-ris23.png

Conclusion de la partie 1 de la démonstration :
n solution ==> n<17

Partie 2 de la démonstration :

Si n<17 , alors toute suite de 9 entiers consécutifs contient un nombre premier. Donc il existe un facteur premier de N.
Donc il existe un premier p de N ; et un entier i compris entre 0 et 8 tel que :
p = n+i.
Hors , si N admet une décomposition en deux sous produit égaux, alors il existe aux moins un facteur de N différents de p qui admette p dans sa décomposition en facteur premier.
Illustrons cela :
en supposant que i = 5 , cad que p=n+5 , cela signifie que p se retrouve dans la décomposition en facteur premier de (n+6) ou (n+7) ou (n+8).
Or le plus petit multiples de p différents de p est 2×p.
donc , n+i < 2p =< n+8
En considérant que p = n+i , cette dernière inéquation se réécrit :

(n+i)- n+i < 2p - p =< (n+8)-(n+i)

finalement : 0<p=<8-i (appelons "I1" cette inéquation)

Or n>=1 ( le cas n=0 étant trivialement absurde) , en conjonction avec I1 , cela élimine de facto les solutions absurde tel que :
i=8 ; 7 ; 6 ; 5 ; 4
Il reste à traité les cas i= 0 ; 1 ; 2 ; 3

Ce qui est triviale associé à l'inégalité I1

CQFD

Le 10 août 2022 à 10:40:54 :

Le 10 août 2022 à 10:37:46 :

Le 10 août 2022 à 10:36:14 :
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C'est que la première partie, je démontre simplement que n est nécessairement inférieur à 17 , ce qui me permet de m'assurer qu'il y a un nombre premier dans la liste , la partie 2 est plus chiante à rédiger.
Je m'attaque à la partie 2

Ouais procéder en essayant de réduire les possibilités pour n c'est sans doute la bonne méthodehttps://image.noelshack.com/fichiers/2016/47/1480081444-ris23.png

Je trouve cette méthode très inélégante , j'aurais préféré une démonstration directe , en utilisant des propriétés sur les racines des polynômes de n engendrer par les deux sous produits de N.
Ou encore que si N est solution , alors N est un carré parfait (ici n est considéré comme un produit et non un ensemble).

Dit moi s'il y a des choses mal expliqué dans ma démo.

Le 10 août 2022 à 10:37:46 :

Le 10 août 2022 à 10:36:14 :
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Je vais essayer de voir si ta démo est bonne KalamiteJeanhttps://image.noelshack.com/fichiers/2016/47/1480081444-ris23.png

C'est que la première partie, je démontre simplement que n est nécessairement inférieur à 17 , ce qui me permet de m'assurer qu'il y a un nombre premier dans la liste , la partie 2 est plus chiante à rédiger.
Je m'attaque à la partie 2

Voilà une idée. En réduisant modulo 7 on s’aperçoit qu'il doit y avoir deux multiples de 7 dans les 9 nombres, c'est donc que n est congru à 0 ou -1 modulo 7. De la même façon il ne peut pas y avoir de multiple de 11 dans la listes donc n est congru à 1 ou 2 modulo 11. Le théorème chinois nous dis donc que n est congru à 0 ou -1 ou -2 modulo 77. Si ta partie 1 est correcte et que n<17 alors on en déduit que n=0 ce qui est absurde puisqu'on aurait alors un produit nul (celui qui contient 0) et l'autre produit non nul.

Le 10 août 2022 à 11:11:16 :

Le 10 août 2022 à 10:37:46 :

Le 10 août 2022 à 10:36:14 :
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C'est que la première partie, je démontre simplement que n est nécessairement inférieur à 17 , ce qui me permet de m'assurer qu'il y a un nombre premier dans la liste , la partie 2 est plus chiante à rédiger.
Je m'attaque à la partie 2

Voilà une idée. En réduisant modulo 7 on s’aperçoit qu'il doit y avoir deux multiples de 7 dans les 9 nombres, c'est donc que n est congru à 0 ou -1 modulo 7. De la même façon il ne peut pas y avoir de multiple de 11 dans la listes donc n est congru à 1 ou 2 modulo 11. Le théorème chinois nous dis donc que n est congru à 0 ou -1 ou -2 modulo 77. Si ta partie 1 est correcte et que n<17 alors on en déduit que n=0 ce qui est absurde puisqu'on aurait alors un produit nul (celui qui contient 0) et l'autre produit non nul.

