[TOPOLOGIE] Exercice L3 Maths

Un khey a posé la question a chatgpt c'est juste ou pas ?

[23:59:04] <People_Hid>

Le 11 décembre 2022 à 23:50:22 :

Le 11 décembre 2022 à 23:48:52 protokj a écrit :

[23:45:35] <People_Hid>

Le 11 décembre 2022 à 23:44:34 :
Tu trouves rien sur stackexchange ? https://image.noelshack.com/fichiers/2022/37/1/1663014384-ahi-pince-mais.png

c'est quoi? https://image.noelshack.com/fichiers/2022/38/5/1663951771-indespite.png
edit: ça n'a pas l'air d'être un site très fréquenté, j'aurai pas de réponse rapide à mon avis https://image.noelshack.com/fichiers/2022/38/5/1663951771-indespite.png

Cherche ton énoncé en anglais + "stackexchange" sur google, si ton énoncé est un truc usuel d'autres gens se sont posés la question avant toi https://image.noelshack.com/fichiers/2022/38/5/1663951771-indespite.png

Yep, check ça https://math.stackexchange.com/questions/3753933/showing-that-if-the-boundary-of-a-set-is-connected-then-the-closure-is-connecte

Ça montre que l'adhérence de A est connexe et je crois que ça implique que A est connexe.

j'ai l'impression qu'il montre que si A est connexe alors son adhérence est connexe. Moi je veux montrer que si la frontière de A est connexe alors A est connexe, c'est pas pareil https://image.noelshack.com/fichiers/2022/38/5/1663951771-indespite.png

Il montre fr(A) connexe => A barre connexe
Je me demande à quoi sert l'hypothèse de connexité de X dans ton énoncé, peut être que tu en as besoin pour montrer A connexe au lieu de A barre je sais pas trop

Le 12 décembre 2022 à 00:01:40 :
Preuve : Par contradiction, supposons que A soit déconnexe. Alors, il existe deux sous-ensembles disjoints A1 et A2 de A tels que A = A1 U A2.

Par conséquent, il existe un point p € X tel que p € (A1 \ A2) ou p € (A2 \ A1).

Si p € (A1 \ A2), alors p est un point de la frontière de A qui appartient à A1 mais pas à A2. De même, si p € (A2 \ A1), alors p est un point de la frontière de A qui appartient à A2 mais pas à A1.

Ce qui contredit le fait que la frontière de A est connexe.

Donc, A est connexe.

J'y avais pensé. Mais tout ensemble de plus de 2 éléments peut s'écrire comme réunion disjointe de deux ensembles, non? Donc c'est pas dû au fait que A ne soit pas connexe.https://image.noelshack.com/fichiers/2022/38/5/1663951771-indespite.png

Le 12 décembre 2022 à 00:03:05 :

[23:59:04] <People_Hid>

Le 11 décembre 2022 à 23:50:22 :

Le 11 décembre 2022 à 23:48:52 protokj a écrit :

[23:45:35] <People_Hid>

> Le 11 décembre 2022 à 23:44:34 :

>Tu trouves rien sur stackexchange ?https://image.noelshack.com/fichiers/2022/37/1/1663014384-ahi-pince-mais.png

c'est quoi?https://image.noelshack.com/fichiers/2022/38/5/1663951771-indespite.png
edit: ça n'a pas l'air d'être un site très fréquenté, j'aurai pas de réponse rapide à mon avishttps://image.noelshack.com/fichiers/2022/38/5/1663951771-indespite.png

Cherche ton énoncé en anglais + "stackexchange" sur google, si ton énoncé est un truc usuel d'autres gens se sont posés la question avant toihttps://image.noelshack.com/fichiers/2022/38/5/1663951771-indespite.png

Yep, check ça https://math.stackexchange.com/questions/3753933/showing-that-if-the-boundary-of-a-set-is-connected-then-the-closure-is-connecte

