[MATHS] est-ce que le hasard existe ?
Le 18 juin 2022 à 17:17:07 :
Mercredi prochain, j’ai un oral sur ça et je sais pas quoi dire(chui nul en maths)
franchement je vois pas ce que tu peux dire sans que ça soit hardcore, tu vas pas parler de théorie du chaos, alors juste parle de probabilité, de comment on peut tenter de prédire des évènements ou jsp
Voilà en gros comment je présenterais ton sujet moisax
Commencer paradoxalement par dire que "le hasard n'existe pas" (plutôt que faire thèse antithèse on va dans l'ordre inverse). En effet, en réfléchissant à chaque cas de situations dues au hasard au quotidien, on se dit que si les résultats ne sont pas prédictibles a priori, c'est seulement dû à une incapacité de calcul de la part de l'être humain (si je jette une pièce à pile ou face, en analysant rigoureusement avec quelle force je la lance et en prenant en compte exactement les frottements de l'air on devrait se dire qu'on peut savoir où elle va tomber, idem pour un lancer de dé, et en allant très loin, toute situation pourrait dans l'absolu se déduire de l'état initial de l'univers et des lois physiques en étudiant tous les encastrements d'atomes qui auraient mené inévitablement à la situation dans laquelle nous sommes, déterminée donc dès le départ, de la même façon que le "chaos" des trajectoires de boules de billard en lançant la boule blanche est dans l'absolu complétement déterminé par la manière exacte dont on lance la boule. Ce qu'on appellerait abusivement le "hasard" viendrait de ce que le problème est insaisissable mathématiquement, tant à cause de l'infinie complexité des calculs qui n'admettent pas de solution analytique (en gros "non approchée", ou "sans formule explicite") que de la méconnaissance de paramètres (qui n'est en fait qu'une conséquence de la première raison)
Mais évidemment, on va go méca Q et dire "EH NON LES SHILLS"
Bon, vu que tu n'as pas l'air de t'y intéresser plus que ça (d'où le topic, no offense kheyou je t'aide de façon pragmatique), et que de toute façon niveau lycée on ne peut pas faire grand chose d'autre que se branler en société en disant "chat de Schrödinger gngngneu vous connaissez j'ai vu une vidéo", retiens simplement l'histoire : en observant les particules élémentaires on a remarqué que plein de choses totalement folles se passaient (expérience des fentes d'Young pour prendre la plus célèbre), que donc les lois de la mécanique classique ne marchaient pas pour les éléments extrêmement petits, et qu'un problème en particulier a retenu notre attention : observer le système modifie le résultat final.
On s'est donc posé la question : est-ce dû à un phénomène supérieur qu'on ne peut pas expliquer ou est-ce que le résultat des expériences est dû au hasard ? Faute de mieux la théorie quantique a postulé la seconde hypothèse (on ne peut pas déterminer la position d'une particule mais seulement jauger la probabilité qu'elle se trouve dans une certaine région de l'espace).
Pour savoir si le "faute de mieux" est en fait la réalité, un type qui s'appelait Bell a fait des calculs abstraits en imaginant une expérience et en disant que, si la théorie était déterministe, certaines inégalités devraient être respectées en respectant l'expérience.
Quelques décennies plus tard, un scientifique nommé Alain Aspect a pu produire les expériences imaginées en laboratoire et miracle : les inégalités de Bell étaient violées. Ce qui signifie exactement que si, le hasard existe. L'idée naïve selon laquelle "tout est déterminé si on connait l'état initial de l'univers et qu'on analyse comment les particules élémentaires se sont rentrées les unes dans les autres pour en arriver là" est fausse : l'univers "éternue" en permanence, et ce n'est pas parce qu'on ne connait pas la loi physique qui mène à ces phénomènes qu'on considère qu'ils sont dus au hasard, j'insiste : on a bien DÉMONTRÉ qu'ils étaient effectivement dus au hasard
(Mais pour aller plus loin il faut parler du rôle de l'hypothèse de la science : car une théorie quantique alternative proposée par Bohm et déterministe existe. Mais cette discussion nous mènerait loin et tes descos de profs capesiens n'en sauront sûrement pas beaucoup plus)
On a répondu à la question "dans l'absolu" mais maintenant on peut quand même dire "comment saisir le hasard en sciences ?".
Deux approches.
La première est fréquentiste. Le hasard se quantifie en répétant une expérience un grand nombre de fois et en comptant la fréquence d'apparition de chaque résultat. Elle ne repose pas sur une abstraction et ne permet a priori pas d'être prédictive, mais est censée servir de parangon de ce que doit être une bonne approche du hasard : le concept de probabilité doit coller à celui de fréquence lorsqu'on répète une expérience un très grand nombre de fois.
(Ce qui signifie entre autres que des questions de merde type "quelle est la probabilité que nous soyons la seule planète dotée de formes de vie humaines" n'ont aucun sens : l'univers est formé et déterminé et on ne peut pas reproduire l'expérience
Mais en maths on a choisi d'approcher le hasard autrement grâce à un certain monsieur qui s'appelle Kolmogorov.
Quelle est sa réponse ?
"Le hasard, on s'en branle"
La base de la théorie des probabilités, qu'est-ce que c'est ? Donner des "tailles relatives" au nombre d'occurrences d'un phénomène par rapport à tous les univers et tous les possibles.