J'examine ça, quand j'avais résolu le problème, je m'y étais pris comme un énorme bourrin (cf la partie 2 de la démo) , ta solution paraît bien plus élégante.

Le 10 août 2022 à 11:11:16 :

Le 10 août 2022 à 10:37:46 :

Le 10 août 2022 à 10:36:14 :
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C'est que la première partie, je démontre simplement que n est nécessairement inférieur à 17 , ce qui me permet de m'assurer qu'il y a un nombre premier dans la liste , la partie 2 est plus chiante à rédiger.
Je m'attaque à la partie 2

Voilà une idée. En réduisant modulo 7 on s’aperçoit qu'il doit y avoir deux multiples de 7 dans les 9 nombres, c'est donc que n est congru à 0 ou -1 modulo 7. De la même façon il ne peut pas y avoir de multiple de 11 dans la listes donc n est congru à 1 ou 2 modulo 11. Le théorème chinois nous dis donc que n est congru à 0 ou -1 ou -2 modulo 77. Si ta partie 1 est correcte et que n<17 alors on en déduit que n=0 ce qui est absurde puisqu'on aurait alors un produit nul (celui qui contient 0) et l'autre produit non nul.

Ok j'ai compris , c'est jolie. GG

Le 10 août 2022 à 11:05:15 :

Le 10 août 2022 à 10:40:54 :

Le 10 août 2022 à 10:37:46 :

Le 10 août 2022 à 10:36:14 :
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C'est que la première partie, je démontre simplement que n est nécessairement inférieur à 17 , ce qui me permet de m'assurer qu'il y a un nombre premier dans la liste , la partie 2 est plus chiante à rédiger.
Je m'attaque à la partie 2

Ouais procéder en essayant de réduire les possibilités pour n c'est sans doute la bonne méthodehttps://image.noelshack.com/fichiers/2016/47/1480081444-ris23.png

Je trouve cette méthode très inélégante , j'aurais préféré une démonstration directe , en utilisant des propriétés sur les racines des polynômes de n engendrer par les deux sous produits de N.
Ou encore que si N est solution , alors N est un carré parfait (ici n est considéré comme un produit et non un ensemble).

Dit moi s'il y a des choses mal expliqué dans ma démo.

Ouais t'y es allé très bourrin ahi, j'ai regardé un peu en diagonale mais ça semble correct

Le 10 août 2022 à 11:11:16 :

Le 10 août 2022 à 10:37:46 :

Le 10 août 2022 à 10:36:14 :
Ahi mon topoc qui redevient actifhttps://image.noelshack.com/fichiers/2016/47/1480081444-ris23.png
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C'est que la première partie, je démontre simplement que n est nécessairement inférieur à 17 , ce qui me permet de m'assurer qu'il y a un nombre premier dans la liste , la partie 2 est plus chiante à rédiger.
Je m'attaque à la partie 2

Voilà une idée. En réduisant modulo 7 on s’aperçoit qu'il doit y avoir deux multiples de 7 dans les 9 nombres, c'est donc que n est congru à 0 ou -1 modulo 7. De la même façon il ne peut pas y avoir de multiple de 11 dans la listes donc n est congru à 1 ou 2 modulo 11. Le théorème chinois nous dis donc que n est congru à 0 ou -1 ou -2 modulo 77. Si ta partie 1 est correcte et que n<17 alors on en déduit que n=0 ce qui est absurde puisqu'on aurait alors un produit nul (celui qui contient 0) et l'autre produit non nul.