Ça montre que l'adhérence de A est connexe et je crois que ça implique que A est connexe.

j'ai l'impression qu'il montre que si A est connexe alors son adhérence est connexe. Moi je veux montrer que si la frontière de A est connexe alors A est connexe, c'est pas pareilhttps://image.noelshack.com/fichiers/2022/38/5/1663951771-indespite.png

Il montre fr(A) connexe => A barre connexe
Je me demande à quoi sert l'hypothèse de connexité de X dans ton énoncé, peut être que tu en as besoin pour montrer A connexe au lieu de A barre je sais pas trop

le problème c'est que le fait que A barre soit connexe n'implique pas que A soit connexe donc ça ne me sert à rien a priori

Il est important de noter que la frontière d'un ensemble A est le complémentaire de l'intérieur d'A dans X, c'est-à-dire la frontière de A est l'ensemble des points x de X tels que x est soit dans A, soit dans l'intérieur de A.

Considérons maintenant un espace métrique connexe (X,d). Si la frontière de A est connexe, alors cela signifie que pour tous les points x et y dans la frontière de A, il existe un chemin continu de x à y dans la frontière de A.

En utilisant le fait que la frontière de A est le complémentaire de l'intérieur de A, nous pouvons montrer que pour tous les points x dans A et pour tous les points y dans l'intérieur de A, il existe un chemin continu de x à y dans A. En effet, considérons un point x dans A et un point y dans l'intérieur de A. Comme y est dans l'intérieur de A, il existe un voisinage ouvert U de y tel que U est entièrement contenu dans l'intérieur de A. Comme x est dans A, il existe également un voisinage ouvert V de x tel que V est entièrement contenu dans A. Comme X est connexe, il existe un chemin continu de x à y dans X. Comme ce chemin est continu et est entièrement contenu dans X, il ne peut pas quitter l'ensemble A, ce qui signifie qu'il est entièrement contenu dans A. Ainsi, il existe un chemin continu de x à y dans A.

Cela montre que pour tous les points x dans A et pour tous les points y dans l'intérieur de A, il existe un chemin continu de x à y dans A. Comme A est connexe si et seulement si pour tous les points x et y dans A, il existe un chemin continu de x à y dans A, nous en déduisons que si la frontière de A est connexe, alors A est connexe.

[00:06:24] <People_Hid>

Le 12 décembre 2022 à 00:01:40 :
Preuve : Par contradiction, supposons que A soit déconnexe. Alors, il existe deux sous-ensembles disjoints A1 et A2 de A tels que A = A1 U A2.

Par conséquent, il existe un point p € X tel que p € (A1 \ A2) ou p € (A2 \ A1).

Si p € (A1 \ A2), alors p est un point de la frontière de A qui appartient à A1 mais pas à A2. De même, si p € (A2 \ A1), alors p est un point de la frontière de A qui appartient à A2 mais pas à A1.

Ce qui contredit le fait que la frontière de A est connexe.

Donc, A est connexe.

J'y avais pensé. Mais tout ensemble de plus de 2 éléments peut s'écrire comme réunion disjointe de deux ensembles, non? Donc c'est pas dû au fait que A ne soit pas connexe.https://image.noelshack.com/fichiers/2022/38/5/1663951771-indespite.png

il manque "ouvert"
Et puis la suite n'a aucun sens j'ai l'impression (déjà A2\A1 et A1\A2 c'est juste A2 et A1 vu qu'ils sont disjoints), soit je suis trop fatigué soit c'est du openai vide de sens

[00:08:41] <People_Hid>

Le 12 décembre 2022 à 00:03:05 :

[23:59:04] <People_Hid>

Le 11 décembre 2022 à 23:50:22 :

Le 11 décembre 2022 à 23:48:52 protokj a écrit :

>[23:45:35] <People_Hid>

>> Le 11 décembre 2022 à 23:44:34 :