Je sais que cette phrase n'est pas forcément claire, mais j'invite à y méditer. La théorie des probabilités ne définit absolument JAMAIS le mot hasard. Elle n'est qu'une sous-théorie d'une autre théorie appelée "théorie de la mesure" qui est en gros "l'art de donner une taille aux objets" (que ce soit calculer l'aire d'un objet en deux dimensions, le volume en trois dimensions, ou ce qui nous intéresse plus en probabilités, la manière dont se répartissent les valeurs de certaines fonctions : en maths au lycée tu as vu des fonctions, en t'intéressant essentiellement à leurs valeurs données en tous les x, en théorie de la mesure/des probabilités on se fout totalement de leur valeur prise en chaque x, mais on s'intéresse à toutes les questions du type "quelle est la longueur de l'ensemble pour lequel la fonction est supérieure à deux").
En théorie des probabilités, on considère des FONCTIONS (comme celles que tu connais, les f qui à x associent f(x)), sauf qu'au lieu d'être définies sur R elles sont définis sur un ensemble dont on se branle totalement, et qu'on appelle espace probabilisé, qui représente en gros "l'ensemble de toutes les situations possibles dans tous les univers possibles". Le hasard serait caché ici mais on s'en fout totalement. L'espace probabilisé c'est un ensemble comme un autre duquel on n'a besoin de rien connaitre lorsqu'on travaille sur les variables aléatoires (qui sont je rappelle des fonctions -qu'on note souvent X- DÉFINIES sur l'espace probabilisé : à un élément a de l'espace probabilisé, j'associe un nombre X(a), de la même façon que les fonctions que tu connais partent d'un élément x de R pour associer f(x)).
Ce qui fait qu'on se branle totalement de l'espace de probabilité c'est ce que j'ai dit avant : notre point de vue n'est pas de savoir ce que valent tous les X(a) -parce que ça nécessiterait évidemment de connaitre les a, censés représenter chacun une réalité possible je rappelle-, mais uniquement la manière dont ils sont répartis
Quand on joue à pile ou face et qu'on te dit "Soit X la variable aléatoire qui vaut 1 si pile et 0 si face", X est bien une fonction malgré son nom de "variable".
Elle est définie sur quoi ? Un espace probabilisé (dont on se cogne).
Ce qui compte c'est les résultats et la manière dont ils se répartissent. Quand je lance une pièce à pile ou face, c'est comme si je calculais X(a) pour un certain a de l'espace probabilisé en gros.
Mais ce qui est important n'est pas de savoir ce que va produire comme résultat le tirage dans chaque réalité possible comme on le sait : on ne sait même pas à quoi ressemble l'ensemble de toutes les réalités possibles et on s'en cogne. On veut juste savoir que la moitié des cas donneront 1 et l'autre moitié donneront 0. Tu t'intéresses bien uniquement à une REPARTITION. La théorie des probabilités n'est pas, contrairement à ce qu'on peut croire, la théorie qui définit le hasard pour l'anticiper, mais simplement l'art de quantifier des répartitions de fonctions.
En résumé 
-Les golemix vont dire "hihihi le hasard existe pas c'est juste qu'on est pas assez fort pour trouver le résultat d'un dé mais en analysant le vent la force du lancer et le poids du dé on trouverait à coup sûr comment le lancer avec la bonne trajectoire pour avoir 6"
-Les mêmes golemix ont été détrompés par notre théorie quantique actuelle qui montre que si, le hasard existe, et indépendamment du fait que "on sait pas faire les calculs" ou "on connait juste pas encore un phénomène physique qui expliquerait les phénomènes aléatoires" : on a démontré que le hasard existait vraiment, contrairement à ce que disait Einstein avec son "Dieu ne joue pas aux dés"
-Mais que le hasard existe ou non, on s'en branle en maths, et dans l'absolu on peut considérer qu'il n'existe pas (en fait, c'est bien ce qui me semble le plus important du pavé, il n'existe pas en sciences, dans le sens où il n'a pas de définition). C'est un concept utile philosophiquement mais qui n'est pas défini rigoureusement. L'axiomatique des probabilités n'est en rien une axiomatique du hasard.
La science du hasard n'est qu'un sous-cas de la théorie de la mesure qui est la science des répartitions, ou plus généralement, l'art de "donner une taille" à certains objets
-Le critère qui guide notre intuition en probabilités et en fait autre chose qu'une théorie abstraite est celui de l'approche fréquentiste : si comme j'ai dit on "quantifie le nombre relatif d'apparitions des résultats d'une expérience réalisée dans chacune des réalités possibles", il est normal qu'en faisant l'expérience un grand nombre de fois on s'approche de cette répartition théorique.
Le miracle des probabilités, c'est que même en ne définissant jamais "le hasard", et en partant de définitions purement abstraites et particulièrement simples, on parvient à démontrer qu'on retombe bien sur l'approche fréquentiste : répéter un grand nombre de fois l'expérience amène la probabilité théorique. Ce résultat qui semble simpliste est d'une extrême difficulté démonstrative et s'appelle la loi des grands nombres
-Je dirais donc que "le hasard comme on l'entend philosophiquement existe à cause de la théorie quantique", mais qu'il n'existe pas à proprement parler en sciences car les sciences du hasard ne parlent jamais de hasard, et s'appuient beaucoup plus sur celui de moyenne car elles sont des sciences de la répartition
Mais considérer ça comme un bon sujet (c'est juste une discussion épistémologique, aucune science là-dedans) en dit beaucoup sur la catastrophe qu'est ce grand oral de merde
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