Conclure en utilisant le théorème chinois c'est beau

Le 10 août 2022 à 11:21:56 :

Le 10 août 2022 à 11:11:16 :

Le 10 août 2022 à 10:37:46 :

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C'est que la première partie, je démontre simplement que n est nécessairement inférieur à 17 , ce qui me permet de m'assurer qu'il y a un nombre premier dans la liste , la partie 2 est plus chiante à rédiger.
Je m'attaque à la partie 2

Voilà une idée. En réduisant modulo 7 on s’aperçoit qu'il doit y avoir deux multiples de 7 dans les 9 nombres, c'est donc que n est congru à 0 ou -1 modulo 7. De la même façon il ne peut pas y avoir de multiple de 11 dans la listes donc n est congru à 1 ou 2 modulo 11. Le théorème chinois nous dis donc que n est congru à 0 ou -1 ou -2 modulo 77. Si ta partie 1 est correcte et que n<17 alors on en déduit que n=0 ce qui est absurde puisqu'on aurait alors un produit nul (celui qui contient 0) et l'autre produit non nul.

Conclure en utilisant le théorème chinois c'est beau

Si ça se trouve il fallait faire ça dès le début pour skip le problème en 25 secondehttps://image.noelshack.com/fichiers/2022/16/5/1650645509-frocarded.png

Le 10 août 2022 à 11:18:16 :

Le 10 août 2022 à 11:11:16 :

Le 10 août 2022 à 10:37:46 :

Le 10 août 2022 à 10:36:14 :
Ahi mon topoc qui redevient actifhttps://image.noelshack.com/fichiers/2016/47/1480081444-ris23.png
Je vais essayer de voir si ta démo est bonne KalamiteJeanhttps://image.noelshack.com/fichiers/2016/47/1480081444-ris23.png

C'est que la première partie, je démontre simplement que n est nécessairement inférieur à 17 , ce qui me permet de m'assurer qu'il y a un nombre premier dans la liste , la partie 2 est plus chiante à rédiger.
Je m'attaque à la partie 2

Voilà une idée. En réduisant modulo 7 on s’aperçoit qu'il doit y avoir deux multiples de 7 dans les 9 nombres, c'est donc que n est congru à 0 ou -1 modulo 7. De la même façon il ne peut pas y avoir de multiple de 11 dans la listes donc n est congru à 1 ou 2 modulo 11. Le théorème chinois nous dis donc que n est congru à 0 ou -1 ou -2 modulo 77. Si ta partie 1 est correcte et que n<17 alors on en déduit que n=0 ce qui est absurde puisqu'on aurait alors un produit nul (celui qui contient 0) et l'autre produit non nul.

Ok j'ai compris , c'est jolie. GG

Je viens de regarder ta partie 1, si on met les deux ensembles ça fait une preuve assez compacte et pas "bourin" du tout

Le 10 août 2022 à 11:28:18 :

Le 10 août 2022 à 11:18:16 :

Le 10 août 2022 à 11:11:16 :

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Le 10 août 2022 à 10:36:14 :
Ahi mon topoc qui redevient actifhttps://image.noelshack.com/fichiers/2016/47/1480081444-ris23.png
Je vais essayer de voir si ta démo est bonne KalamiteJeanhttps://image.noelshack.com/fichiers/2016/47/1480081444-ris23.png

C'est que la première partie, je démontre simplement que n est nécessairement inférieur à 17 , ce qui me permet de m'assurer qu'il y a un nombre premier dans la liste , la partie 2 est plus chiante à rédiger.
Je m'attaque à la partie 2

Voilà une idée. En réduisant modulo 7 on s’aperçoit qu'il doit y avoir deux multiples de 7 dans les 9 nombres, c'est donc que n est congru à 0 ou -1 modulo 7. De la même façon il ne peut pas y avoir de multiple de 11 dans la listes donc n est congru à 1 ou 2 modulo 11. Le théorème chinois nous dis donc que n est congru à 0 ou -1 ou -2 modulo 77. Si ta partie 1 est correcte et que n<17 alors on en déduit que n=0 ce qui est absurde puisqu'on aurait alors un produit nul (celui qui contient 0) et l'autre produit non nul.

Ok j'ai compris , c'est jolie. GG

Je viens de regarder ta partie 1, si on met les deux ensembles ça fait une preuve assez compacte et pas "bourin" du tout

Bah en fait t'a skip toute la partie 2.
Mais comme je l'expliquais à l'op , je trouve que le raisonnement par inégalité est très inélégant.
J'aurais aimé une démo purement algébrique , qui raisonne directement sur la structure des entiers naturels (style théorème des restes chinois).