[MATHS] les espaces VECTORIELS normés c'est STYLÉ MAIS

Le 11 novembre 2021 à 21:44:55 :

Le 11 novembre 2021 à 21:42:29 :

Le 11 novembre 2021 à 21:40:34 :

Le 11 novembre 2021 à 21:38:34 :
Exemple extremement concret : le compressed sensing.
C'est un ensemble de techniques purement mathématiques qui sont au coeur des algorithmes qui permettent, entre autres, de faire tourner des IRM en reconstruisant les images selon des méthodes bien précises.

Le compressed sensing c'est un problème d'optimisation (cf mon VDD) qui consiste à minimiser une norme 0.
On minimise la norme 0 en régularisant le problème en un certain sens -> on se ramène à minimiser une norme 1.

Toute la théorie repose sur des considérations de ce genre + des probabilités.
Toute la théorie s'exprime en ayant recours intensivement à ces notions de bases.

Donc ce sont plutôt des ingénieurs en informatique qui vont utiliser les espaces vectoriels normés ? https://image.noelshack.com/fichiers/2021/45/4/1636651020-img-20211111-181618.jpg

Non les ingénieurs en informatique ils font de l'informatique.
Par contre ce sont bien des mathématiciens qui ont crée cette théorie et les techniques qui vont avec.
Les informaticiens eux ont implémentés et améliorés les algos

Je suis informaticien et franchement c'est que des maths appliqués. Donc oui on a besoin de connaitre comment tout ça fonctionne. Tu peux pas t'amuser à implémenter un truc que tu comprends pas. Encore plus quand tu fais une thèse.

Alors khey y a informaticien et informaticien, et l'immense majorité des informaticiens ne font pas ca.

Le 11 novembre 2021 à 21:46:05 :

Deuxième exemple, la théorie KPZ de Martin Hairer.
Il a développé une théorie révolutionnaire qui lui a valu la médaille Fields qui permettent de donner du sens à des EDP stochastiques.
Une des idées fondamentale est que la norme en p-variation finie est la topologie idéale pour exprimer de tels problèmes. Il construit une théorie qui relie explicitement des familles de normes avec, par exemple d'un point de vue très concret, le nombre de calculs nécessaires à prendre en compte pour résoudre des EDP.

Aya y a vraiment un fanboy des chemins rugueux sur JVC j'aurais tout vuhttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png

L'élitenthttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png

Le 11 novembre 2021 à 21:47:41 :

Le 11 novembre 2021 à 21:45:34 :

Le 11 novembre 2021 à 21:38:34 :
Exemple extremement concret : le compressed sensing.
C'est un ensemble de techniques purement mathématiques qui sont au coeur des algorithmes qui permettent, entre autres, de faire tourner des IRM en reconstruisant les images selon des méthodes bien précises.

Le compressed sensing c'est un problème d'optimisation (cf mon VDD) qui consiste à minimiser une norme 0.
On minimise la norme 0 en régularisant le problème en un certain sens -> on se ramène à minimiser une norme 1.

Toute la théorie repose sur des considérations de ce genre + des probabilités.
Toute la théorie s'exprime en ayant recours intensivement à ces notions de bases.

C'est intéressant et demander en R&D/entreprise ?

Oui et oui

Ok merci

C'est quoi les chemins rugueux ? https://image.noelshack.com/fichiers/2021/45/4/1636651020-img-20211111-181618.jpg

Une théorie récente en probabilités autour des équations différentielles partielles stochastiques, j'aurais du mal à en dire plus c'est pas mon rayon je suis plutôt du côté des probabilités discrètes et de l'Algèbrehttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png

Les EVN sont un concept mathématique de base qui permet de fonder plein de trucs plus complexes qui ont leur utilité, c'est la base de la topo et ça sert dans la plupart des domaines. Si on généralise un peu les EVN, les espace préhilbertiens (et plus précisément les espace de Hilbert) sont l'un des concepts fondamentaux de la physique quantique qui a une infinité d'applications aujourd'hui (lasers, processeurs, chimie quantique donc médicaments...).

Les maths sont inutiles toute seul. Tout les théorème, loi, sont utilisé pour expliquer, décrire, prévoir des phénomènes que ce soit en physique ou biologie.

Le 11 novembre 2021 à 21:49:44 :

C'est quoi les chemins rugueux ? https://image.noelshack.com/fichiers/2021/45/4/1636651020-img-20211111-181618.jpg

Une théorie récente en probabilités autour des équations différentielles partielles stochastiques, j'aurais du mal à en dire plus c'est pas mon rayon je suis plutôt du côté des probabilités discrètes et de l'Algèbrehttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png

Pour être tout à fait exact, la théorie des chemins rugueux c'est pour les équations différentielles dites controllées et stochastiqueshttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png
La théorie des structures de régularité de Martin Hairer se construit au dessus de la théorie des chemins rugeux pour l'étendre au cas des EDP (dont KPZ)https://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png
Mais il se pourrait que la théorie des chemins rugueux influence aussi les chercheurs en machine learning du fait de certaines propriétés de la dite signature d'un chemin.https://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png
Les golems ne sont clairement pas prêtshttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png

Si la norme associée à ton espace vectoriel le rend complet, tu as un espace de Hilbert (tu n'as même pas besoin d'être en dimension finie).

