[Maths] On révise l'agreg entre kheys

Le 09 juin 2022 à 11:03:10 :
C'est une histoire de partitionner les éléments de Z/nZ par leurs ordres, un élément d'ordre d est générateur du sous groupe dZ/nZ ou quelque chose comme ça.

Honnêtement je te conseille d'essayer d'assimiler cette preuve, qui est assez profonde et explique que cette égalité est presque triviale quand on interprète bien les choses.

L'idée c'est que chaque élément de Z/nZ engendre un groupe d'ordre d divisant n. Il n'est pas dur de voir que tous les Z/dZ sont sous-groupes de Z/nZ, et par définition, chaque Z/dZ admet phi(d) générateurs (il faut aussi vérifier que chaque Z/dZ est bien sous-groupe "une fois et une seule"). Partant :

n = card(Z/nZ) = somme_{k \in Z/nZ} de 1 = somme_{d divisant n} somme_{k engendre un groupe d'ordre d dans Z/nZ} de 1 = somme_{d divisant n} phi(d)

Le 08 juin 2022 à 17:51:44 :
C'est faisable d'avoir l'agreg en parallèle d'un M2 type Stats sans trop try hard l'exposé ?

Si t'as un bon niveau sur les écrits, l'avoir oui.
Un écrit blanc c'est 6h. Si tu te fais la main sur 12 écrits blancs comme en prépa-agreg, c'est 72h (disons 80h) de boulot.

Ajoute à ça le travail de l'épreuve de modélisation, disons 80h aussi.

Etre admis = avoir 8.1/20 de moyenne = avoir 40.5 pts au total.

Sur 3 épreuves, ça te demande de sortir 13.5 en moyenne par épreuve.
Si tu tires un 2 aux oraux en y allant à l'arrache avec un peu de plan, on tombe à 12 de moyenne sur écrits + modélisation.

Mais voilà, si tu n'es pas à l'aise sur les écrits, là il faudra prendre bien plus de temps pour le devenir et pour augmenter tes résultats.

Après, la question qui se pose c'est celle de l'intérêt de la chose. Si tu es chaud pour faire prof, passe l'agreg (maintenant ou le jour où tu voudras faire prof).
Sinon, c'est quand même beaucoup d'heures de boulot pour tirer juste une admission (une moyenne au concours basse avec 2 épreuves qui sont de gros crashs car pas préparées), et si tu pars faire des maths appliquées cela ne te servira à rien (à part te vanter en disant "je suis agrégé" mais en masquant bien ton rang et tes performances, mais à ce compte-là autant dire "je suis agrégé" sans avoir passé l'agreg, ça fera pareil car tu comptes sur le fait que l'on n'aille pas vérifier plus).

D'autant qu'à part le principe de base (quotienter par un polynôme irréductible) les corps finis ne demandent pas grand chose pour travailler dessus.

Bah la majorité des choses que tu dis en étudiant les corps finis c'est exactement des idées de théorie des corps, qui ne rajoute pas grand-chose de plus que des définitions plus générales (les types d'extensions, et voilà).
Vu que le cours de théorie des corps (s'arrêtant avant Galois) n'est pas bien long, c'est dommage de ne pas le faire pour avoir des bases bien jolies et donc se faire tranquilou les corps finis.
Pour moi c'est un peu comme faire tout un chapitre sur l'étude des ensembles R^n (vision ev) pour refaire l'étude des ev derrière. Parfois c'est bien de voir un cas plus simple avant de voir le cas général, mais là c'est déjà un cas pas si simple qui en fait utilise tous les outils (ou presque) du cas général, et où si tu veux dire plus t'as besoin de tous les outils du cas général.

Par rapport aux éléments d'algèbres sus-cités j'aurais personnellement mis le cours de théorie des corps en L3, où il a totalement sa place (comme dans d'autres cursus en maths) qu'en M1 (où là on peut bien pousser en théorie de Galois, en p-adique, en tout ce qu'on a envie qui va plus loin).

Pour le côté soucis chez les étudiants, le fait que dans la majorité des facs on ne fasse de la théorie des corps qu'en M1 doit probablement être un facteur limitant : bien moins de recul sur la chose.
Sinon, un peu comme la topologie, j'ai eu beaucoup de retours comme un genre de "bête noire", un truc vraiment mystique. Peut-être que le côté très abstrait des utilisations simples (les corps finis) donne un aspect de "jouet pour les gens perchés".
Sur ce sujet, quand les prépas-agreg manquent d'heures ou d'étudiants pour les préparations d'options, c'est en grande majorité l'option C qui manque (et aussi feu l'option D), cette option étant celle où les bases de théorie des corps et des bricoles de théorie des groupes sont vraiment présentes (avec pourtant des algos bien moins pénibles à coder qu'en options A ou B). Je ne sais pas ce qui motive les responsables de préparations à faire ce choix, mais en tout cas beaucoup l'ont fait et le maintiennent (même si le gros des étudiants en petite prépa-agreg n'est à l'aise ni en option A ni en option B).

