[MATH] Comment on dérive ca ?

Tiens clé dsl c'est moche mais flemme de bouger du lit je suis sur PC :

df/dx = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h
df/dx = lim(h->0) [(1/2 * <Q(x+h);x+h> + <b;x+h>) - (1/2 * <Qx;x> + <b;x>)] / h
On développe le terme (1/2 * <Q(x+h);x+h> + <b;x+h>) = 1/2 * <Qx;x> + 1/2 * <Qh;h> + <b;x> + <b;h>
Sachant que : 1/2 * <Qh;h> = 1/2 * h^T * Qh
et : <b;h> = h^T * b
On a : lim(h->0) [(1/2 * <Qx;x> + 1/2 * h^T * Qh + <b;x> + h^T * b) - (1/2 * <Qx;x> + <b;x>)] / h

Ce qui donne :
df/dx = lim(h->0) [(1/2 * h^T * Qh + h^T * b) / h
= lim(h->0) [(1/2 * h^T * (Q + Q^T)) / h
= lim(h->0) [(1/2 * (Q + Q^T) * h) / h
= 1/2 * (Q + Q^T) * x + b
=Qx+b

CQFD

okay je viens de voir qu'un produit scalaire se dérive comme une multiplication donc c'est bidon

Le 06 janvier 2023 à 21:56:18 :

Le 06 janvier 2023 à 21:51:24 :

Le 06 janvier 2023 à 21:48:16 :
Je suis en L2 c'est normal que j'y bite rien ?

Niveau L2 moyen pourtant

J'ai pas vu les notations de l'application f en cours

T'es en L2 maths et t'as jamais vu un produit scalaire ? T'as pas d'analyse/topo ou d'algèbre bilinéaire ?
Quelle fac ?

donc en gros tu dérive comme un shlag comme une mutltiplication et en 1 ligne t'as le résultat

et ensuite tu dérive une deuxiéme fois donc t'as une matrice définie positive donc tu dis que c'est convexe ?

c'est aussi null que ça?

Le 06 janvier 2023 à 22:02:23 :
donc en gros tu dérive comme un shlag comme une mutltiplication et en 1 ligne t'as le résultat

et ensuite tu dérive une deuxiéme fois donc t'as une matrice définie positive donc tu dis que c'est convexe ?

c'est aussi null que ça?

En gros c'est ça, le "comme une multiplication" c'est juste un peu vite dit quoi

Le 06 janvier 2023 à 21:59:30 :

Le 06 janvier 2023 à 21:56:18 :

Le 06 janvier 2023 à 21:51:24 :

Le 06 janvier 2023 à 21:48:16 :
Je suis en L2 c'est normal que j'y bite rien ?

Niveau L2 moyen pourtant

J'ai pas vu les notations de l'application f en cours

T'es en L2 maths et t'as jamais vu un produit scalaire ? T'as pas d'analyse/topo ou d'algèbre bilinéaire ?
Quelle fac ?

Je suis pas en maths je suis en physique. J'ai eu de l'analyse et de l'algèbre linéaire mais pas de topo ni de bilinéaire

C’est une fonction de Rd
Reprends ta définition de gradient en fonction des coordonnées

Reviens à la définition de la différentielle et exhibe une partie linéaire c'est le plus simple plutôt que de partir sur les dérivées partielles

J'ai rouillé en maths depuis le temps.
Mais dans mes souvenirs quand tu n'arrives pas à déterminer une différentielle tu peux essayer de retourner à la définition. La différentielle de f en x doit être une forme linéaire qui vérifie f(x+h)-f(x)= Df(x)(h)+o(h) donc on va calculer cette différence. (Je me débarrasse du 1/2).
On a
f(x+h)= <qx+qh | x+h> + <b | x+h> = <qx|x>+<qx |h> + <qh |x> + <qh|h>+<b|x> + <b|h>

Donc f(x+h)-f(x)= <qx |h> + <qh |x> + <qh|h> + <b|h>
Dans cette somme, on a un truc linéaire en h : <qx |h> + <qh |x> + <b|h>
Et un dernier terme, <qh|h>. Si on montre que ce dernier terme est du o(h) on aura montré que le truc linéaire en h est la différentielle.
Or par Cauchy Schwarz |<qh|h>| < ||qh|| ||h|| donc c'est bien du o(h).
Donc Df(x)(h)= <qx |h> + <qh |x> + <b|h> = 2<qx,h>+<b,h> (car q symétrique)=<2qx+b,h>.
Donc Df(x)= 2qx+b.

Voilà, y a peut-être des erreurs car je suis plus totalement sûr de la déf de différentielle mais ça doit être grosso modo ce que tu peux faire.