Les espaces de Hilbert sont utilisés pour de la classification à l'aide d'hyperplans en machine learning, pour faire des familles multi-résolutions comme les bases d'ondelettes (très très utilisé en compression et en débruitage, par exemple certaines normes de fichiers utilisent ces concepts, comme le jpeg).

En soit l'étude de ces espaces n'est pas obligatoire pour pouvoir utiliser ou développer les outils dont je te parle, mais ça peut faciliter énormément de choses. Dans le cas des ondelettes, le changement de base se fait très, très, très facilement, plus facilement qu'une décomposition dans une base de Fourier, et ça parce qu'on sait maintenant comment ça marche.

Ça peut servir en problème d'optimisation dans l'axiomatique Zermolo-Frankel, notamment sur des problématiques d'optimalité de solutions algorithmiques

Oui, il y a la norme L0, L1 et L2 très utilisés en machine learning ou en stat via des régressions

Et évaluer les normes est très pratique pour des calcul informatiques

Les golems ne sont clairement pas prêtshttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png

Tu m'as l'air prêt pour les premiers mois de l'ouverture du coffre Mathématiquehttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png

Le seras-tu pour la Conscience des Surfaces de Riemann et le Soulèvement des Algèbres Vertex ?https://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png

Le 11 novembre 2021 à 21:52:36 :
Si la norme associée à ton espace vectoriel le rend complet, tu as un espace de Hilbert (tu n'as même pas besoin d'être en dimension finie).

Les espaces de Hilbert sont utilisés pour de la classification à l'aide d'hyperplans en machine learning, pour faire des familles multi-résolutions comme les bases d'ondelettes (très très utilisé en compression et en débruitage, par exemple certaines normes de fichiers utilisent ces concepts, comme le jpeg).

Non, on a un espace de Banach, pas un espace de Hilbert (pour avoir un espace de Hilbert il faut que avoir un produit scalaire en plus d'une norme, par exemple L^2 est un espace de Hilbert mais L^3 est un espace de Banach sans être un espace de Hilbert)

Le 11 novembre 2021 à 21:52:19 RoughPath a écrit :

Le 11 novembre 2021 à 21:49:44 :

C'est quoi les chemins rugueux ? https://image.noelshack.com/fichiers/2021/45/4/1636651020-img-20211111-181618.jpg

Une théorie récente en probabilités autour des équations différentielles partielles stochastiques, j'aurais du mal à en dire plus c'est pas mon rayon je suis plutôt du côté des probabilités discrètes et de l'Algèbrehttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png

Pour être tout à fait exact, la théorie des chemins rugueux c'est pour les équations différentielles dites controllées et stochastiqueshttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png
La théorie des structures de régularité de Martin Hairer se construit au dessus de la théorie des chemins rugeux pour l'étendre au cas des EDP (dont KPZ)https://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png
Mais il se pourrait que la théorie des chemins rugueux influence aussi les chercheurs en machine learning du fait de certaines propriétés de la dite signature d'un chemin.https://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png
Les golems ne sont clairement pas prêtshttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png

Mais tu fais quoi en fait, t'as fais ton doctorat dessus ou en math fonda ils voient ça ? Je n'ai fais qu'un M2 de math appliqué

Le 11 novembre 2021 à 21:54:34 :

Le 11 novembre 2021 à 21:52:36 :
Si la norme associée à ton espace vectoriel le rend complet, tu as un espace de Hilbert (tu n'as même pas besoin d'être en dimension finie).

Les espaces de Hilbert sont utilisés pour de la classification à l'aide d'hyperplans en machine learning, pour faire des familles multi-résolutions comme les bases d'ondelettes (très très utilisé en compression et en débruitage, par exemple certaines normes de fichiers utilisent ces concepts, comme le jpeg).

Non, on a un espace de Banach, pas un espace de Hilbert (pour avoir un espace de Hilbert il faut que avoir un produit scalaire en plus d'une norme, par exemple L^2 est un espace de Hilbert mais L^3 est un espace de Banach sans être un espace de Hilbert)

Oui pardon un produit scalaire qui définit une norme. Bon ça enlève pas l'essence de ce que j'ai dit.

Le 11 novembre 2021 à 21:56:49 GalaxyA71 a écrit :

Le 11 novembre 2021 à 21:54:34 :

Le 11 novembre 2021 à 21:52:36 :
Si la norme associée à ton espace vectoriel le rend complet, tu as un espace de Hilbert (tu n'as même pas besoin d'être en dimension finie).

