[MATHS] À l’aide, intégrales impropres

Le 08 mai 2023 à 13:30:27 :

Le 08 mai 2023 à 13:27:38 :
Bon courage khey, tu as quel âge si c'est pas indiscret ? T'as déjà fait des études scientfiques ?

Plus ou moins. J’ai fait prépa maths sup maths spé mais j’étais une quiche alors ça compte pas. Visiblement ça a pas trop changé

J’ai un cousin qui squatte mon compte JVC qui a fait une grande mines, ça compte ?

J’ai 27 sinon

T'as du courage, tu étais dans la vie active avant ?

C'est un grand classique.

Comme indiqué précédemment, on pose F(X)=int de 0 à x de f. On procède par intégration par parties. On se ramène à montrer que :

F(x)-1/x int de 0 à x de F(t)Dt converge vers 0.

Ça aussi c'est un classique, connu sous l'énoncé : si F est une fonction continue qui admet une limite en +inf, montrer que F(x)-1/x int de 0 à x de F(t)dt converge vers 0.

L'idée est d'écrire la limite en + inf avec des epsilon. Ça te dit qu'à partir d'un seuil A, ton F(t) est à epsilon près de ta limite.
Ensuite tu coupes l'intégrale (qui va jusqu'à x). La partie au-dessus de A se borne grâce à ta limite.
La partie qui vient avant s'en va naturellement quand tu prends la limite.

Le 08 mai 2023 à 13:30:27 :

Le 08 mai 2023 à 13:27:38 :
Bon courage khey, tu as quel âge si c'est pas indiscret ? T'as déjà fait des études scientfiques ?

Plus ou moins. J’ai fait prépa maths sup maths spé mais j’étais une quiche alors ça compte pas. Visiblement ça a pas trop changé

J’ai un cousin qui squatte mon compte JVC qui a fait une grande mines, ça compte ?

J’ai 27 sinon

Précisions : après un échec en maths sup maths spé, je me suis complètement réorienté en sociologie. Ça a bien marché mais j’aimerais compléter ma formation en Stats. Voilà

Si tu reviens à la définition de la limite avec des epsilon, ça sera plus facile à écrire.

Le 08 mai 2023 à 13:32:49 :
C'est un grand classique.

Comme indiqué précédemment, on pose F(X)=int de 0 à x de f. On procède par intégration par parties. On se ramène à montrer que :

F(x)-1/x int de 0 à x de F(t)Dt converge vers 0.

Ça aussi c'est un classique, connu sous l'énoncé : si F est une fonction continue qui admet une limite en +inf, montrer que F(x)-1/x int de 0 à x de F(t)dt converge vers 0.

L'idée est d'écrire la limite en + inf avec des epsilon. Ça te dit qu'à partir d'un seuil A, ton F(t) est à epsilon près de ta limite.
Ensuite tu coupes l'intégrale (qui va jusqu'à x). La partie au-dessus de A se borne grâce à ta limite.
La partie qui vient avant s'en va naturellement quand tu prends la limite.

Ah oui j’ai essayé sur ma feuille, je sens que ça va marcher. Merci aussi kheytrop galère à poster sur le forum par contre

Je poste aussi celui d.un autre khey qui m’a montré une solution plus simple pour ceux qui cherchent :

"Prend la valeur absolue, l 1/x int_{0}^{x} tf(t) dt l =< 1/x l int x f(t) dt l car l'intégrale de f existe.
Donc tu as ton intégrale qui t'intéresse entre 0 (valeur absolue) et l int f(t) dtl ça c'est une intégrale fonction de sa borne supérieure, c'est du F(x) - F(0) donc la limite en 0??"

Le 08 mai 2023 à 13:32:44 :

Le 08 mai 2023 à 13:30:27 :

Le 08 mai 2023 à 13:27:38 :
Bon courage khey, tu as quel âge si c'est pas indiscret ? T'as déjà fait des études scientfiques ?

Plus ou moins. J’ai fait prépa maths sup maths spé mais j’étais une quiche alors ça compte pas. Visiblement ça a pas trop changé

J’ai un cousin qui squatte mon compte JVC qui a fait une grande mines, ça compte ?

J’ai 27 sinon

T'as du courage, tu étais dans la vie active avant ?

