[MATHS] Longueur d'une courbe sur une intervalle

ah oui, juste pour le préciser:
[f^n(x)]' = n*f'(x)*[f(x)]^(n-1)
donc [f²(x)]' = 2f'f, pas l'autre truc que tu as mis.

Le 14 juin 2021 à 13:27:53 :

Le 14 juin 2021 à 13:25:05 :

Le 14 juin 2021 à 13:20:57 :

Le 14 juin 2021 à 13:02:59 :
Plus interessant tu peux verifier aussi que la longueur d'un demi cercle est pi avec f(x)=sqrt(1-x^2) pour x allant de -1 à 1...

Ton idée elle est vraiment bien mais du coup y'a un blocage niveau calcul :
Partons de f(x)=sqrt(1+x^2) je me dois donc d'utiliser ma formule ∫ sqrt(1+f'(x)^2)
Je commence donc par déterminer f'(x)^2 : f(x) est de la forme sqrt(u), donc f'(x)= u'/2*sqrt(u)
f'(x)=-2x/2*sqrt(1-x^2) donc f'(x)^2=(4x^2)/(4-4x^2)
Donc je reviens a ma formule de départ et je remplace, ca donne: ∫ sqrt(1+(4x^2)/(4-4x^2))
∫ sqrt(1+(4x^2)/(4-4x^2)) ca apres je sais pas faire, primitiver sqrt(1+(4x^2)/(4-4x^2)) jsp

c'est [f'(x)]², pas [f²(x)]'.

Khey il me semble que je me suis pas trompé j'ai calculé la dérivée et après je l'ai foutu tout au carré

merde, je croyais que tu faisais ça pour le x².. je n'ai pas vu f(x)=..
my bad.

Ton idée elle est vraiment bien mais du coup y'a un blocage niveau calcul :
Partons de f(x)=sqrt(1-x^2) je me dois donc d'utiliser ma formule ∫ sqrt(1+f'(x)^2)
Je commence donc par déterminer f'(x)^2 : f(x) est de la forme sqrt(u), donc f'(x)= u'/2*sqrt(u)
f'(x)=-2x/2*sqrt(1-x^2) donc f'(x)^2=(4x^2)/(4-4x^2)
Donc je reviens a ma formule de départ et je remplace, ca donne: ∫ sqrt(1+(4x^2)/(4-4x^2))
∫ sqrt(1+(4x^2)/(4-4x^2)) ca apres je sais pas faire, primitiver sqrt(1+(4x^2)/(4-4x^2)) jsp
j'ai mis un + tt a l'heure c faux

Le 14 juin 2021 à 13:29:07 :

Le 14 juin 2021 à 13:27:53 :

Le 14 juin 2021 à 13:25:05 :

Le 14 juin 2021 à 13:20:57 :

Le 14 juin 2021 à 13:02:59 :
Plus interessant tu peux verifier aussi que la longueur d'un demi cercle est pi avec f(x)=sqrt(1-x^2) pour x allant de -1 à 1...

Ton idée elle est vraiment bien mais du coup y'a un blocage niveau calcul :
Partons de f(x)=sqrt(1+x^2) je me dois donc d'utiliser ma formule ∫ sqrt(1+f'(x)^2)
Je commence donc par déterminer f'(x)^2 : f(x) est de la forme sqrt(u), donc f'(x)= u'/2*sqrt(u)
f'(x)=-2x/2*sqrt(1-x^2) donc f'(x)^2=(4x^2)/(4-4x^2)
Donc je reviens a ma formule de départ et je remplace, ca donne: ∫ sqrt(1+(4x^2)/(4-4x^2))
∫ sqrt(1+(4x^2)/(4-4x^2)) ca apres je sais pas faire, primitiver sqrt(1+(4x^2)/(4-4x^2)) jsp

c'est [f'(x)]², pas [f²(x)]'.

Khey il me semble que je me suis pas trompé j'ai calculé la dérivée et après je l'ai foutu tout au carré

merde, je croyais que tu faisais ça pour le x².. je n'ai pas vu f(x)=..
my bad.

