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Le 20 novembre 2022 à 09:17:50 :
Soit g un élément de G. On a gSg^{-1}=S. Or, S est un 5-sous-groupe de Sylow.

Donc gSg^{-1} est aussi un 5-sous-groupe de Sylow. Or, S est unique, donc g est dans le noyau de N(S).

Or, N(S) est S\cup SgS. Donc g est dans S ou dans SgS. Or, SgS=g^{-1}Sg. Donc g est dans S ou dans Sg. Or, Sg=g^{-1}Sg=S. Il en résulte que g est dans S.

trivial.

Ahi, jamais entendu parler du "noyau de N(S)"https://image.noelshack.com/fichiers/2020/31/4/1596129454-ahi-fondu.png
En plus, ta première affirmation je ne comprends pas pourquoi elle est vraie.

C'est quoi le cardinal de gSg^(-1) à ton avis ?

Le 20 novembre 2022 à 09:24:24 :
C'est quoi le cardinal de gSg^(-1) à ton avis ?

5, mais c'est pas clair pourquoihttps://image.noelshack.com/fichiers/2020/31/4/1596129454-ahi-fondu.png

x -> gxg^(-1) est bijective

Le 20 novembre 2022 à 09:26:10 dimFinie a écrit :
x -> gxg^(-1) est bijective

Ok, ça me vahttps://image.noelshack.com/fichiers/2020/31/4/1596129454-ahi-fondu.png
Il me manque que gSg^-1 est un sous groupe, ce sera donc un 5-Sylow donc égal à l'unique 5-Sylowhttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/11/1/1615833199-enormeculmanger.png

On va dire que la conjugaison des éléments d'un groupe conserve sa structurehttps://image.noelshack.com/fichiers/2020/31/4/1596129454-ahi-fondu.png

Cimer les kheys, j'ai été mauvaise languehttps://image.noelshack.com/fichiers/2020/31/4/1596129454-ahi-fondu.png

D'ailleurs plus généralement tu peux montrer de toute façon qu'un sous groupe d'indice 2 dans un groupe (pas forcément fini) est distingué.

Le 20 novembre 2022 à 09:30:07 dimFinie a écrit :
D'ailleurs plus généralement tu peux montrer de toute façon qu'un sous groupe d'indice 2 dans un groupe (pas forcément fini) est distingué.

On verra ça peut-être plus tard, j'ai déjà bien sué du cul pour cette question de basehttps://image.noelshack.com/fichiers/2018/10/1/1520256134-risitasue2.png

Le 20 novembre 2022 à 09:17:31 :
Et donc oui gSg^-1 est encore un sg d'ordre 5 donc un 5-sylow. Pourquoi????

Bon je tente ma propre explication dis moi si je dis de la merde s'il te plaît.

La définition du 5-sylow un sous-groupe maximal au sens de l'inclusion qui contient tous les éléments d'ordre 5
Du coup comme pour y dans gSg^-1 on a l'existence de x tel que y = gxg^-1

D'où y^5 = y = (gxg^-1)(gxg^-1)(gxg^-1)(gxg^-1)(gxg^-1) = gx^5g^-1 = g.g^-1 = 1 (comme x est dans S)
Donc tous les éléments de gSg^-1 sont d'ordre 5, il est de même cardinal que S et comme il n'y a que 1 5-Sylow dans ce cas c'est bien S.

Incomplet ? Pabon ? Arguments inutiles ?

Bon ça fait un bail que j'ai pas fait de théorie des groupes
Une autre de façon, moins obscure de le voir l'auteur, c'est que tu as un 5-sylow unique, comme c'est un 5-sylow alors pour tous ses éléments (h) il existe n tel que h*....*h=e (opération de groupe 5^n fois et e c'est le neutre), de plus c'est le plus "gros" groupe contenant ces éléments h qui vérifie cette propriété.
Quand tu prends un élément de G et que tu regardes son action sur H, donc gHg(-1) et bien ce nouvel ensemble va aussi vérifier la propriété en haut, car les g(-1) se neutralisent avec les g lors de l'opération, et donc ça restera un 5-groupe (https://fr.wikipedia.org/wiki/P-groupe) aussi, de plus le cardinal de ce nouveau groupe reste le même que celui de H, car ghg(-1)=gkg(-1) implique h=k. Donc c'est un 5-groupe de même cardinal que H, donc c'est un 5-sylow, et comme on a supposé que H était l'unique 5-sylow alors gHg(-1) c'est H.