Oui depuis 3 ans quasiment déjà

Cs sur sqrt(t) sqrt(t) f(t)

Le premier facteur est un grand ô de 1/x donc ça donne constante

Deuxième facteur

Tu majores t/x par 1,te reste une int de f(t)2/x et par primitivation ça tend vers 0

Le 08 mai 2023 à 13:38:04 :

Le 08 mai 2023 à 13:32:49 :
C'est un grand classique.

Comme indiqué précédemment, on pose F(X)=int de 0 à x de f. On procède par intégration par parties. On se ramène à montrer que :

F(x)-1/x int de 0 à x de F(t)Dt converge vers 0.

Ça aussi c'est un classique, connu sous l'énoncé : si F est une fonction continue qui admet une limite en +inf, montrer que F(x)-1/x int de 0 à x de F(t)dt converge vers 0.

L'idée est d'écrire la limite en + inf avec des epsilon. Ça te dit qu'à partir d'un seuil A, ton F(t) est à epsilon près de ta limite.
Ensuite tu coupes l'intégrale (qui va jusqu'à x). La partie au-dessus de A se borne grâce à ta limite.
La partie qui vient avant s'en va naturellement quand tu prends la limite.

Ah oui j’ai essayé sur ma feuille, je sens que ça va marcher. Merci aussi kheytrop galère à poster sur le forum par contre

Je poste aussi celui d.un autre khey qui m’a montré une solution plus simple pour ceux qui cherchent :

"Prend la valeur absolue, l 1/x int_{0}^{x} tf(t) dt l =< 1/x l int x f(t) dt l car l'intégrale de f existe.
Donc tu as ton intégrale qui t'intéresse entre 0 (valeur absolue) et l int f(t) dtl ça c'est une intégrale fonction de sa borne supérieure, c'est du F(x) - F(0) donc la limite en 0??"

Est-ce que tu as une version rédigée complètement de cette méthode ?

Parce que je ne vois pas (par exemple) pourquoi la limite de F en 0 intervient ici. Peut-être avais-je mal compris, mais il me semblait que la limite que tu prends est en +infini.

Le 08 mai 2023 à 13:38:04 :

Le 08 mai 2023 à 13:32:49 :
C'est un grand classique.

Comme indiqué précédemment, on pose F(X)=int de 0 à x de f. On procède par intégration par parties. On se ramène à montrer que :

F(x)-1/x int de 0 à x de F(t)Dt converge vers 0.

Ça aussi c'est un classique, connu sous l'énoncé : si F est une fonction continue qui admet une limite en +inf, montrer que F(x)-1/x int de 0 à x de F(t)dt converge vers 0.

L'idée est d'écrire la limite en + inf avec des epsilon. Ça te dit qu'à partir d'un seuil A, ton F(t) est à epsilon près de ta limite.
Ensuite tu coupes l'intégrale (qui va jusqu'à x). La partie au-dessus de A se borne grâce à ta limite.
La partie qui vient avant s'en va naturellement quand tu prends la limite.

Ah oui j’ai essayé sur ma feuille, je sens que ça va marcher. Merci aussi kheytrop galère à poster sur le forum par contre

Je poste aussi celui d.un autre khey qui m’a montré une solution plus simple pour ceux qui cherchent :

"Prend la valeur absolue, l 1/x int_{0}^{x} tf(t) dt l =< 1/x l int x f(t) dt l car l'intégrale de f existe.
Donc tu as ton intégrale qui t'intéresse entre 0 (valeur absolue) et l int f(t) dtl ça c'est une intégrale fonction de sa borne supérieure, c'est du F(x) - F(0) donc la limite en 0??"

Finalement je préfère ta solution khey parce que je trouve ça galère de montrer l’implication " , l 1/x int_{0}^{x} tf(t) dt l =< 1/x l int x f(t) dt l car l'intégrale de f existe. "

Merci !

Justement, en rédigeant, je vois que c’est pas si simple et que j’ai pas la limite en 0.

Tu peux peux être t'en sortir en dérivant ta fonction (la fonction avec l'intégrale étant derivable puisque primitive d'une fonction continue) et tomber sur une edp qui te permet de faire des trucs

Le 08 mai 2023 à 13:47:34 :

Le 08 mai 2023 à 13:38:04 :

Le 08 mai 2023 à 13:32:49 :
C'est un grand classique.