Tout le monde fait des erreurs tkt

Mets tout au meme denominateur et sors le 4

f(x) = sqrt(1-x²)
f'(x) = -2x/2sqrt(1-x²) = -x/sqrt(1-x²)
1+[f'(x)]² = 1+[x²/(1-x²)] = 1/(1-x²)

intégrale[0, 1] dx/sqrt(1-x²) = arcsin(1) - arcsin(0) = pi/2
par définition, [arcsin(x)]' = 1/sqrt(1-x²) et [arccos(x)]' = -1/sqrt(1-x²)
ce sont les fonctions inverses de sin(x) et cos(x).

Le 14 juin 2021 à 14:36:40 :
f(x) = sqrt(1-x²)
f'(x) = -2x/2sqrt(1-x²) = -x/sqrt(1-x²)
1+[f'(x)]² = 1+[x²/(1-x²)] = 1/(1-x²)

intégrale[0, 1] dx/sqrt(1-x²) = arcsin(1) - arcsin(0) = pi/2
par définition, [arcsin(x)]' = 1/sqrt(1-x²) et [arccos(x)]' = -1/sqrt(1-x²)
ce sont les fonctions inverses de sin(x) et cos(x).

Sinon, tu peux calculer la longueur d'un morceau de parabole.
Tu as f(x)=a*x^2+b*x+c, donc sqrt(1+f'(x)^2)=sqrt((2a*x+b)^2+1)=g(x)

Mais les primitives de g(x) sont 1/(4a)* {u*sqrt(u^2+1) + arcsh(u)}+C où u=2a*x+b.

Tu peux aussi calculer la longueur d'une spirale logarithmique , d'une chainette, d'une parabole de neil ( https://en.wikipedia.org/wiki/Semicubical_parabola en anglais), cycloide, parabole, cercle d'après wiki

Par contre ellipse c'est illusoire y'a pas de formule simple

Mais la majorité du temps on fait une intégration numérique

Et tu peux trouver toutes sortes de courbes qui ont une expression fermée pour leur longueur :
https://en.wikipedia.org/wiki/Nephroid
https://en.wikipedia.org/wiki/Deltoid_curve
https://mathworld.wolfram.com/Tractrix.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Astroid
ax^2+bln(x)+c

Le 14 juin 2021 à 16:27:26 :
Et tu peux trouver toutes sortes de courbes qui ont une expression fermée pour leur longueur :
https://en.wikipedia.org/wiki/Nephroid
https://en.wikipedia.org/wiki/Deltoid_curve
https://mathworld.wolfram.com/Tractrix.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Astroid
ax^2+bln(x)+c

Merci de ta contribution cependant c'est pour l'oral du bac donc je pense que je vais faire fondre le cerveau du jury en plus j'ai pas le droit c'est hors programmehttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/24/1/1623681537-chancla-edited.jpg

On démontré cette formule au lycée ? Dans mes souvenirs je l'avais plutôt fait en prépa

Le 14 juin 2021 à 16:39:38 :
On démontré cette formule au lycée ? Dans mes souvenirs je l'avais plutôt fait en prépa

Non je l'ai trouvée avec l'aide de mon daron en fait mais on la démontre pas en lycée sinon

Le 14 juin 2021 à 16:40:42 :

Le 14 juin 2021 à 16:39:38 :
On démontré cette formule au lycée ? Dans mes souvenirs je l'avais plutôt fait en prépa

Non je l'ai trouvée avec l'aide de mon daron en fait mais on la démontre pas en lycée sinon

Ah je comprends mieux
J'adore ce genre de formule, ca fait partie des trucs qu'on peut démontrer seul sans trop de souci en réfléchissant
Après, à appliquer, c'est infernal

Le 14 juin 2021 à 16:42:16 :

Le 14 juin 2021 à 16:40:42 :

Le 14 juin 2021 à 16:39:38 :
On démontré cette formule au lycée ? Dans mes souvenirs je l'avais plutôt fait en prépa

Non je l'ai trouvée avec l'aide de mon daron en fait mais on la démontre pas en lycée sinon

Ah je comprends mieux
J'adore ce genre de formule, ca fait partie des trucs qu'on peut démontrer seul sans trop de souci en réfléchissant
Après, à appliquer, c'est infernal

