[MATHS] Exercice de Centrale [À L'AIDE]

Pour la 2 il suffit de prouver pi_n <= n^n

Le 22 décembre 2020 à 15:09:09 CoutFixe a écrit :
Pour la 2 il suffit de prouver pi_n <= n^n

C'est pas suffisant hein, la série entière de terme général n! a déjà un rayon de convergence nul et n^n >>n!. Faut plutôt trouver un réel a tel que pi_n <a^n.

J'avais appris ça en L1 de fac de maths info c'est donc ça la prépa ?

moi non plus l'auteur je sais pas du tout où je voudrais en venir avec mon schéma l'auteur, juste j'aimes bien les schémas en math on a tout sous les yeux

c'est pas une nescessité pour moi d'étudier les mathématiques mais oui sûr j'aimes bien, là je regarde le coefficitent binomiale, j'ai re-regardé pour le mot , c'est super intéressant je comprends un peu mieux toutes les formules que j'ai vu dans les films ect

[15:03:28] <John_Coltrane>
Alors pour la question 1 moi je commencerais par me donner un entier naturel non-nul n, puis je regarderais les partitions d'un ensemble à (n+1) éléments, pour simplifier un peu je le mettrais en bijection avec [[1,n+1]].

Fixons le dernier élément (n+1), nous on cherche les partitions de [[1,n+1]] et on va décomposer toutes ces partitions possibles selon le nombre d'éléments dans la partie de la partition qui contient le dernier élément de la liste (donc (n+1)).

Une telle partie peut contenir 1 élément (donc seulement (n+1)), 2 éléments etc... jusqu'à (n+1) éléments (dans ce cas c'est la partition triviale qui correspond à [[1,n+1]] lui-même).

Formalisons un peu, avec les notations de ton exercice je vais noter A^(n+1)_{k} l'ensemble des partitions de [[1,n+1]] qui ont (k+1) (avec k entre 0 et n) éléments dans la partie qui contient l'élément (n+1).

Fixons un k entre 0 et n, se donner une partie A^(n+1)_{k} ça revient à choisir k éléments parmi les n différents de l'élément (n+1) qui seront dans la partie contenant l'élément (n+1), il y en a donc (k parmi n).

Chacune de ces (k parmi n) parties A^(n+1)_{k} s'écrit donc (une partie à k éléments + l'élément (n+1)) U (une partition constituée de (n-k) éléments restants). Elle admet donc pi_{n-k} partitions.

Ainsi donc, on obtient la relation de récurrence pi_{n+1} = Somme des (k parmi n) * pi_{n-k}, et un changement d'indice de sommation en utilisant la symétrie des coefficients binomiaux permet de conclure pour la question 1

Pi_(n- k) c'est le nombre de partitions qui ne contiennent pas n+1 ? et pourquoi dénombrer une union d'ensembles reviens à multiplier leur cardinal ?

Le 22 décembre 2020 à 15:04:33 ProtoKJ a écrit :

[15:00:49] <Lucien-Arpene>
Et après tu fais la 2 avec l'expression trouvée en 3 (c'est pas très reglo, mais ca marche bien de faire la question d'après au brouillon puis de s'en servir dans la question d'avant pour avoir le rayon de CV non nul)

Pas besoin, tu peux directement majorer pi_n par n!https://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496349456-thjghj.png

Toi t'es là mais la majoration elle est où ?

[15:11:59] <jeancommutatif>

Le 22 décembre 2020 à 15:09:09 CoutFixe a écrit :
Pour la 2 il suffit de prouver pi_n <= n^n

C'est pas suffisant hein, la série entière de terme général n! a déjà un rayon de convergence nul et n^n >>n!. Faut plutôt trouver un réel a tel que pi_n <a^n.

Si ça marche aussi, n! c'est pas si loin de n^n (pense à stirling)
Suffit d'utiliser d'alemberthttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496349456-thjghj.png

Bonne chance pour trouver ta majoration polynômiale d'ailleurshttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496349456-thjghj.png

[15:26:37] <NonAuxRelous>

Le 22 décembre 2020 à 15:04:33 ProtoKJ a écrit :

[15:00:49] <Lucien-Arpene>
Et après tu fais la 2 avec l'expression trouvée en 3 (c'est pas très reglo, mais ca marche bien de faire la question d'après au brouillon puis de s'en servir dans la question d'avant pour avoir le rayon de CV non nul)

Pas besoin, tu peux directement majorer pi_n par n!https://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496349456-thjghj.png

Toi t'es là mais la majoration elle est où ?

