[GENIE] Je m'ennuie, je réponds à vos questions de MATHS

Le 01 août 2021 à 19:51:33 :
quelles sont les critères pour pouvoir intervertir deux intégrales?

Si tu as une fonction qui est positive est assez régulière (techniquemet, mesurable par rapport à (x,y)), alors tu peux intervertir. Si on a cette régularité mais pas la positivité, on le peut faire l'interversion s'il se trouve que l'intégrale double de |f| est finie (intégrale qu'on peut calculer indifféremment dans un sens ou dans l'autre grâce au premier critère).

Ce sont les théorèmes de Fubini-Tonelli et Fubini.

Le 01 août 2021 à 19:54:38 :

Le 01 août 2021 à 19:51:33 :
quelles sont les critères pour pouvoir intervertir deux intégrales?

Si tu as une fonction qui est positive est assez régulière (techniquemet, mesurable par rapport à (x,y)), alors tu peux intervertir. Si on a cette régularité mais pas la positivité, on le peut faire l'interversion s'il se trouve que l'intégrale double de |f| est finie (intégrale qu'on peut calculer indifféremment dans un sens ou dans l'autre grâce au premier critère).

Ce sont les théorèmes de Fubini-Tonelli et Fubini.

validé

Comment résoudre de manière générale tB*M*B = c, où B est un vecteur de (Z/pZ)^n et M une matrice non diagonalisable ? (P est premier)

Le 01 août 2021 à 20:00:35 :
Comment résoudre de manière générale tB*M*B = c, où B est un vecteur de (Z/pZ)^n et M une matrice non diagonalisable ? (P est premier)

A part paraphraser ton problème en disant qu'il s'agit de formes quadratiques, je n'ai pas la solution qui poppe instantanément, et j'ai pas l'esprit à me creuser la tête ce soir. N'hésite pas à partager la solution si tu la connais et si tu le souhaites

Le 01 août 2021 à 20:04:37 :

Le 01 août 2021 à 20:00:35 :
Comment résoudre de manière générale tB*M*B = c, où B est un vecteur de (Z/pZ)^n et M une matrice non diagonalisable ? (P est premier)

A part paraphraser ton problème en disant qu'il s'agit de formes quadratiques, je n'ai pas la solution qui poppe instantanément, et j'ai pas l'esprit à me creuser la tête ce soir. N'hésite pas à partager la solution si tu la connais et si tu le souhaites

J’en ai pas, c’est pour ça que je demandaishttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496509864-feelsbadman.png

Le 01 août 2021 à 20:07:28 :

Le 01 août 2021 à 20:04:37 :

Le 01 août 2021 à 20:00:35 :
Comment résoudre de manière générale tB*M*B = c, où B est un vecteur de (Z/pZ)^n et M une matrice non diagonalisable ? (P est premier)

A part paraphraser ton problème en disant qu'il s'agit de formes quadratiques, je n'ai pas la solution qui poppe instantanément, et j'ai pas l'esprit à me creuser la tête ce soir. N'hésite pas à partager la solution si tu la connais et si tu le souhaites

J’en ai pas, c’est pour ça que je demandaishttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496509864-feelsbadman.png

Paix sur toihttps://image.noelshack.com/fichiers/2016/50/1482082001-jesusssssss.png

Ton avis sur 0^0 ?

Le 01 août 2021 à 20:15:45 :
Ton avis sur 0^0 ?

Ca vaut 1 car il existe une unique application de vide vers vide. C'est également le plus pratique quand on fait des séries entières. C'est juste que x^y n'est pas continu en (0,0), voilà tout.

1+5x6=36

Le 01 août 2021 à 20:25:39 :
1+5x6=36

x=7/6

Le 01 août 2021 à 20:23:43 :

Le 01 août 2021 à 20:15:45 :
Ton avis sur 0^0 ?

Ca vaut 1 car il existe une unique application de vide vers vide. C'est également le plus pratique quand on fait des séries entières. C'est juste que x^y n'est pas continu en (0,0), voilà tout.