>>Tu trouves rien sur stackexchange ? https://image.noelshack.com/fichiers/2022/37/1/1663014384-ahi-pince-mais.png

>

>c'est quoi? https://image.noelshack.com/fichiers/2022/38/5/1663951771-indespite.png

>edit: ça n'a pas l'air d'être un site très fréquenté, j'aurai pas de réponse rapide à mon avis https://image.noelshack.com/fichiers/2022/38/5/1663951771-indespite.png

Cherche ton énoncé en anglais + "stackexchange" sur google, si ton énoncé est un truc usuel d'autres gens se sont posés la question avant toi https://image.noelshack.com/fichiers/2022/38/5/1663951771-indespite.png

Yep, check ça https://math.stackexchange.com/questions/3753933/showing-that-if-the-boundary-of-a-set-is-connected-then-the-closure-is-connecte

Ça montre que l'adhérence de A est connexe et je crois que ça implique que A est connexe.

j'ai l'impression qu'il montre que si A est connexe alors son adhérence est connexe. Moi je veux montrer que si la frontière de A est connexe alors A est connexe, c'est pas pareil https://image.noelshack.com/fichiers/2022/38/5/1663951771-indespite.png

Il montre fr(A) connexe => A barre connexe
Je me demande à quoi sert l'hypothèse de connexité de X dans ton énoncé, peut être que tu en as besoin pour montrer A connexe au lieu de A barre je sais pas trop

le problème c'est que le fait que A barre soit connexe n'implique pas que A soit connexe donc ça ne me sert à rien a priori

Oui c'est pour ça que je dis qu'on doit sûrement utiliser l'hypothèse de connexité de X quelque part (pour construire un raisonnement différent)

Ca me semble faux ton truc
Je prends pour A l'union de deux boules ouvertes de l'espace métrique connexe R^2 telles que l'union des boules fermées ait un unique point commun (genre deux boules de rayon 1, l'une de centre (0,1) et l'autre de centre (2,1), le point en commun c'est (1,1))

A n'est pas connexe (par définition, c'est l'union de deux ouverts disjoints)
Par contre, la frontière c'est l'union des cercles, qui est bien connexe.
Je manque un truc ?

je vais réfléchir 2 min, un instant l'ophttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/15/1492340491-jesus32.png

Le 12 décembre 2022 à 00:34:04 :
Ca me semble faux ton truc
Je prends pour A l'union de deux boules ouvertes de l'espace métrique connexe R^2 telles que l'union des boules fermées ait un unique point commun (genre deux boules de rayon 1, l'une de centre (0,1) et l'autre de centre (2,1), le point en commun c'est (1,1))

A n'est pas connexe (par définition, c'est l'union de deux ouverts disjoints)
Par contre, la frontière c'est l'union des cercles, qui est bien connexe.
Je manque un truc ?

bien vu, il manque une hypothèsehttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/15/1492340491-jesus32.png

Le 12 décembre 2022 à 00:37:08 :
je vais réfléchir 2 min, un instant l'ophttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/15/1492340491-jesus32.png

ahi t'as l'air deter toihttps://image.noelshack.com/fichiers/2022/38/5/1663951771-indespite.png

Pour montrer que A est connexe, nous devons montrer que pour tous x, y dans A, il existe un chemin continu de x à y dans A.

Si la frontière de A est connexe, alors il existe un chemin continu de x à y dans la frontière de A. Parce que X est connexe et A est inclus dans X, il existe un chemin continu de x à y dans X. Combinant ces deux chemins, nous obtenons un chemin continu de x à y dans A, ce qui prouve que A est connexe.