Les espaces de Hilbert sont utilisés pour de la classification à l'aide d'hyperplans en machine learning, pour faire des familles multi-résolutions comme les bases d'ondelettes (très très utilisé en compression et en débruitage, par exemple certaines normes de fichiers utilisent ces concepts, comme le jpeg).

Non, on a un espace de Banach, pas un espace de Hilbert (pour avoir un espace de Hilbert il faut que avoir un produit scalaire en plus d'une norme, par exemple L^2 est un espace de Hilbert mais L^3 est un espace de Banach sans être un espace de Hilbert)

Oui pardon un produit scalaire qui définit une norme. Bon ça enlève pas l'essence de ce que j'ai dit.

Il ne faut pas être sur un convexe pour que ce soit un hilbert ?

Le 11 novembre 2021 à 21:54:33 :

Les golems ne sont clairement pas prêtshttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png

Tu m'as l'air prêt pour les premiers mois de l'ouverture du coffre Mathématiquehttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png

Le seras-tu pour la Conscience des Surfaces de Riemann et le Soulèvement des Algèbres Vertex ?https://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png

Pas encore mais je compte bien m'y mettre car j'en aurai besoin pour diagonaliser la matrice des 7 péchés capitauxhttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png

Le 11 novembre 2021 à 21:55:55 :

Le 11 novembre 2021 à 21:52:19 RoughPath a écrit :

Le 11 novembre 2021 à 21:49:44 :

C'est quoi les chemins rugueux ? https://image.noelshack.com/fichiers/2021/45/4/1636651020-img-20211111-181618.jpg

Une théorie récente en probabilités autour des équations différentielles partielles stochastiques, j'aurais du mal à en dire plus c'est pas mon rayon je suis plutôt du côté des probabilités discrètes et de l'Algèbrehttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png

Pour être tout à fait exact, la théorie des chemins rugueux c'est pour les équations différentielles dites controllées et stochastiqueshttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png
La théorie des structures de régularité de Martin Hairer se construit au dessus de la théorie des chemins rugeux pour l'étendre au cas des EDP (dont KPZ)https://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png
Mais il se pourrait que la théorie des chemins rugueux influence aussi les chercheurs en machine learning du fait de certaines propriétés de la dite signature d'un chemin.https://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png
Les golems ne sont clairement pas prêtshttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png

Mais tu fais quoi en fait, t'as fais ton doctorat dessus ou en math fonda ils voient ça ? Je n'ai fais qu'un M2 de math appliqué

Avec des potes on taf sur le debug du coffre mathématiqueshttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png

Le 11 novembre 2021 à 21:49:44 :

C'est quoi les chemins rugueux ? https://image.noelshack.com/fichiers/2021/45/4/1636651020-img-20211111-181618.jpg

Une théorie récente en probabilités autour des équations différentielles partielles stochastiques, j'aurais du mal à en dire plus c'est pas mon rayon je suis plutôt du côté des probabilités discrètes et de l'Algèbrehttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png

Proba et algèbre ? Tu peux donner un exemple ?

Le 11 novembre 2021 à 21:56:49 :

Le 11 novembre 2021 à 21:54:34 :

Le 11 novembre 2021 à 21:52:36 :
Si la norme associée à ton espace vectoriel le rend complet, tu as un espace de Hilbert (tu n'as même pas besoin d'être en dimension finie).

Les espaces de Hilbert sont utilisés pour de la classification à l'aide d'hyperplans en machine learning, pour faire des familles multi-résolutions comme les bases d'ondelettes (très très utilisé en compression et en débruitage, par exemple certaines normes de fichiers utilisent ces concepts, comme le jpeg).

Non, on a un espace de Banach, pas un espace de Hilbert (pour avoir un espace de Hilbert il faut que avoir un produit scalaire en plus d'une norme, par exemple L^2 est un espace de Hilbert mais L^3 est un espace de Banach sans être un espace de Hilbert)

Oui pardon un produit scalaire qui définit une norme. Bon ça enlève pas l'essence de ce que j'ai dit.

Tous les produits scalaire définissent une norme, mais l'inverse est faux (donc tous les espaces de Hilbert sont de Banach mais pas l'inverse). Mais oui, sur le reste, tu as raison bien sûr.
Ça m'a d'ailleurs rappelé une application basique des espaces de Hilbert mais ô combien importante : l'analyse harmonique. C'est tellement élémentaire qu'on n'y fait plus attention mais j'ai toujours été impressionné par la puissance des théories de Fourier pour les applications en physique et en ingénierie.

pour du calcul vectoriel peut être ?
Avec applications : ODE, PDE, SDE, calcul matriciel et j'en passe

Proba et algèbre ? Tu peux donner un exemple ?

Oui je fais des matrices aléatoires et des trucs comme l'étude des algèbres de Grassmann pour construire des représentations intégrales sur des fonctionnelles matricielles, ou encore des représentations du groupe symétrique pour étudier des marches aléatoires sur ce dernier.https://image.noelshack.com/fichiers/2021/43/4/1635454847-elton-john-tison-golem.png