J'ai vu qu'après avoir posé la question que c'était toi qui avait fait le topic sur plein de questions de math. Du coup je suis pas surpris de ta réponse

Le 01 août 2021 à 20:07:28 :

Le 01 août 2021 à 20:04:37 :

Le 01 août 2021 à 20:00:35 :
Comment résoudre de manière générale tB*M*B = c, où B est un vecteur de (Z/pZ)^n et M une matrice non diagonalisable ? (P est premier)

A part paraphraser ton problème en disant qu'il s'agit de formes quadratiques, je n'ai pas la solution qui poppe instantanément, et j'ai pas l'esprit à me creuser la tête ce soir. N'hésite pas à partager la solution si tu la connais et si tu le souhaites

J’en ai pas, c’est pour ça que je demandaishttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496509864-feelsbadman.png

Y a deux cas:
-soit il n'y a aucune solution
-soit il existe une solution B_0. Pour tout vecteur B_1, l'équation Ax^2+Bx+C=t(B_0+xB_1)M(B_0+xB_1)-c=0 est une équation polynomiale de degré au plus 2 en x qui admet x=0 comme racine, donc C=0 et si A est non-nul, l'autre solution est -B/A=-(tB_0MB_1+tB_1MB_0)/(tB_1MB_1).

D'autre part, si la dimension était 1, on pourrait tester s'il existe une solution par la loi de réciprocité quadratique, et trouver une telle solution par l'algorithme de Tonelli-Shanks.

Le 01 août 2021 à 19:40:28 :

Le 01 août 2021 à 19:38:44 :
Trouver tous les couples d’entiers (x,y) vérifiant :
1+2^x+2^(2x+1)=y^2

Je passe mais si tu veux partager la solution, je suis preneur

Si (x,y) est solution de cette équation, alors x doit être positif et (x,-y) est également solution de cette équation.
Pour x=0, viennent les solutions triviales (0,-2) et (0,2).

Considérons maintenant (x,y) solution de l’équation avec x>0 et, sans perte de généralité, y>0.
L’équation peut être réécrite comme suit :
2^x[1+2^(x+1)]=(y-1)(y+1)
On remarque que (y-1) er (y+1) sont tous les deux pairs et un des deux facteurs est divisible par 4. Il s’ensuit que x>2 et un de ces facteurs est divisible par 2^(x-1) mais pas par 2^x. On peut donc poser y=2^(x-1)*m + e avec m impair et e = ±1.

En réinjectant dans l’équation de base, on aboutit à
1-em=2^(x-2)[m^2-8]

Pour e=1, il n’y a pas de solution.
Pour e=-1, on aboutit à 1+m=2^(x-2)[m^2-8]>2[m^2-8]
qui implique 2m^2 - m - 17 < 0. Donc m<4 mais m ne peut être égale à 1 à cause de l’équation 1-em=2^(x-2)[m^2-8] et comme m est impair, on en déduit que m=3.
On en déduit par la suite toutes les solutions (x,y)

Qu'est-ce que représentent 6 millions de n'importe quoi? Je veux dire ça fait une taille minimum ?

Le 01 août 2021 à 20:28:01 :

Le 01 août 2021 à 20:23:43 :

Le 01 août 2021 à 20:15:45 :
Ton avis sur 0^0 ?

Ca vaut 1 car il existe une unique application de vide vers vide. C'est également le plus pratique quand on fait des séries entières. C'est juste que x^y n'est pas continu en (0,0), voilà tout.

J'ai vu qu'après avoir posé la question que c'était toi qui avait fait le topic sur plein de questions de math. Du coup je suis pas surpris de ta réponse

N'oublions pas l'hypothèse de sigma finitude pour fubini

En effet, il ne faut pas oublier la sigma-finitude pour Fubini. Contre-exemple typique : f(x,y)= indicatrice(x=y) avec la variable x où on met Lebesgue et celle sur y où on met la mesure de comptage sur R.

J'étais parti du principe que la question était tacitement posée pour x et y réels et la mesure étant Lebesgue, auquel cas la sigma-finitude est gratos.

Le 01 août 2021 à 20:38:43 :

Le 01 août 2021 à 20:07:28 :

Le 01 août 2021 à 20:04:37 :

Le 01 août 2021 à 20:00:35 :
Comment résoudre de manière générale tB*M*B = c, où B est un vecteur de (Z/pZ)^n et M une matrice non diagonalisable ? (P est premier)

A part paraphraser ton problème en disant qu'il s'agit de formes quadratiques, je n'ai pas la solution qui poppe instantanément, et j'ai pas l'esprit à me creuser la tête ce soir. N'hésite pas à partager la solution si tu la connais et si tu le souhaites

J’en ai pas, c’est pour ça que je demandaishttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496509864-feelsbadman.png

Y a deux cas:
-soit il n'y a aucune solution
-soit il existe une solution B_0. Pour tout vecteur B_1, l'équation Ax^2+Bx+C=t(B_0+xB_1)M(B_0+xB_1)-c=0 est une équation polynomiale de degré au plus 2 en x qui admet x=0 comme racine, donc C=0 et si A est non-nul, l'autre solution est -B/A=-(tB_0MB_1+tB_1MB_0)/(tB_1MB_1).