Tu veux dire la démonstration ?
Faudrait peut être laisser l'op réfléchir un peuhttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496349456-thjghj.png

Pi_(n- k) c'est le nombre de partitions qui ne contiennent pas n+1 ? et pourquoi dénombrer une union d'ensembles reviens à multiplier leur cardinal ?

Pour chaque partie A^(n+1)_{k} tu comptes les partitions. Il y a (k parmi n) parties A^(n+1)_{k}, et chacune engendre pi_{n-k} partitions, ce qui donne bien une contribution (k parmi n) * pi_{n-k}.

Pi_(n- k) c'est le nombre de partitions qui ne contiennent pas n+1 ?

J'ai repris les notations de ton exercice, pi_{n-k} c'est le nombre de partitions d'un ensemble à (n-k) éléments.

je commence à comprendre le coefficient binomiale après avoir relu 3-4 fois

c'est encore un peu troublehttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/26/6/1498945961-1484863415-00000233.jpg

Il y a pas grand chose à comprendre le coefficient binomial c'est simplement la quantité n!/k!(n-k)! là où elle est définie

Après il se trouve que cette quantité apparait dans un tas de problèmes combinatoires

Le 22 décembre 2020 à 15:38:23 John_Coltrane a écrit :
Il y a pas grand chose à comprendre le coefficient binomial c'est simplement la quantité n!/k!(n-k)! là où elle est définie

Après il se trouve que cette quantité apparait dans un tas de problèmes combinatoires

C'est mieux de définir le coefficient binomial k parmi n comme le nombre de façons de choisir k éléments parmi n, c'est plus naturel et ça te fait mieux comprendre l'objet que tu manipuleshttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496349456-thjghj.png

Le 22 décembre 2020 à 15:27:12 ProtoKJ a écrit :

[15:11:59] <jeancommutatif>

Le 22 décembre 2020 à 15:09:09 CoutFixe a écrit :
Pour la 2 il suffit de prouver pi_n <= n^n

C'est pas suffisant hein, la série entière de terme général n! a déjà un rayon de convergence nul et n^n >>n!. Faut plutôt trouver un réel a tel que pi_n <a^n.

Si ça marche aussi, n! c'est pas si loin de n^n (pense à stirling)
Suffit d'utiliser d'alemberthttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496349456-thjghj.png

Bonne chance pour trouver ta majoration polynômiale d'ailleurshttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496349456-thjghj.png

Mais ? t'as rien compris de ce que j'ai dit ? D'alembert montre immédiatement que le rayon de convergence de la série entière de terme général n! est nul, et Cauchy fait de même pour n^n.

Et une majoration de type a^n c'est tout sauf polynomial, c'est exponentiel.

Edit : Mea culpa, j'ai mal lu l'énoncé, je croyais que le terme général était de pi_n et pas pi_n/n! ...

Le 22 décembre 2020 à 15:40:17 jeancommutatif a écrit :

Le 22 décembre 2020 à 15:27:12 ProtoKJ a écrit :

[15:11:59] <jeancommutatif>

Le 22 décembre 2020 à 15:09:09 CoutFixe a écrit :
Pour la 2 il suffit de prouver pi_n <= n^n

C'est pas suffisant hein, la série entière de terme général n! a déjà un rayon de convergence nul et n^n >>n!. Faut plutôt trouver un réel a tel que pi_n <a^n.

Si ça marche aussi, n! c'est pas si loin de n^n (pense à stirling)
Suffit d'utiliser d'alemberthttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496349456-thjghj.png

Bonne chance pour trouver ta majoration polynômiale d'ailleurshttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496349456-thjghj.png

Mais ? t'as rien compris de ce que j'ai dit ? D'alembert montre immédiatement que le rayon de convergence de la série entière de terme général n! est nul, et Cauchy fait de même pour n^n.