Ptn t'as raison c'est très passionant mais je vais quand meme probablement me taper une moins bonne note que des pnj qui ont chopé leur texte sur internethttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/24/1/1623681910-chancla-edited.jpg

Le 14 juin 2021 à 16:42:16 :

Le 14 juin 2021 à 16:40:42 :

Le 14 juin 2021 à 16:39:38 :
On démontré cette formule au lycée ? Dans mes souvenirs je l'avais plutôt fait en prépa

Non je l'ai trouvée avec l'aide de mon daron en fait mais on la démontre pas en lycée sinon

Ah je comprends mieux
J'adore ce genre de formule, ca fait partie des trucs qu'on peut démontrer seul sans trop de souci en réfléchissant
Après, à appliquer, c'est infernal

Elle peut se montrer en faisant une approximation polygonale et en faisant tendre le nombre de points du polygone vers +inf (en raffinant la subdivision) donc c'est assez intuitif quand même
Néanmoins ça requiert quelques hypothèses de régularité

Le 14 juin 2021 à 16:39:05 :

Le 14 juin 2021 à 16:27:26 :
Et tu peux trouver toutes sortes de courbes qui ont une expression fermée pour leur longueur :
https://en.wikipedia.org/wiki/Nephroid
https://en.wikipedia.org/wiki/Deltoid_curve
https://mathworld.wolfram.com/Tractrix.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Astroid
ax^2+bln(x)+c

Merci de ta contribution cependant c'est pour l'oral du bac donc je pense que je vais faire fondre le cerveau du jury en plus j'ai pas le droit c'est hors programmehttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/24/1/1623681537-chancla-edited.jpg

Mais c'est déjà pas au programme ton truc

Le 14 juin 2021 à 16:47:04 :

Le 14 juin 2021 à 16:39:05 :

Le 14 juin 2021 à 16:27:26 :
Et tu peux trouver toutes sortes de courbes qui ont une expression fermée pour leur longueur :
https://en.wikipedia.org/wiki/Nephroid
https://en.wikipedia.org/wiki/Deltoid_curve
https://mathworld.wolfram.com/Tractrix.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Astroid
ax^2+bln(x)+c

Merci de ta contribution cependant c'est pour l'oral du bac donc je pense que je vais faire fondre le cerveau du jury en plus j'ai pas le droit c'est hors programmehttps://image.noelshack.com/fichiers/2021/24/1/1623681537-chancla-edited.jpg

Mais c'est déjà pas au programme ton truc

Si vu que c'est tout de meme en lien avec les intégrales et les intervalles infinitésimales dx qu'on étudie en terminale

Le 14 juin 2021 à 16:46:06 :

Le 14 juin 2021 à 16:42:16 :

Le 14 juin 2021 à 16:40:42 :

Le 14 juin 2021 à 16:39:38 :
On démontré cette formule au lycée ? Dans mes souvenirs je l'avais plutôt fait en prépa

Non je l'ai trouvée avec l'aide de mon daron en fait mais on la démontre pas en lycée sinon

Ah je comprends mieux
J'adore ce genre de formule, ca fait partie des trucs qu'on peut démontrer seul sans trop de souci en réfléchissant
Après, à appliquer, c'est infernal

Elle peut se montrer en faisant une approximation polygonale et en faisant tendre le nombre de points du polygone vers +inf (en raffinant la subdivision) donc c'est assez intuitif quand même
Néanmoins ça requiert quelques hypothèses de régularité

Je sais même pas ce que c'est qu'une hypothèse de régularité dans ce contexte

Persoent ==> je factorise par dx² et ça fonctionne tout seul, pas besoin d'hypothèses d'intelloshttps://image.noelshack.com/fichiers/2018/10/2/1520355447-1.png

((-log(sqrt(%e^(2*x)+1)+1))+log(sqrt(%e^(2*x)+1)-1)+2*sqrt(%e^(2*x)+1))/2

bienvenu en enfer, un petit thé ?https://image.noelshack.com/fichiers/2017/35/2/1504021180-mokou-tea.png

je sais toujours pas sinon mais ok ça peut donc aussi se traduire en graphique merçi je me demandais