Le 09 juin 2022 à 15:24:57 :

Le 09 juin 2022 à 11:03:10 :
C'est une histoire de partitionner les éléments de Z/nZ par leurs ordres, un élément d'ordre d est générateur du sous groupe dZ/nZ ou quelque chose comme ça.

Honnêtement je te conseille d'essayer d'assimiler cette preuve, qui est assez profonde et explique que cette égalité est presque triviale quand on interprète bien les choses.

L'idée c'est que chaque élément de Z/nZ engendre un groupe d'ordre d divisant n. Il n'est pas dur de voir que tous les Z/dZ sont sous-groupes de Z/nZ, et par définition, chaque Z/dZ admet phi(d) générateurs (il faut aussi vérifier que chaque Z/dZ est bien sous-groupe "une fois et une seule"). Partant :

n = card(Z/nZ) = somme_{k \in Z/nZ} de 1 = somme_{d divisant n} somme_{k engendre un groupe d'ordre d dans Z/nZ} de 1 = somme_{d divisant n} phi(d)

oui je l'ai lue aussi, elle explique mieux le résultat que la preuve avec le produit de convolution même si elle est plus longuehttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/39/3/1506524542-ruth-perplexev2.png

Le 08 juin 2022 à 17:51:44 :
C'est faisable d'avoir l'agreg en parallèle d'un M2 type Stats sans trop try hard l'exposé ?

C'est tout à fait possible d'avoir l'agreg avec un temps de préparation minimal. J'ai passé l'agreg sans faire d'année de préparation, j'estime à environ 4 semaines mon temps total de préparation. Mais il faut partir avec déjà un bon niveau de base, peu de lacunes et faire un travail efficace.

Mais le vrai problème sera administratif, si je ne dis pas de bêtises il faut être détenteur d'un M2 validé au premier jour des oraux, et la plupart des master non orienté enseignement ne délivrent le diplôme qu'en septembre/octobre.

Le 09 juin 2022 à 15:24:57 :

Le 09 juin 2022 à 11:03:10 :
C'est une histoire de partitionner les éléments de Z/nZ par leurs ordres, un élément d'ordre d est générateur du sous groupe dZ/nZ ou quelque chose comme ça.

Honnêtement je te conseille d'essayer d'assimiler cette preuve, qui est assez profonde et explique que cette égalité est presque triviale quand on interprète bien les choses.

L'idée c'est que chaque élément de Z/nZ engendre un groupe d'ordre d divisant n. Il n'est pas dur de voir que tous les Z/dZ sont sous-groupes de Z/nZ, et par définition, chaque Z/dZ admet phi(d) générateurs (il faut aussi vérifier que chaque Z/dZ est bien sous-groupe "une fois et une seule"). Partant :

n = card(Z/nZ) = somme_{k \in Z/nZ} de 1 = somme_{d divisant n} somme_{k engendre un groupe d'ordre d dans Z/nZ} de 1 = somme_{d divisant n} phi(d)

C'est pas les dZ/nZ les sous groupes de Z/nZ?

Et tout dépend la définition que tu prends de base pour phi(n), certains livres préfèrent directement présenter phi comme le nombre de génerateurs de Z/nZ, certains préfèrent le définir comme le nombre de racines primitives n-eme de l'unité, même si la plupart partent de la vraie définition :

Card{k dans N tels que1<k<n : k^n=1}.

Oui Velovole je crois que tu as raison
sur un exemple pour n=4 et d=2, Z/2Z = { {2k} , {2k+1}} donc ce n'est pas un sous groupe de Z/4Z = { {4k}, {4k+1}, {4k+2}, {4k+3}}
mais 2Z/4Z = { {4k}, {4k+2}} donc la ca colle

Le 09 juin 2022 à 19:18:58 :
Oui Velovole je crois que tu as raison

Dans la preuve sur la propriété des phi(d) qui utilise Z/nZ, l'argument principal c'est :
Soit m entier. Pour m=dk avec d diviseur de n (d=pgcd(m,n) ) et k premier avec n, l'ordre de m dans Z/nZ est d.