Et une majoration de type a^n c'est tout sauf polynomial, c'est exponentiel.

lapsus pour le polynomial mais le fond reste le mêmehttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496349456-thjghj.png

((n+1)^(n+1)/(n+1)!*n!/n^n)x^(n+1)/x^n=(1+1/n)^nx tend vers exhttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496349456-thjghj.png
Donc le rayon de cv est au moins 1/ehttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496349456-thjghj.png

Un peu d'humilité ne te ferait pas de malhttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496349456-thjghj.png

C'est mieux de définir le coefficient binomial k parmi n comme le nombre de façons de choisir k éléments parmi n, c'est plus naturel et ça te fait mieux comprendre l'objet que tu manipuleshttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496349456-thjghj.png

Je trouve pas, justement c'est pas du tout clair que ce coefficient binomial soit le cardinal de la famille des applications associées à ce choix de k éléments parmi n, ça se démontre (en fin de sup en général) mais c'est pas trivial. Après il se trouve que c'est la bonne interprétation en effet, mais pour commencer la vision purement algébrique ne trompe jamais

Le 22 décembre 2020 à 15:44:02 ProtoKJ a écrit :

Le 22 décembre 2020 à 15:40:17 jeancommutatif a écrit :

Le 22 décembre 2020 à 15:27:12 ProtoKJ a écrit :

[15:11:59] <jeancommutatif>

Le 22 décembre 2020 à 15:09:09 CoutFixe a écrit :
Pour la 2 il suffit de prouver pi_n <= n^n

C'est pas suffisant hein, la série entière de terme général n! a déjà un rayon de convergence nul et n^n >>n!. Faut plutôt trouver un réel a tel que pi_n <a^n.

Si ça marche aussi, n! c'est pas si loin de n^n (pense à stirling)
Suffit d'utiliser d'alemberthttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496349456-thjghj.png

Bonne chance pour trouver ta majoration polynômiale d'ailleurshttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496349456-thjghj.png

Mais ? t'as rien compris de ce que j'ai dit ? D'alembert montre immédiatement que le rayon de convergence de la série entière de terme général n! est nul, et Cauchy fait de même pour n^n.

Et une majoration de type a^n c'est tout sauf polynomial, c'est exponentiel.

lapsus pour le polynomial mais le fond reste le mêmehttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496349456-thjghj.png

((n+1)^(n+1)/(n+1)!*n!/n^n)x^(n+1)/x^n=(1+1/n)^nx tend vers exhttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496349456-thjghj.png
Donc le rayon de cv est au moins ehttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496349456-thjghj.png

Un peu d'humilité ne te ferait pas de malhttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496349456-thjghj.png

La racine n-ième de n^n est n, qui tend vers l'infini donc le rayon de convergence est nul d'après le critère de Cauchy/Hadamard.
Si tu veux utiliser d'Alembert :
(n+1)^(n+1) /n^n = (n+1)*[1+1/n]^n qui tend vers l'infini (équivalent à e*n) et même résultat.

Mais comme je l'ai précisé message précédent on parle pas de la même chose à cause d'une erreur de lecture d'énoncé.

[15:46:04] <John_Coltrane>

C'est mieux de définir le coefficient binomial k parmi n comme le nombre de façons de choisir k éléments parmi n, c'est plus naturel et ça te fait mieux comprendre l'objet que tu manipuleshttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496349456-thjghj.png

Je trouve pas, justement c'est pas du tout clair que ce coefficient binomial soit le cardinal de la famille des applications associées à ce choix de k éléments parmi n, ça se démontre (en fin de sup en général) mais c'est pas trivial. Après il se trouve que c'est la bonne interprétation en effet, mais pour commencer la vision purement algébrique ne trompe jamais

Je trouve ça beaucoup plus clair de voir les propriétés élémentaires des coeffs binomiaux via des raisonnements combinatoires (typiquement, démontrer la formule de pascal avec la formule des factorielles ça t'apprend rien)

De même, sans parler de l'aspect combinatoire, la formule du binome de Newton a l'air de sortir de nulle part alors qu'avec cet aspect, ça devient presque "trivial"

Je trouve ça toujours fascinant de retrouver des formules combinatoires par des séries entières

[16:02:11] <TheLelouch4>
Je trouve ça toujours fascinant de retrouver des formules combinatoires par des séries entières

C'est vrai c'est super puissant cet outil quand mêmehttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/22/1496349456-thjghj.png