En résumé, parce que la frontière de A est connexe, nous pouvons trouver un chemin continu de x à y à l'intérieur de la frontière de A, et parce que X est connexe, nous pouvons également trouver un chemin continu de x à y dans X. Combinant ces deux chemins, nous pouvons trouver un chemin continu de x à y dans A, ce qui montre que A est connexe.

il y a un problème avec l'énoncé comme le montre l'exemple plus hauthttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/15/1492340491-jesus32.png

Le 12 décembre 2022 à 00:34:04 :
Ca me semble faux ton truc
Je prends pour A l'union de deux boules ouvertes de l'espace métrique connexe R^2 telles que l'union des boules fermées ait un unique point commun (genre deux boules de rayon 1, l'une de centre (0,1) et l'autre de centre (2,1), le point en commun c'est (1,1))

A n'est pas connexe (par définition, c'est l'union de deux ouverts disjoints)
Par contre, la frontière c'est l'union des cercles, qui est bien connexe.
Je manque un truc ?

putain je suis con désolé khey, j'étais persuadé que la proposition était vrai parce que je l'avais vue sur un forum de maths mais la consigne de l'exo c'est de dire si la proposition était juste ou fausse, et j'étais persuadé qu'elle était justehttps://image.noelshack.com/fichiers/2022/38/5/1663951771-indespite.png

Le 12 décembre 2022 à 00:44:26 :

Le 12 décembre 2022 à 00:34:04 :
Ca me semble faux ton truc
Je prends pour A l'union de deux boules ouvertes de l'espace métrique connexe R^2 telles que l'union des boules fermées ait un unique point commun (genre deux boules de rayon 1, l'une de centre (0,1) et l'autre de centre (2,1), le point en commun c'est (1,1))

A n'est pas connexe (par définition, c'est l'union de deux ouverts disjoints)
Par contre, la frontière c'est l'union des cercles, qui est bien connexe.
Je manque un truc ?

putain je suis con désolé khey, j'étais persuadé que la proposition était vrai parce que je l'avais vue sur un forum de maths mais la consigne de l'exo c'est de dire si la proposition était juste ou fausse, et j'étais persuadé qu'elle était justehttps://image.noelshack.com/fichiers/2022/38/5/1663951771-indespite.png

tout ça pour ça

Le 12 décembre 2022 à 00:46:50 :

Le 12 décembre 2022 à 00:44:26 :

Le 12 décembre 2022 à 00:34:04 :
Ca me semble faux ton truc
Je prends pour A l'union de deux boules ouvertes de l'espace métrique connexe R^2 telles que l'union des boules fermées ait un unique point commun (genre deux boules de rayon 1, l'une de centre (0,1) et l'autre de centre (2,1), le point en commun c'est (1,1))

A n'est pas connexe (par définition, c'est l'union de deux ouverts disjoints)
Par contre, la frontière c'est l'union des cercles, qui est bien connexe.
Je manque un truc ?

putain je suis con désolé khey, j'étais persuadé que la proposition était vrai parce que je l'avais vue sur un forum de maths mais la consigne de l'exo c'est de dire si la proposition était juste ou fausse, et j'étais persuadé qu'elle était justehttps://image.noelshack.com/fichiers/2022/38/5/1663951771-indespite.png

tout ça pour ça

il a quand même trouvé le contre-exemple nécessaire à la résolution de l'exercice. Je me sens bien con, désolé encore les kheys. Je me fiais à ce topic d'un aurtre forum qui disait que la proposition était vraie https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/996543#Comment_996543

J'avais commencé à regarder au brouillon j'avais ça avant de voir qu'il y a des contre-exemples évidents :

X connexe métrique
A C X de frontière connexe
Toute g continue Fr(A) -> {0;1} est constante
Supposons A non connexe : A = A1 U A2 avec A1 et A2 disjoints
Il existe h continue sur A : h(A1) = 0 et h(A2) = 1
On prolonge continûment h(/A1) = 0 et h(/A2) = 1 si les adhérences sont disjointes => contradiction car alors il existe g continue Fr(A) -> {0;1} est non constante
Si les adhérences ne sont pas disjointes il existe m € /A1 U /A2
donc l'adhérence de A est connexe par arcs donc l'adhérence de A est connexe