En combinant avec le théorème de Bézout, on peut voir que le m=dk est dans le groupe <d>=dZ/nZ, et donc qu'on a autant de sous-groupes de Z/nZ que de diviseurs de n. (et que ces sous-groupes sont cycliques à n/d éléments, donc isom à Z/(n/d)Z, et que les générateurs sont les éléments d'ordre exactement d, donc donc qu'on en a exactement phi(d)).

Bon courage à vous les kheys, en général les kheys du forum s’en sortent très bien

Et écoutez les conseils du khey Tympole, ils sont précieux vu son expe.

Le 09 juin 2022 à 19:18:58 :
Oui Velovole je crois que tu as raison
sur un exemple pour n=4 et d=2, Z/2Z = { {2k} , {2k+1}} donc ce n'est pas un sous groupe de Z/4Z = { {4k}, {4k+1}, {4k+2}, {4k+3}}
mais 2Z/4Z = { {4k}, {4k+2}} donc la ca colle

Evidemment à isomorphisme près hein

Tout élément engendre un groupe cyclique (par définition), donc un Z/kZ, et k doit diviser n puisque Lagrange. Donc les sous-groupes engendrés par des éléments de Z/nZ sont bien les Z/dZ, et il est facile de voir que tous les Z/dZ sont bien groupes "une fois et une seule".
L'argument le plus "subtil" est le fait que chacun de ces groupes ait phi(d) générateurs, mais au stade du cours où on pose cet exercice les équivalences des définitions sont données (pour moi phi(n) est présenté comme le nombre de nombres premiers avec n en général, et on raccroche vite les wagons avec le nombre de générateurs de Z/nZ).

Le 10 juin 2022 à 10:07:42 :

Le 09 juin 2022 à 19:18:58 :
Oui Velovole je crois que tu as raison
sur un exemple pour n=4 et d=2, Z/2Z = { {2k} , {2k+1}} donc ce n'est pas un sous groupe de Z/4Z = { {4k}, {4k+1}, {4k+2}, {4k+3}}
mais 2Z/4Z = { {4k}, {4k+2}} donc la ca colle

Evidemment à isomorphisme près hein

Tout élément engendre un groupe cyclique (par définition), donc un Z/kZ, et k doit diviser n puisque Lagrange. Donc les sous-groupes engendrés par des éléments de Z/nZ sont bien les Z/dZ, et il est facile de voir que tous les Z/dZ sont bien groupes "une fois et une seule".
L'argument le plus "subtil" est le fait que chacun de ces groupes ait phi(d) générateurs, mais au stade du cours où on pose cet exercice les équivalences des définitions sont données (pour moi phi(n) est présenté comme le nombre de nombres premiers avec n en général, et on raccroche vite les wagons avec le nombre de générateurs de Z/nZ).

oui à un isomorphisme près c'est vrai
je pensais que tu disais que c'était vraiment un sous-groupe

Le 10 juin 2022 à 10:07:42 :

Le 09 juin 2022 à 19:18:58 :
Oui Velovole je crois que tu as raison
sur un exemple pour n=4 et d=2, Z/2Z = { {2k} , {2k+1}} donc ce n'est pas un sous groupe de Z/4Z = { {4k}, {4k+1}, {4k+2}, {4k+3}}
mais 2Z/4Z = { {4k}, {4k+2}} donc la ca colle

Evidemment à isomorphisme près hein

Tout élément engendre un groupe cyclique (par définition), donc un Z/kZ, et k doit diviser n puisque Lagrange. Donc les sous-groupes engendrés par des éléments de Z/nZ sont bien les Z/dZ, et il est facile de voir que tous les Z/dZ sont bien groupes "une fois et une seule".
L'argument le plus "subtil" est le fait que chacun de ces groupes ait phi(d) générateurs, mais au stade du cours où on pose cet exercice les équivalences des définitions sont données (pour moi phi(n) est présenté comme le nombre de nombres premiers avec n en général, et on raccroche vite les wagons avec le nombre de générateurs de Z/nZ).

Comment ça à isomorphisme près

L'image d'un sous groupe par un isomorphisme c'est aussi un sous groupe dans l'espace d'arrivée hein

Le 07 juin 2022 à 09:59:30 :
Pour les agrégatifs : un compte twitter qui poste automatiquement des questions tirées des oraux de leçon : https://twitter.com/agregnancy
Et pour ceux qui sont dans le coin de Strasbourg/de l'Est de la France n'hésitez pas à assister à des oraux cette année, c'est très instructif

C'est nul sur ton Twitter ils donnent que les questions y a pas de correction

Le 10 juin 2022 à 11:08:01 :

Le 10 juin 2022 à 10:07:42 :