D'autre part, si la dimension était 1, on pourrait tester s'il existe une solution par la loi de réciprocité quadratique, et trouver une telle solution par l'algorithme de Tonelli-Shanks.

Ah, Motocultage, toujours aussi efficace

Le 01 août 2021 à 20:42:05 :
Qu'est-ce que représentent 6 millions de n'importe quoi? Je veux dire ça fait une taille minimum ?

Il n'y a pas de taille minimum. N'importe quel truc, tu peux en principe te le figurer comme 6 millions de "sixmillionnièmes". La physique au niveau atomique ou plus petit imposera peut-être des contraintes du genre "on ne peut rien considérer de plus petit que l'échelle de Planck" mais ça ne change pas grand chose : j'entends par là que dans un gramme de carbone, tu as environ 50 mille millions de millions de millions d'atomes de carbone, donc dans un tout petit espace, on peut faire tenir bien plus que 6 millions de trucs.

C'est pas facile d'imaginer vraiment ce que signifie "6 millions de quelque chose". En gros, c'est le nombre de bouteilles d'eau qu'il faut pour remplir deux piscines olympiques.

Le livre "Des milliards de tapis de cheveux" est un roman de SF très sympa. C'est cela avant toute chose. Mais il se trouve que ce livre développe par ailleurs quelque peu la capacité à se figurer des grands nombres de façon relativement concrète.

Le 01 août 2021 à 20:38:43 :

Le 01 août 2021 à 20:07:28 :

Le 01 août 2021 à 20:04:37 :

Le 01 août 2021 à 20:00:35 :
Comment résoudre de manière générale tB*M*B = c, où B est un vecteur de (Z/pZ)^n et M une matrice non diagonalisable ? (P est premier)

A part paraphraser ton problème en disant qu'il s'agit de formes quadratiques, je n'ai pas la solution qui poppe instantanément, et j'ai pas l'esprit à me creuser la tête ce soir. N'hésite pas à partager la solution si tu la connais et si tu le souhaites

J’en ai pas, c’est pour ça que je demandaishttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496509864-feelsbadman.png

Y a deux cas:
-soit il n'y a aucune solution
-soit il existe une solution B_0. Pour tout vecteur B_1, l'équation Ax^2+Bx+C=t(B_0+xB_1)M(B_0+xB_1)-c=0 est une équation polynomiale de degré au plus 2 en x qui admet x=0 comme racine, donc C=0 et si A est non-nul, l'autre solution est -B/A=-(tB_0MB_1+tB_1MB_0)/(tB_1MB_1).

D'autre part, si la dimension était 1, on pourrait tester s'il existe une solution par la loi de réciprocité quadratique, et trouver une telle solution par l'algorithme de Tonelli-Shanks.

C’est correct mais ça ne permet pas de déterminer l’ensemble des solutions puisqu’il faut itérer parmi les B1https://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496509864-feelsbadman.png
Je vais voir l’algo de Tonelli Shanks et la loi de réciprocité quadratique

Édit : Pourquoi pas pour Tonelli shanks mais excessif, on perd trop de temps à itérer parmi les B1. Idem pour l’autre propriété, p est petit dans mon cas

es-tu un ardent défenseur de l'hypothèse du continu ?https://image.noelshack.com/fichiers/2016/50/1481994659-mathematicienrisitas.png

Le 01 août 2021 à 21:07:03 :
es-tu un ardent défenseur de l'hypothèse du continu ?https://image.noelshack.com/fichiers/2016/50/1481994659-mathematicienrisitas.png

Je n'ai pas trop d'avis sur la question.

En lien avec Fubini de tout à l'heure : avec l'hypothèse du continu, on peut montrer que l'hypothèse "pour tout x, mesurable en y + pour tout y, mesurable en x" ne suffit pas pour intervertir. En effet, on peut alors mettre en bijection R avec le premier ordinal indénombrable, ce qui munit [0,1] d'un ordre chelou où pour tout x, {y : y<x} est dénombrable. La fonction indicatrice de {(x,y):x<y} est alors d'intégrale 1 dans un sens et 0 dans l'autre.

Après, je sais que la question de l'hypothèse du continu fait l'objet d'investigations, au-delà du thèorème d'indécidabilité dans ZFC. Par exemple, du côté de l'univers constructible de Gödel, etc. Mais mes connaissances autour de cela sont vagues.