Comme indiqué précédemment, on pose F(X)=int de 0 à x de f. On procède par intégration par parties. On se ramène à montrer que :

F(x)-1/x int de 0 à x de F(t)Dt converge vers 0.

Ça aussi c'est un classique, connu sous l'énoncé : si F est une fonction continue qui admet une limite en +inf, montrer que F(x)-1/x int de 0 à x de F(t)dt converge vers 0.

L'idée est d'écrire la limite en + inf avec des epsilon. Ça te dit qu'à partir d'un seuil A, ton F(t) est à epsilon près de ta limite.
Ensuite tu coupes l'intégrale (qui va jusqu'à x). La partie au-dessus de A se borne grâce à ta limite.
La partie qui vient avant s'en va naturellement quand tu prends la limite.

Ah oui j’ai essayé sur ma feuille, je sens que ça va marcher. Merci aussi kheytrop galère à poster sur le forum par contre

Je poste aussi celui d.un autre khey qui m’a montré une solution plus simple pour ceux qui cherchent :

"Prend la valeur absolue, l 1/x int_{0}^{x} tf(t) dt l =< 1/x l int x f(t) dt l car l'intégrale de f existe.
Donc tu as ton intégrale qui t'intéresse entre 0 (valeur absolue) et l int f(t) dtl ça c'est une intégrale fonction de sa borne supérieure, c'est du F(x) - F(0) donc la limite en 0??"

Finalement je préfère ta solution khey parce que je trouve ça galère de montrer l’implication " , l 1/x int_{0}^{x} tf(t) dt l =< 1/x l int x f(t) dt l car l'intégrale de f existe. "

Merci !

Justement, en rédigeant, je vois que c’est pas si simple et que j’ai pas la limite en 0.

Ah c’est un biais de ma part aussi parce-que j’en m’attendais à une solution simple, étant la toute première question petit 1 petit a petit i de l’exercice.

Bah si x est suffisamment petit, tu peux majorer le contenu de ton intégral par epsilon (tf(t) tend vers 0 en 0 puisque f est continue donc bornée en 0) donc l'intégrale est inférieure à (epsilon*x) /x= epsilon
Avec epsilon aussi petit que tu veux
Donc ça semble assez évident ou alors je rate un truc en lisant les preuves alambiquée des autres post

Je rédige et je poste pour les curieux qui tomberaient sur le topic.

Le 08 mai 2023 à 13:57:17 :
Bah si x est suffisamment petit, tu peux majorer le contenu de ton intégral par epsilon (tf(t) tend vers 0 en 0 puisque f est continue donc bornée en 0) donc l'intégrale est inférieure à (epsilon*x) /x= epsilon
Avec epsilon aussi petit que tu veux
Donc ça semble assez évident ou alors je rate un truc en lisant les preuves alambiquée des autres post

En fait si j'ai bien compris la limite dans l'énoncé est à prendre en +inf. Ça colle avec l'hypothèse de supposer que l'intégrale (à priori impropre) de f existe sur R+. Et ça colle avec le contexte (chapitre des intégrales impropres).

Le 08 mai 2023 à 14:08:35 :

Le 08 mai 2023 à 13:57:17 :
Bah si x est suffisamment petit, tu peux majorer le contenu de ton intégral par epsilon (tf(t) tend vers 0 en 0 puisque f est continue donc bornée en 0) donc l'intégrale est inférieure à (epsilon*x) /x= epsilon
Avec epsilon aussi petit que tu veux
Donc ça semble assez évident ou alors je rate un truc en lisant les preuves alambiquée des autres post

En fait si j'ai bien compris la limite dans l'énoncé est à prendre en +inf. Ça colle avec l'hypothèse de supposer que l'intégrale (à priori impropre) de f existe sur R+. Et ça colle avec le contexte (chapitre des intégrales impropres).

C’est bien en +inf !

Ah dans ce cas un découpage semble plus logique en effet

D'ailleurs ça marche avec des fonctions plus générales genre exp(-x) int f(t) exp(t) ça devrait marcher aussi par exemple