Le 12 décembre 2022 à 00:50:36 :

Le 12 décembre 2022 à 00:46:50 :

Le 12 décembre 2022 à 00:44:26 :

Le 12 décembre 2022 à 00:34:04 :
Ca me semble faux ton truc
Je prends pour A l'union de deux boules ouvertes de l'espace métrique connexe R^2 telles que l'union des boules fermées ait un unique point commun (genre deux boules de rayon 1, l'une de centre (0,1) et l'autre de centre (2,1), le point en commun c'est (1,1))

A n'est pas connexe (par définition, c'est l'union de deux ouverts disjoints)
Par contre, la frontière c'est l'union des cercles, qui est bien connexe.
Je manque un truc ?

putain je suis con désolé khey, j'étais persuadé que la proposition était vrai parce que je l'avais vue sur un forum de maths mais la consigne de l'exo c'est de dire si la proposition était juste ou fausse, et j'étais persuadé qu'elle était justehttps://image.noelshack.com/fichiers/2022/38/5/1663951771-indespite.png

tout ça pour ça

il a quand même trouvé le contre-exemple nécessaire à la résolution de l'exercice. Je me sens bien con, désolé encore les kheys. Je me fiais à ce topic d'un aurtre forum qui disait que la proposition était vraie https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/996543#Comment_996543

ah donc tu dois connaitre l'individu fin de partie et sa boucle sur ce forum de mathshttps://image.noelshack.com/fichiers/2017/15/1492340491-jesus32.png

Le 12 décembre 2022 à 00:40:01 :
Pour montrer que A est connexe, nous devons montrer que pour tous x, y dans A, il existe un chemin continu de x à y dans A.

Si la frontière de A est connexe, alors il existe un chemin continu de x à y dans la frontière de A. Parce que X est connexe et A est inclus dans X, il existe un chemin continu de x à y dans X. Combinant ces deux chemins, nous obtenons un chemin continu de x à y dans A, ce qui prouve que A est connexe.

En résumé, parce que la frontière de A est connexe, nous pouvons trouver un chemin continu de x à y à l'intérieur de la frontière de A, et parce que X est connexe, nous pouvons également trouver un chemin continu de x à y dans X. Combinant ces deux chemins, nous pouvons trouver un chemin continu de x à y dans A, ce qui montre que A est connexe.

Premier golem qui confond connexité et connexité par arcshttps://image.noelshack.com/fichiers/2022/38/5/1663951771-indespite.png

Le 12 décembre 2022 à 00:50:36 :

Le 12 décembre 2022 à 00:46:50 :

Le 12 décembre 2022 à 00:44:26 :

Le 12 décembre 2022 à 00:34:04 :
Ca me semble faux ton truc
Je prends pour A l'union de deux boules ouvertes de l'espace métrique connexe R^2 telles que l'union des boules fermées ait un unique point commun (genre deux boules de rayon 1, l'une de centre (0,1) et l'autre de centre (2,1), le point en commun c'est (1,1))

A n'est pas connexe (par définition, c'est l'union de deux ouverts disjoints)
Par contre, la frontière c'est l'union des cercles, qui est bien connexe.
Je manque un truc ?

putain je suis con désolé khey, j'étais persuadé que la proposition était vrai parce que je l'avais vue sur un forum de maths mais la consigne de l'exo c'est de dire si la proposition était juste ou fausse, et j'étais persuadé qu'elle était juste https://image.noelshack.com/fichiers/2022/38/5/1663951771-indespite.png

tout ça pour ça

il a quand même trouvé le contre-exemple nécessaire à la résolution de l'exercice. Je me sens bien con, désolé encore les kheys. Je me fiais à ce topic d'un aurtre forum qui disait que la proposition était vraie https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/996543#Comment_996543

J'espère que ça t'a permis de développer ton intuition topologique, c'est le but après tout https://image.noelshack.com/fichiers/2022/38/5/1663951771-indespite.png