Le 09 juin 2022 à 19:18:58 :
Oui Velovole je crois que tu as raison
sur un exemple pour n=4 et d=2, Z/2Z = { {2k} , {2k+1}} donc ce n'est pas un sous groupe de Z/4Z = { {4k}, {4k+1}, {4k+2}, {4k+3}}
mais 2Z/4Z = { {4k}, {4k+2}} donc la ca colle

Evidemment à isomorphisme près hein

Tout élément engendre un groupe cyclique (par définition), donc un Z/kZ, et k doit diviser n puisque Lagrange. Donc les sous-groupes engendrés par des éléments de Z/nZ sont bien les Z/dZ, et il est facile de voir que tous les Z/dZ sont bien groupes "une fois et une seule".
L'argument le plus "subtil" est le fait que chacun de ces groupes ait phi(d) générateurs, mais au stade du cours où on pose cet exercice les équivalences des définitions sont données (pour moi phi(n) est présenté comme le nombre de nombres premiers avec n en général, et on raccroche vite les wagons avec le nombre de générateurs de Z/nZ).

Comment ça à isomorphisme près

L'image d'un sous groupe par un isomorphisme c'est aussi un sous groupe dans l'espace d'arrivée hein

il voulait dire par là que les sous-groupes dZ/nZ sont isomorphes à Z/(n/d)Z

Le 10 juin 2022 à 11:13:20 :

Le 10 juin 2022 à 11:08:01 :

Le 10 juin 2022 à 10:07:42 :

Le 09 juin 2022 à 19:18:58 :
Oui Velovole je crois que tu as raison
sur un exemple pour n=4 et d=2, Z/2Z = { {2k} , {2k+1}} donc ce n'est pas un sous groupe de Z/4Z = { {4k}, {4k+1}, {4k+2}, {4k+3}}
mais 2Z/4Z = { {4k}, {4k+2}} donc la ca colle

Evidemment à isomorphisme près hein

Tout élément engendre un groupe cyclique (par définition), donc un Z/kZ, et k doit diviser n puisque Lagrange. Donc les sous-groupes engendrés par des éléments de Z/nZ sont bien les Z/dZ, et il est facile de voir que tous les Z/dZ sont bien groupes "une fois et une seule".
L'argument le plus "subtil" est le fait que chacun de ces groupes ait phi(d) générateurs, mais au stade du cours où on pose cet exercice les équivalences des définitions sont données (pour moi phi(n) est présenté comme le nombre de nombres premiers avec n en général, et on raccroche vite les wagons avec le nombre de générateurs de Z/nZ).

Comment ça à isomorphisme près

L'image d'un sous groupe par un isomorphisme c'est aussi un sous groupe dans l'espace d'arrivée hein

il voulait dire par là que les sous-groupes dZ/nZ sont isomorphes à Z/(n/d)Z

Ah oui, je vois

Le 10 juin 2022 à 11:12:01 :

Le 07 juin 2022 à 09:59:30 :
Pour les agrégatifs : un compte twitter qui poste automatiquement des questions tirées des oraux de leçon : https://twitter.com/agregnancy
Et pour ceux qui sont dans le coin de Strasbourg/de l'Est de la France n'hésitez pas à assister à des oraux cette année, c'est très instructif

C'est nul sur ton Twitter ils donnent que les questions y a pas de correction

C'est pas mal pour voir des questions souvent un peu courtes sur des sujets très divers. Après, c'est une partie très annexe du travail de l'agreg, il y a pas mal d'éléments plus concrets à travailler.
Sur un groupe facebook d'agrégatifs ils reprennent les posts du bot twitter. D'un côté c'est sympa de voir des petits exos, de l'autre cela pollue énormément le fil des messages et noie totalement les messages intéressants. (sans compter les types qui trouvent ça bien de faire pareil de leur côté à poster leurs exos dont ils connaissent la solution en mode "alors, vous devinez la réponse ?" )

Mais pour les histoires d'identifier des groupes par isomorphismes naturels, habituez-vous à le faire, ça montre que vous avez de recul et tout mathématicien normal parlera de cette façon. Même si je n'ai pas passé l'agreg je pense que ce sera mieux vu de dire que les sous-groupes engendrés par les éléments de Z/nZ sont les Z/dZ que les dZ/nZ. Et c'est à la fois plus naturel et plus pratique.

up si vous avez des questions ou des exos n'hésitez pas

C'est bientôt vos oraux non?

perso je ne comprends pas bien l'utilité des produits direct et semi-direct sur un produit cartésien d'ensemblehttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/39/3/1506524542-ruth-perplexev2.png

Je ne pense pas que ce soit très utilehttps://image.noelshack.com/fichiers/2018/10/1/1520256134-risitasue2.png